一、计算模块（6个）

1. 整数四则运算与巧算【3-4年级】

核心原理：带符号搬家、凑整法、提取公因数、去添括号，优先凑出整十、整百、整千简化计算。

竞赛原题（希望杯四年级）

9999×7+1111×37

解：

原式=1111×63+1111×37

=1111×(63+37)

=1111×100

=111100

2. 等差数列【3-4年级】

核心公式：

项数=(末项-首项)÷公差+1

末项=首项+(项数-1)×公差

总和=(首项+末项)×项数÷2

竞赛原题（华杯初赛）

计算 1+3+5+7+…+99

解：首项1，末项99，公差2

项数=(99-1)÷2+1=50

总和=(1+99)×50÷2=2500

3. 分数四则运算、通分约分【5-6年级】

核心原理：先约分再计算，异分母先通分统一分母，优先简便运算，减少大数计算。

竞赛原题（希望杯六年级）

3/5 + 1/4 - 7/20

解：统一分母为20

=12/20 + 5/20 - 7/20

=10/20

=1/2

4. 分数裂项（裂差、裂和）【5-6年级】

核心公式：

基础裂差：1/(n×(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)

通用裂差：1/(n×(n+k)) = (1/k)×(1/n - 1/(n+k))

核心思想：中间项全部抵消，只留首尾。

竞赛原题（希望杯）

1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/(99×100)

解：

=1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + … + 1/99 - 1/100

=1 - 1/100

=99/100

5. 小数运算、循环小数化分数【5-6年级】

核心原理：纯循环小数，循环节作分子，几位循环就写几个9作分母，最后约分。

竞赛真题

将 0.36循环 化为最简分数

解：0.36循环 = 36/99 = 4/11

6. 定义新运算【4-6年级】

核心原理：严格按照题目规定符号运算，不套用四则运算定律。

竞赛原题（希望杯4年级）

规定 a△b=2a-b，计算 5△3

解：5△3=2×5-3=7

二、基础应用题模块（8个）

7. 和差倍问题【3-4年级】

核心公式：

和倍：小数=和÷(倍数+1)

差倍：小数=差÷(倍数-1)

和差：大数=(和+差)÷2，小数=(和-差)÷2

竞赛原题（华杯初赛）

甲乙两数和为80，甲是乙的4倍，求两个数。

解：乙=80÷(4+1)=16

甲=16×4=64

8. 年龄问题【3-4年级】

核心原理：两人年龄差永远不变，年龄同时增长。

竞赛原题（希望杯）

妈妈36岁，女儿6岁。再过多少年妈妈年龄是女儿3倍？

解：年龄差=36-6=30岁

女儿未来年龄=30÷(3-1)=15岁

经过年数=15-6=9年

9. 鸡兔同笼【3-4年级】

核心原理：假设法，全部假设为一种动物，用腿数差求另一种动物数量。

竞赛原题（华杯初赛）

笼子共有20个头，56条腿，鸡、兔各几只？

解：假设全部是鸡

总腿数=20×2=40

腿数差值=56-40=16

兔子数量=16÷(4-2)=8只

鸡数量=20-8=12只

10. 盈亏问题【4年级】

核心公式：

一盈一亏：份数=(盈+亏)÷两次分配差

双盈：份数=(大盈-小盈)÷分配差

双亏：份数=(大亏-小亏)÷分配差

竞赛原题（希望杯）

分糖果：每人5颗多12颗；每人7颗少8颗。一共有多少小朋友？

解：人数=(12+8)÷(7-5)=10人

11. 植树问题【3年级】

核心模型：

两端种树：棵数=间隔数+1

环形封闭：棵数=间隔数

两端不种：棵数=间隔数-1

竞赛原题

一条道路长100米，每隔5米种树，两端都栽种，一共多少棵？

解：间隔数=100÷5=20

棵数=20+1=21棵

12. 方阵问题【3-4年级】

核心公式：

方阵最外层人数=(每边人数-1)×4

实心方阵总人数=每边人数×每边人数

相邻两层每层相差8人

竞赛原题

正方形实心方阵，最外层每边12人，最外层一共有多少人？

解：(12-1)×4=44人

13. 牛吃草问题【5-6年级】

核心原理：草会匀速生长，总草量=原有草量+新生草量。解题两步：求草速、求原有草量。

竞赛原题（华杯常考）

一片草地，10头牛20天吃完；15头牛10天吃完。25头牛能吃几天？

解：设1头牛1天吃1份草

总草量1=10×20=200

总草量2=15×10=150

草生长速度=(200-150)÷(20-10)=5份/天

原有草量=200-20×5=100份

5头牛专门吃新草，剩余牛吃老草

天数=100÷(25-5)=5天

14. 平均数问题【3-4年级】

核心公式：平均数=总数量÷总份数，总数量=平均数×总份数

竞赛原题（希望杯）

4名同学平均分92分，第4人分数比前3人平均分高4分，求第4人分数。

解：设前3人平均分为x

3x+(x+4)=92×4

4x+4=368

x=91

第4人分数=91+4=95分

三、行程模块（4个）

15. 基础相遇问题【4年级】

核心公式：路程和=速度和×相遇时间

竞赛原题

甲乙两人相距300米，甲速度4m/s，乙速度6m/s，相向而行，多久相遇？

解：速度和=4+6=10

相遇时间=300÷10=30秒

16. 追及问题【4-5年级】

核心公式：路程差=速度差×追及时间

竞赛原题

两人相距100米同向出发，前面的人速度3m/s，后面的人速度5m/s，多久追上？

解：速度差=5-3=2

追及时间=100÷2=50秒

17. 流水行船【5年级】

核心公式：

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=(顺水+逆水)÷2

水速=(顺水-逆水)÷2

竞赛原题

静水船速15km/h，水流速度3km/h，顺水航行90km需要多久？

解：顺水速度=15+3=18

时间=90÷18=5小时

18. 火车过桥、环形跑道【5-6年级】

核心原理：火车过桥总路程=桥长+车身长度

竞赛原题

火车长150米，速度20m/s，全车过桥用时20秒，桥长多少米？

解：总路程=20×20=400米

桥长=400-150=250米

四、几何模块（5个）

19. 巧求周长【3-4年级】

核心原理：平移法，把不规则凹凸边平移，转化为标准长方形、正方形，周长不变。

竞赛原题（希望杯）

一个长方形长10cm，宽6cm，在一个角挖去边长2cm小正方形，求新图形周长。

解：平移后周长不变

周长=(10+6)×2=32cm

20. 巧求面积（割补、平移、旋转）【4年级】

核心原理：通过割补、平移、旋转，把不规则图形转化为规则图形计算面积。

竞赛原题

长方形长12，宽8，内部斜向阴影三角形底为长方形长，高等于宽，求面积。

解：三角形面积=12×8÷2=48

21. 直线型五大面积模型【5-6年级】

核心原理：等高、鸟头、蝴蝶、沙漏、燕尾五大模型；燕尾核心：同顶点三角形面积比=底边比。

竞赛原题（燕尾定理）

三角形ABC中，AD、BE交于G；BD:DC=2:1，求两个三角形面积比。

解：根据燕尾定理，面积比=BD:DC=2:1

22. 圆与扇形【6年级】

核心公式：

圆面积=π×半径×半径

圆周长=2×π×半径

扇形面积=圆心角度数÷360×π×半径×半径

竞赛原题

半径为6cm，圆心角60°扇形面积（π取3.14）

解：60÷360×3.14×6×6=18.84平方厘米

23. 立体几何（表面积、浸水体积）【6年级】

核心原理：物体完全浸没，物体体积=水面上升体积

竞赛原题

底面积200平方厘米水槽，放入石块水面上升3cm，石块体积？

解：体积=200×3=600立方厘米

五、数论模块（5个）

24. 因数与倍数、最大公因数、最小公倍数【5年级】

核心原理：两数乘积=最大公因数×最小公倍数

竞赛原题

求24和36的最大公因数、最小公倍数

解：最大公因数=12，最小公倍数=72

25. 质数、合数、分解质因数【5年级】

核心定义：质数只有1和本身两个因数，合数有多个因数，合数可唯一分解质数相乘。

竞赛原题

把120分解质因数

解：120=2×2×2×3×5

26. 余数性质、同余问题【5-6年级】

核心原理：和的余数等于余数的和，积的余数等于余数的积。

竞赛原题

求2026÷7余数

解：2026÷7=289余3，余数为3

27. 中国剩余定理（韩信点兵）【6年级】

核心原理：逐级满足法，依次满足余数条件，找最小自然数。

竞赛原题

一个自然数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求最小自然数。

解：同时满足除以3余2、除以7余2，数字为21的倍数加2

试算23，满足除以5余3

最小数=23

28. 整除特征【4-5年级】

核心原理：

2、5看末位；3、9看数字和；11看奇偶位数字差

竞赛原题

四位数1a4b能被11整除，写出一组数字

解：奇偶位差为11倍数，可取1045，可整除11

六、计数模块（4个）

29. 加法原理、乘法原理【4年级】

核心原理：分类用加法，分步用乘法。

竞赛原题

从甲到乙有3条公路，乙到丙有2条铁路，甲经乙到丙一共多少路线？

解：3×2=6种

30. 排列与组合【5-6年级】

核心原理：有序为排列，无序为组合。

竞赛原题

从5名同学选出2人分别担任班长、副班长，多少选法？

解：5×4=20种

31. 容斥原理【4-5年级】

核心公式：两集合总数=A数量+B数量-重叠数量

竞赛原题（希望杯）

全班45人，30人喜欢数学，25人喜欢语文，两门都喜欢12人，两门都不喜欢多少人？

解：至少喜欢一科=30+25-12=43人

都不喜欢=45-43=2人

32. 枚举法、标数法【3-4年级】

核心原理：标数法：每一点路线数=左边+上边路线数，不重复不漏数。

七、组合杂题（4个）

33. 周期问题【3年级】

核心步骤：找周期、算余数、定答案。

竞赛原题

数列：1,2,3,1,2,3……循环，第40个数是多少？

解：周期为3

40÷3=13余1

余数为1，答案为1

34. 抽屉原理【4-5年级】

核心原理：最不利原则，最坏情况+1。

竞赛原题

红、黄、蓝三种颜色小球足够多，至少拿出多少个球，保证拿到2个同色？

解：每种先拿1个，再拿1个一定重复

3+1=4个

35. 逻辑推理【4-6年级】

核心方法：找矛盾、假设验证、一一排除。

竞赛原题

甲、乙、丙一人获奖。

甲：不是我

乙：是甲

丙：不是我

三人只有一人真话。

解：甲乙互相矛盾，必有一真，所以丙一定假话

获奖人是丙

36. 最值问题、统筹规划【5-6年级】

核心原理：合理安排顺序，能同时做的同时做，节省总时间。

竞赛原题

烧水8分钟，洗水壶1分钟，洗茶杯2分钟，泡茶1分钟。最短用时？

解：先洗水壶，烧水同时洗茶杯，最后泡茶

总时间=1+8+1=10