新书上市 | 剑桥数学博士写透“数学的数学”，菲尔兹奖得主赞叹阅读体验一气呵成！|剑桥数学|国际数学家大会|教科书|科学|菲尔兹奖

普通人看表象, 聪明人看关系，数学家看“模式”

只要你好奇“如何清晰而深刻地思考问题？”，这本书就是为你准备的。

无论是学生、职场人还是管理者，都需要敏锐的洞察力，学会处理复杂的问题、看清事情的本质、理解他人的真实想法。

这本书展现了一套人人都能懂的“抽象―模式―结构”范畴论式思考框架。范畴论被称为“数学的数学”，它塑造的思维核心不是定理和公式，而是让你内化一种以关系、角色、模式、普遍性质、等价和对偶等为基础的认知框架，而这正是深度思考背后的共通模式。

英国剑桥大学数学博士，谢菲尔德大学终身教职，畅销科普作家郑乐隽的这本《用数学思考万物: 范畴论趣味入门》并不需要你太多数学，就能帮你从日常生活、家庭关系、社会问题等具体问题中形成一套崭新的数学观，培养一种结构化、关联性强的思考能力，并将之迁移到学习、工作与生活中，把自己的思维方式升级到数学家的“高阶版本”。

《用数学思考万物: 范畴论趣味入门》

作者：[英]郑乐隽（Eugenia Cheng）

译者：张浩

抽象数学带给我极大的快乐。它不仅具有指导性、启发性、适用性，而且确实“有用”，但对我来说，这些并不是学习它的驱动力。真正的驱动力是快乐，抽象数学带给我的快乐促使我越来越想探索它，越来越深地沉浸其中，并参与到它所涉及的学科中。

这也是我尽己所能掌控生活的方式。我在做研究、写书、练钢琴、按照复杂食谱烹饪的方式上可能看起来很自律。但我认为，只有当你不得不完成一件不快乐的事时才需要靠自律。我更喜欢找到一种乐在其中的方式。这种方法也更有效——享受比自律能让我走得更远。

抽象数学不同于通常在中小学里学习的数学。中小学数学通常是关于数、方程和解决问题的，抽象数学则不是。中小学数学的重点在于得到正确答案，抽象数学的重点则不在于此。遗憾的是，中小学数学让许多人对这门学科望而却步，但抽象数学不会。

本书旨在向非专业人士介绍大家通常接触不到的抽象数学，尝试改变人们对数学是什么、数学有什么用，以及数学如何运作这三个问题的看法，为的是激发读者兴趣或鼓励进一步研究。本书的具体主题是范畴论，但一路上我们将领略各种重要的数学对象，包括不同类型的数、形状、曲面和空间，不同类型的抽象结构与它们形成的世界，以及一些关于它们的未解决的研究问题。

本篇前奏将简述本书的创作动机、风格和内容背景，为不同的目标读者提供阅读指南。总之，如果你有兴趣学习一些与中小学数学截然不同的高级数学，但发现传统教科书太过枯燥或需要太多的背景知识，那么请继续读下去。

数学的地位

数学有严重的“形象问题”。许多人在学校里对它敬而远之，长大后要么讨厌它，要么害怕它，要么防御性地夸张说自己多么不擅长数学，或者说数学是多么无关紧要。我从学艺术的学生口中最常听到的关于数学的抱怨包括：数学太死板，缺乏创造性，需要太多记忆；数学问题与现实生活无关，答案涉及太多规则，没有意思；数学只对科学家和工程师有用，对其他人来说毫无意义。

相反，作为一名抽象数学家，我沉醉于这个领域所具有的灵活性和创造性，以及它仅需很少的记忆的特点。数学的思维方式与生活的方方面面息息相关，这一事实让我深受鼓舞，并不断重新被启迪。我喜欢数学的丰富性和洞察力，我不必遵循其他人的规则，而是从不同的规则中创造不同的世界，并探索其中的可能性。我相信，虽然数学的某些内容对科学和工程有用，但我最喜欢的那一部分对每个人来说都是强大且具有启发性的。

我认为数学教育之所以重要，大致有三个原因：

1. 可以作为进一步学习各个数学领域的基础；

2. 在生活中有直接的实用性；

3. 能培养一种特定的思维方式。

第一点，进一步学习，显然不是与每个人都相关的——如果你已经彻底决定不在数学（或扩展到其他科学）领域继续深造，那么这一条就不适用。

第二点，实用性，经常被强调为“数学在学校教育中长期被设为必修课”的一个原因，但这实际上意味着什么？人们似乎有不同的看法。当然，这个理由似乎不足以证明让学生没完没了地研究三角形、绘图、解二次方程、推导三角恒等式……是正当的。有些人专注于算术，并坚信数学是重要的，这样我们至少不必依赖计算器来合计购物账单、在餐厅计算小费，或计算出当某种商品打八折出售时我们该付多少钱。另一些人却认为，我们教的数学与生活的关系还不够紧密，我们还应该教按揭贷款、利率计算和如何报税等内容。这些观点都比本书的观点更加功利。

第三点，将数学作为一种思维方式，这也是推动我研究和教学的因素。抽象数学不仅仅是一个研究课题，更是一种将不同情境联系起来的思维方式，能帮助我们将各种情境统一起来，更有效地对其进行思考。它让我们的注意力集中在与特定观点相关的内容上，暂时忽略其他内容，这样我们就能触及结构或论证的核心。在建立联系和寻找深层结构时，我们将难以处理的复杂情况打包成简洁的单元，以便处理更复杂的情况，并更有效地利用我们有限的脑力。这一过程始于数字，我们不必一直说“1 + 1”，而是可以称它为 2，或者，我们将多个正方形组合在一起，称结果为立方体，然后在此基础上构建更复杂的数学结构，正如我们将在本书中看到的那样。

我认为，这就是抽象数学的力量和重要性所在。它与整个生活息息相关，因此对每个人都具有启发性，这种想法可能令人惊讶，但我发现的大量例子证实了范畴论确实有所帮助，尽管这个领域被认为可能是所有数学中“最抽象”的。这些例子并非“购买 17 个西瓜花多少钱”之类的牵强的现实例子，而是我们在日常生活中实际（或应该）思考的真实的现实生活问题。

如果有人排斥数学，那么他们也排斥了这种可能真正吸引并帮助他们的思维方式。遗憾的是，他们排斥的是一种完全不同的数学，这种数学通常围绕着算法、公式、记忆和严格的规则，而这根本不是抽象数学的内容。数学被误解了，许多人对它的第一印象足以让他们永远远离它，假如他们能看到数学的真实面目，他们可能会欣赏它并从中受益。

传统数学：学科

典型的数学教育设置了一系列越来越高的跨栏障碍。如果这些真的是障碍，那么当你连较低的障碍都无法越过时，尝试更高的障碍就没有意义了。

然而，数学更像是一个由各种思想交织而成的网络，也许和右边这张图一样。每一个事物都与其他事物相连，因此在这个网络上有许多可能的路径，这取决于你有什么样的大脑。

我对数学的感觉与之有点类似。我在数学网络中的路径就像右边这张图。

我向更高水平数学的前进，并没有用到我之前被教授的数学学科知识。事实上，在学习了范畴论之后，我才回过头来重新理解了一切，而且理解得更加深刻。

从几年来教艺术专业学生抽象数学的经历中，我确认自己不是唯一一个喜欢用抽象概念来阐明具体例子（而不是反过来）的人。许多学艺术的学生认为自己不擅长数学，是因为他们不擅长记忆乘法表，不擅长心算，不会解方程。

但这并不意味着他们不擅长数学——这仅仅意味着他们不是很擅长乘法表、心算和方程，而这些只不过是数学中极其微小的一部分，几乎不能算作抽象。事实证明，当我们开始讲述抽象事物的时候，如高维空间、微妙的等价概念和范畴论结构，他们并不会感到那么困难。他们在心算上的阻碍变得无关紧要。

在我看来，当我们任由学生在非抽象数学上挣扎时，我们其实是在阻止他们进入抽象数学领域，而这种做法对数学学习来说是适得其反的。有些学生会因为有些人确实需要通过具体的例子逐步建立起抽象的概念。但不是每个人都如此。对有些人来说，具体的例子在他们理解抽象的概念之前是没有意义的。

也许更糟的是，如果一开始就看到令人反感的具体例子，他们将会放弃。当我第一次接触单一麦芽威士忌时，我以为自己不喜欢它，但后来我发现，这是因为人们试图通过他们认为“适合小白”的单一麦芽威士忌来“温和地”引导我入门。事实证明，我只喜欢艾雷岛那种带有强烈烟熏味的单一麦芽威士忌，而不是为新手准备的那种更甜、更浓郁的单一麦芽威士忌。

我对数学的感觉与之有点类似。我在数学网络中的路径就像右边这张图。

在我看来，当我们任由学生在非抽象数学上挣扎时，我们其实是在阻止他们进入抽象数学领域，而这种做法对数学学习来说是适得其反的。有些学生会因为不喜欢非抽象数学，就自动选择远离抽象数学。这就好像我们不让学生尝试游泳，是因为他们跑得很慢，或者，在他们弹好钢琴之前不允许他们唱歌一样。

本书的目标之一是直接呈现抽象数学，不借助对其他数学领域的精确描述。即便你没有跨过之前的一些障碍也没关系。

传统数学：方法

当我在学校学习现代语言时，要通过不同的考试来测试四种能力：阅读、写作、口语和听力，其中，写作和口语是“产出型的”，而阅读和听力是“接受型的”。当然，要完全掌握一门语言，这四种能力都很必要，但如果你做不到“八面玲珑”，那么只做好其中几项也是有意义的。后来，我为了理解舒伯特（以及勃拉姆斯、施特劳斯、舒曼等音乐家）的音乐而学习德语。我的德语产出能力几乎没有，但我可以理解德国浪漫主义诗歌，包括一些细微之处，这对我作为合作钢琴家的职业生涯来说是有意义的，对我个人也有帮助。

我认为，数学也分“产出型”和“接受型”。产出型数学与“能够回答问题”有关，比如家庭作业或考试中的问题，以及后来的原创性研究。有一种相当普遍的观点认为，理解数学的唯一方式是解决问题。更有甚者认为，这是学习数学唯一有益的方式。我想改变这种看法。

我认为“接受型”数学是指，即使你无法解决未见过的问题，也能“欣赏”数学。这意味着你能理解一个论证，即使你自己无法构建它。

我可以欣赏德国诗歌、餐厅食物、小提琴协奏曲、卡拉瓦乔的画作、网球比赛。想象一下，如果“欣赏”只能通过实践来习得，那会怎样。我甚至可以阅读医学研究论文，尽管我不会行医。但阅读论文仍然是有价值的。在数学中，一些作者称之为“数学旅行”——带着一丝轻蔑的意味。我觉得旅行很好啊！然而如果旅行的唯一方式是搬去那里居住，否则就得待在家里，那就太遗憾了。实际上，我曾经和一家健康保险公司的代表交谈过，他就是这么想的，他想不到我可能会去另一个州旅行，并有可能询问那里的保险覆盖范围。

本书的一个特别之处在于，我不会要求读者为了理解内容而做任何练习。

在数学书中，劝告读者通过练习来学习是很常见的，但我相信，这会令许多非专业读者，甚至令一些数学家（包括我自己）望而却步。我会时不时地提供“思考事项”，但都是一些确实需要思考的问题，而不是任何类型的练习。这些问题的主要目的之一是培养大家对数学家所提出的各种问题的直觉。希望随着阅读的深入，读者会在我明确提出这些问题之前，自发地想到它们。会思考下一个“自然的”问题，是数学思维的一个重要方面。如果研究这些问题有助于理解后续内容，我会在后面做出相关讨论。

本书内容

范畴论是由艾伦贝格（Eilenberg）和麦克莱恩（Mac Lane）在 20 世纪 40 年代提出的，此后或多或少在纯数学中变得无处不在。在有些领域，它是一门语言；在有些领域，它是一个框架；在有些领域，它是一个工具；在有些领域，它是基础；在有些领域，整个结构都依赖于它。

范畴论很快在纯数学之外的理论物理和计算机科学中找到了应用。在 20世纪末，其应用关系可能如下图所示，总之，范畴论的应用范围越来越广。

然而从那以后，范畴论变得越来越普及，它在更广泛的学科中找到了直接的应用场景，而不仅在纯粹的数学领域，例如生态多样性、化学、系统控制、工程学、空中交通管制、语言学、社会公正。如今，其应用关系示意图可能要改为如下页图所示的样子了。

在一段时间里，该学科唯一的教科书是麦克莱恩的经典研究生教材《数学工作者必知的范畴学》（Categories for the Working Mathematician，1971年出版），所有人都必须尝试学习。但情况是，要想理解麦克莱恩的这本书，必须跨上一道极高的台阶，很多人，即使是学习积极性很高的人，都未能跨上去。

正如这类故事通常的情节一样，起初，某个东西单纯作为研究领域，成为研究生（尝试）学习的东西，但最终，它逐渐渗透到世界各地，融入某些大学的本科课程，而碰巧这些大学里有一些专家想在本科水平上教授这门课。于是在 21 世纪之交，新课程催生了几本更容易理解的教科书，特别是劳维尔（Lawvere）和谢努埃尔（Schanuel）的教科书（1997 年出版），随后是阿沃迪（Awodey，2006 年）、莱因斯特（Leinster，2014 年）和里尔（Riehl，2016 年）的第二波教科书。这些书仍存在台阶，对于许多没有本科数学学习背景的人来说，无论是在数学形式化的经验方面，还是在所使用的例子的背景方面，这种台阶仍是不可逾越的。