注：本文是以《生态社会人口论》一书的附录2为基础改编
指数变化是循环因果系统最普遍的变化规律之一。因此，对它的研究是非常有价值的。
第一节 指数规律
1. 指数函数
假设存在一个循环因果系统，其输出等于输入乘以某个固定的系数a；再假设系统初始输入为1，时间序列为x，输出为y，那么，可以得到如下的y的序列：
这可以用一个指数函数表达：
指数模型是一个最简单、但却最典型的循环因果模型。它有非常广泛的应用和影响，从核放射，到进化论；从芯片业发展的摩尔定律，到人口论；从移动通讯用户增长，到经济增长，.......都受到指数规律作用。
设a的定义域为(0,∞),我们以下先对该指数规律汇总讨论一下。
将a表示为
a=1+r
r以百分数表示，即为增长率。
当-100%
r=0%，函数为稳态，y=1的水平线；
r>0%，函数为指数递增。
倍数变化等周期定理：可简称“等周期定理”，指数函数每变化一个固定的倍数，所需要的时间长度是一样的。
证明：设任意的y1,y2之间有一个固定的倍数n，其对应的时间序列分别为x1,x2,且有y2=ny1
因a,n皆为常数，所以可得(x2-x1)为常数。
为方便计算，以上公式可用以10为底的对数表示：
2. 指数递减与半衰期
在指数递减情况下，根据指数函数等周期定律，y每减少一半的时间长度是一定的。我们把这个固定值定义为半衰期Th。此时，0
因此，半衰期的计算公式为
半衰期可用于核放射、系统崩溃、生物灭绝、技术淘汰......等应用场合。以下为不同a或r数值情况下对应的半衰期:
3. 指数递增与倍增周期
在指数递增情况下，根据指数函数周期定律，y每增加1倍的时间长度是一定的。我们把这个固定值定义为倍增周期Td。此时，a>1,n=2
因此，倍增周期的计算公式为
倍增周期可用于经济增长、细胞繁殖、生物繁衍、生物进化、技术进步......等应用场合。以下为不同a或r数值情况下对应的倍增周期:
4. 经济增长问题
如果我们针对特定应用情况，比如说要想考察经济GDP年增长率与GDP总量倍增之间的关系，增长率一般在1%-20%的范围，由此可以获得以下结果：
假设两个国家在某一个时间点上的经济总量分别为y01,y02，且有y01>y02；经济增长率分别为r1,r2,且有r1
我们可以计算出多长时间后y2可以赶上y1，这是一个典型的经济追赶的问题。
设y2=y1，则有：
整理上式可得
设：
它为两国经济总量的倍数差距。
以上问题就可归结为标准的指数函数问题：
以下为经济增长率之差为不同情况下，追赶不同倍数经济差距所需要的时间
不同国家因人口数量不同，经济总量不完全具有可比性。如果以人均GDP来衡量经济发展水平，以上计算结果同样是适用的。
第二节 指数变化巨量定理
1.指数变化巨量定理
按照指数规律变化，如果是指数增长，只要是诸如1%以上显著范围速率增长，即使从宇宙间任意微小的量起步，增长到宇宙间任意巨大的量，都会在超过人直觉的极短时间内达到。如果是指数递减，宇宙间任意巨大的初始量，都会在超过人直觉的短时间内趋于消失或减少为非常微小的量。
我们把以上结论称为“指数变化巨量定理”。
根据前面计算，即使经济水平相差上千倍，只要能够维持大约15个百分点发展速度差异，50年内就可赶上发达国家经济水平；发展32年，可追上100倍经济差异。目前据国际货币基金组织统计，2010年全球人均GDP最高的国家是卢森堡，为113533USD，最低的是刚果，为219USD，两者相差为526倍，在1000倍之内。也就是说，只要任何一个国家认真做好经济工作，维持长期稳定的高速经济增长，经过最多50年时间即可达到世界最发达国家的水平。而经过20-30年的高速增长，可以增加20-100倍。
这就是为什么在历史上，任何一个国家只要持续20-30年两位数的经济增长，它就有机会从一个世界上即使最贫穷落后的国家，成长为接近进入发达国家的行列。
2. 对巨量定理直觉理解的困难
我们来考察如下的指数增长问题：
目前科学发现的尺寸最小的基本粒子为轻子和夸克。它们的大小大约在10的负19次方米，仅为质子和中子的万分之1；几个到上百个质子和中子合在一起构成原子核，而如果一个原子象一个房间那么大，原子核只是房间里的一粒乒乓球；
目前发现的整个宇宙的尺寸大约为138亿光年，而1光年是光按每秒29.9792458万公里的速度跑上1年时间的距离。太阳系的直径是地球直径的260万倍；银河系的直径是太阳系的3000万倍；宇宙的直径是银河系直径约14万倍。
我们的问题是：如果一个夸克粒子，其直径按照15%的年增长率增长。这样在第1年它增长的尺寸为一个夸克粒子直径的0.15倍，第2年增长的大小为0.32倍,到第5年增长1个夸克粒子的大小，......。按这个速度一直增长到夸克粒子和整个宇宙的尺寸相等，需要多少年？
在我们进行严格数学计算之前可以让人们凭直觉想像一下，人们会认为这个时间会长得难以想像，至少在千万年，甚至数以亿年计算的时间长度。但事实远非如此，它需要的时间长度仅为675年！！！
如果假设夸克不是每年增加15%，而是以每年增加1倍（100%增长率）的速度发生变化，增大到与整个宇宙相等所需要的时间大约为135年！！！
或者说问题变成这样：如果夸克粒子每次增加1倍，要增加到与整个宇宙相等需要增加多少次，答案是仅仅135次；
如果每次增加10%，需要991次；
每次增加7%，需要1395次；
而即使以每次只增加1%这种看似极其微不足道的速度变化，9488次就够了！！！
对于指数变化，人们绝不要凭想像讨论问题，而必须以数字计算为依据，它是完全超出人类直觉的。
当然，以上讨论我们并没有去考虑光速不变原理的约束，而仅仅是作为一个纯数学规律进行研究。如果一个夸克粒子大小的物体以年增10%速度增长，到一定程度其外壳增长速度会超过光速。如果受到光速不变原理的约束，一个夸克粒子物体要膨胀到138亿光年的体积，最少也得要138亿年。
假设当前世界上最富有的富翁有1000亿美元的巨额财富，从当前开始不再赚钱，每年存在银行的利息增长5%，而每年用掉现存财富的15%，从而每年净减少大约10%。我们的问题是：这1000亿的巨额财富可供消费多长时间？判断标准是，这1000亿美元的财富，降低到目前在美国一个普通中产年收入的水平，大约为10万美元？
根据指数规律的数学计算，这个时间长度约为145年！这就是俗语常说的“富不过三代”的原因所在。不要去听某人说他已经赚到几辈子都花不完的钱，那只是他们不懂指数的数学规律而已。无论人们现在有多少钱，如果只是想着如何花钱的话，都会很快花完的。这也是很多买彩票中大奖的人，很多最后都沦落为身无分文且债台高铸者的原因。
有一个古波斯传说，经常被用于说明指数变化巨量定理直觉理解的困难：一个古波斯国王为了奖赏一个杰出的棋手，要这名棋手自己选择奖赏的礼品。这名棋手对国王说我要得东西不多，只要一些棋盘上的米粒就可以。他们的棋盘是64个方格，棋手说他要的米粒数量是第1个方里1粒米，第2个方格里2粒米，第3个方格里4粒米……以此类推，后面每一个方格都比前面一个方格多1倍的米粒，直到把64个方格全都按此规律放上米粒。国王一听觉得棋手太客气了，要的奖品如此之少，就命他的大臣计算出所要的米粒数量并奖赏给棋手。但等他的大臣计算出结果后却惊讶地发现：即使把全国粮仓里所有的粮食全都拿出来也远远不够填满最后1个方格。第64个方格里所需要的米粒数量是2的63次方，约等922亿亿米粒。这个数量的米粒到底是什么概念呢？我们知道大米千粒重一般在10-40克，我们就以最少的10克来计算，922亿亿颗米粒就是大约922亿吨粮食，而根据联合国粮农组织统计：全球截止到目前，2012年达到历史上最高谷物年产量为24.19亿吨。也就是说，要填满最后一个方格，需要全世界以历史最高产量生产38年，才能获得这么多粮食！
3. 巨量定理的适用问题讨论
请注意“巨量定理”并不是指数函数为任何数值时都具有的性质。如果增长率值太小，r远小于1%，如万分之1时，对应指数的值在相当大范围几乎是接近线性变化的。如当x为10000时，指数的值仅为约2.718146。这是我们为什么定义巨量定理需要在1%以上的显著增长率时才能适用。当然，即使很小的、远小于1%的增长率，在更大尺度范围来看，也同样可一定程度表现出巨量定理的性质。
经济学以及社会学所研究的因果循环周期一般在100，较大的也就是1000以内。如果以1%的增长率考察，对比一下5%、10%这样看似很小的增长率增加，在x为100和1000时，分别对应的指数值如下：
对于经济学和社会学所研究的范围来说，超过1000倍已经是非常极限的大数字。例如世界上最富有的国家与最贫穷国家的人均GDP、一个国家近千年来最少和最多的人口、近千年来最少和最多的GDP总量......等等，这些数据之间的比值一般都不会超过1000倍。即使按1%的指数增长率发展，在1000个周期之内都会超过1000倍的变化。如果指数增长率更高，达到2位数的10%以上，在不超过100个周期之内，也会超过1000倍的变化.
第三节 指数变化的极限
1. 指数变化的极限问题
此处所说的“极限”与数学微积分里的极限概念有类似的地方，但却完全不同。数学里的极限基本特性是“无限趋近，却不等于”。而我们此处所讨论的增长的极限，是指某种增长的最大值，它是由于客观条件存在的限制，是事物发展的边界。增长可以达到这个值，甚至轻微超过，但却在本质上完全受制于它。
反方向来看，指数递减向下达到某个值时，因其作用趋于消失而不能再递减，这是向下递减的极限值。
以电子电路为例，可以放大电压信号的放大器，最大只能达到电源电压。从而，电源电压就会成为电压信号放大的极限。
移动用户如果以个人为基础，其用户量的增长就会以人口总量为极限。某些国家的移动用户量会超过人口总量，是因为外来流动人口，以及少量一人多号的存在导致，并不影响人口总量成为其极限因素。因此，一个国家移动通讯用户普及率最大只能达到略超过100%的水平。
由于指数增长巨量定理的作用，如果以指数增长，会很快达到任何客观的极限边界。因此，指数增长与极限之间会成为一个共轭的问题。我们把它称为“指数增长极限共轭对”.以L表示极限量，l表示初始值。为了归一化的方便分析，可以把极限大小与系统初始值的倍数值N作为极限的标识，N=L/l。这样，归一化的指数增长极限共轭对可标为：
如果已知达到极限的时间长度x,以及达到极限的倍数值N，可用以下公式求出相应的增长率:
如果系统是指数衰减，极限值是某个系统衰减到趋于消失，或无法继续再减少的量。
如，一个物种如果数量少到一定程度，就无法继续繁衍下去，这被称为“功能性灭绝”。那么，这个减少到进入功能性灭绝的量就可被定义为指数衰减的极限值。它与系统初始量的比值就是归一化的极限倍数。
再如，一个晶体管放大器向上放大最终会进入饱和区，这是增长的极限；如果下向减少会进入截止区，这是递减的极限。
2. 指数变化极限存在定理
根据指数变化巨量定理，只要以一个可观的1%以上增长率进行指数变化，从宇宙间任意微小的量值增加到任意巨大的量值所需要的周期长度，都是一个很小的数值。因此意味着，对人们所需要研究事物当前值，一般远非宇宙间最小，其可以发展到的最大值一般也远非宇宙间最大。这样，只要以可观的指数规律进行变化，必然在相对更短的时间段内遇到增长的极限。我们把这称为：“指数变化的极限存在定理”。
其数学阐述如下：
设某对象符合指数函数规律：
如果不是从宇宙间最小量起步，也不是增长到宇宙间最大的量。如一辆汽车大小的物体（5米），以每年15%的速度指数增长，多少年可以增长到地球大小？结论是：104年，远小于675年。
3. 经济增长速度与基数的关系
有一个普遍的观点认为：经济增长速度会随着基数的增大而下降。事实上，这是一个如同亚里斯多德的落体定律一样想当然的谬误。
对于亚里士多德关于自由落体的定律，伽利略曾经给出了一个相应的悖论：如果把一个轻的物体A和一个重的物体B捆绑在一起形成A+B。根据亚氏的落体定律，由于A+B的重量大于B，因此A+B的下落速度应该比B更快。但是，由于A比B轻，因此A应当比B下落速度更慢，从而对B的下落构成阻尼作用，使得A+B的下落速度比B更慢。由此带来一个自相矛盾的结果。
以上经济增长速度随基数增大而降低的观点会遇到类似的悖论。例如，可以把一个国家，如中国基数更低的中西部A和基数更高的东部B分成两个部分，然后又合在一起形成A+B。按照人们所说的“经济基数越大发展速度越慢”的规律，B应当比A+B发展得更快；而A比B的基数小，因此应当比B发展得更快，这样A+B就应当比B发展得更快。这显然是自相矛盾的。
从历史事实上看： 经济基数大到一定程度后，的确会发生增长速度下降的问题，但下降的实际原因是因为遇到某些极限因素的作用，与物体下落中轻的物体的确下降更慢是由于空气阻力作用类似。
如果没有极限因素的作用，经济发展的增长就应该一直保持一个大致恒定的速度。就象存在银行里的钱发生的利息一样，绝对不会说本金越多、利息就越低。一般来说，利息率的多少是与本金无关的量。甚至于，银行为争取大客户的市场，往往在可自由确定利息的理财等金融产品中，对更大本金提供的利息会更多。
以上总结可以用以下两个经济发展的定律来表达：
经济发展第一定律：如果没有极限因素的影响，一个经济体会保持停滞，或一个固定的指数变化率。
经济发展第二定律：如果一个国家经济从正的指数增长，转变为增长速度下降或停滞，必然是遇到某种极限因素的作用。
即，以较高速率指数增长的经济体发展速度下降或转变为停滞，原因是经济增长过程遇到了某种极限因素作用，而不是因为基数更大，这才是表象背后的真正原因。如果提前发现并解除了这种极限因素的作用，经济增长速度就不应该随基数的增长而下降，而应该保持恒定。这个观点是非常重要的。因为，如果我们认为经济增长速度会随基数的增大而降低，意味着把基数本身当作不可克服的原因。但如果认为极限因素才是真正的原因，就会去认真考察各种极限因素。
如果某些极限因素是理论上或技术上不可克服的，那么这种经济发展速度的下降、乃至停滞就是“必然的”或“合理的”。
但如果相应的极限因素有方法克服，就不能认为这种经济发展速度的下降是“必然的”或“合理的”。
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