（图源：Aeieiko Ojala）
量子力学已经经受了一个世纪的实验检验，但它最令人费解的部分始终没有消失。
现在，一项激进的新理论试图从数学基础入手，重新定义哪些量子态可以存在，并提出一个未来几年就可能被量子计算机检验的关键预测。
在最近发表于《新科学家》（New Scientist）的一篇文章中，科学家兼撰稿人卡梅拉·帕达维奇-卡拉汉（Karmela Padavic-Callaghan）详细介绍了这一进展。
划重点：
牛津大学物理学家蒂姆·帕尔默提出“有理数子量子力学”，主张从量子理论的数学基础中排除无理数。
这一改变可能让量子纠缠和叠加等量子力学中的“诡异”现象失去存在空间。
有理数子量子力学预测量子比特的信息容量存在根本上限，未来量子计算机可能因此无法运行肖尔算法。
如果未来量子计算机成功分解足够大的数，帕尔默的理论就会被直接推翻。
这一理论也可能意味着，量子力学诞生一个世纪以来，我们对现实的数学描述从根上就需要重写。
本文6900多字，目录如下：
从希帕索斯到量子力学
给量子世界留下“缝隙”
量子计算机或存在能力上限
我们的现实究竟由什么构成
一场可能改变物理学的实验
发表于《新科学家》（New Scientist）的文章截图
1.
从希帕索斯到量子力学
关于古希腊数学家希帕索斯的故事，细节至今存在争议，但几乎所有版本都有一个阴暗的结局：一个人发现了一种新的数学真理，并因此丧命。
传说中，这位古希腊哲学家最终溺死在海上，有的版本称他遭到众神惩罚，有的版本则认为是他的同伴将他处死。
他的“罪行”通常被认为是发现了一类无法表示为精确分数的数字。
这些数字就是无理数，例如√2和π。它们的小数部分可以无限延伸，而且不会循环。
这一发现可能极大震动了希帕索斯所属的毕达哥拉斯学派。这个带有宗教色彩的团体相信，世界的基本结构可以用整数及其比例来描述。无理数的存在却意味着，并非所有长度都能被两个整数之比精确表示。
2000多年后，无理数已经被嵌入量子力学的数学基础之中。
建立量子理论早期公式的物理学家并没有因为这些数学结构而被抛入暴风雨的大海，但他们提出的理论同样曾让同行震惊，甚至被认为接近异端。
一个世纪以来，物理学界已经接受了无理数。
与此同时，包含这些数学结构的量子世界也逐渐成为现代物理学最成功、却最令人困惑的理论领域之一：粒子似乎可能在我们观察之前并不存在确定的状态；两个粒子之间可以形成跨越宇宙尺度的纠缠关系。
爱因斯坦曾把这种现象称为“幽灵般的超距作用”。
但牛津大学物理学家蒂姆·帕尔默（Tim Palmer）认为，量子力学并不一定非得如此。
“没有人完全满意量子力学中发生的一切，但大多数物理学家会说：‘看，我只是使用这个理论，因为它能够给出正确的预测。’”帕尔默说。
如今，他提出了一条激进的出路：把曾经令希帕索斯付出生命代价的无理数，从量子力学中驱逐出去。
帕尔默认为，这一理论可以消除量子力学中的一些核心“怪异”现象，包括量子纠缠，以及允许两个相互矛盾的可能性同时存在的量子叠加。
更重要的是，他提出的“有理数子量子力学”会为量子计算机的能力设定一个根本上限。
这意味着，它不仅可能在不久的将来接受实验检验，还可能直接威胁一个规模达数十亿美元的产业。
如果帕尔默的理论成立，未来量子计算机甚至可能无法运行著名的肖尔算法。
这一算法由数学家彼得·肖尔于1994年提出，用于对超大整数进行因式分解。由于现代大量加密系统的安全性建立在整数分解问题之上，一台能够运行肖尔算法的量子计算机将具备极其强大的解密能力。
自20世纪90年代以来，正是这种潜在能力推动并支撑着量子计算机的发展。
澳大利亚格里菲斯大学物理学家霍华德·怀斯曼（Howard Wiseman）说，如果帕尔默的理论成立，“这当然会对量子计算产生巨大影响，但与它对物理学的影响相比仍相形见绌，因为那将是自量子力学诞生以来最大的革命”。
2.
给量子世界留下“缝隙”
需要明确的是，帕尔默并不反对无理数本身。
在他看来，量子力学故事中的真正数学问题人物是约翰·冯·诺伊曼，后者建立了量子力学最早的严格数学框架。
今天的量子力学课程仍然从冯·诺伊曼的数学体系开始，其中最重要的概念之一就是希尔伯特空间——所有量子行为发生的数学空间。
为了分析电子这样的量子对象，或者预测它未来会如何运动，物理学家会为它赋予一个存在于希尔伯特空间中的数学对象。
在三维希尔伯特空间中，可以把这个数学对象想象成一根箭头，分别指向由三个数字确定的深度、高度和长度。
具体采用什么坐标系，取决于研究者想测量什么。
如果要测量电子的自旋，需要一种坐标系；如果要测量电子的位置，则需要另一种坐标系。
选定坐标系之后，就可以画出相应的箭头，并利用箭头的长度计算某次测量发生的概率。
传统量子力学允许希尔伯特空间中的箭头拥有任意长度。
原因在于，希尔伯特空间是连续的。
这一点与数轴相似：无论把数轴上的某一点放大多少倍，都还会发现更多的数字。
帕尔默认为，正是这种对所有数字的“宽容”，埋下了量子力学种种问题的根源。
在有理数子量子力学中，并非所有箭头都被允许存在。
这意味着抽象数学空间中会出现一道道“裂缝”。
任何长度的平方如果是一个无理数，对应的箭头就会被彻底排除。
这就好像在数轴上寻找√2。
正常情况下，√2位于1和1.5之间；但如果把这个区间不断放大，在有理数子量子力学的数学世界里，原本应该出现√2的位置最终只剩下一道空隙。
“自然界厌恶连续体。”帕尔默说。
传统量子力学已经取得惊人的成功，经受了一个世纪的大量实验检验。
帕尔默强调，有理数子量子力学与这些实验结果并不矛盾。
有理数子量子力学的“筛子”足够精细，以至于过去一个世纪的实验中，它看起来几乎与没有任何筛孔、完整连续的传统量子力学空间没有区别。
但在帕尔默看来，一旦接受有理数子量子力学，就能得到一系列意义深远的结果。
詹姆斯·马奇的画作让人联想到希尔伯特空间，量子波函数的抽象居所。理性量子力学提出，这个空间并非完全连续，而是受到有理数的约束。（图源：James Massena March）
首先，传统量子力学中的一些诡异现象在有理数子量子力学中根本不会出现。
帕尔默重点分析了贝尔实验。
这一实验以物理学家约翰·斯图尔特·贝尔命名，是研究量子纠缠的经典实验。
可以想象，实验人员不断产生一对对相互纠缠的粒子。
每一对粒子中的一个被送给实验者爱丽丝，另一个则被送给远处的鲍勃。
爱丽丝和鲍勃分别独立选择测量自己手中的粒子的某种性质。
例如，爱丽丝可以测量第一颗粒子相对于垂直方向是“自旋向上”还是“自旋向下”。
下一颗粒子则可以测量其相对于水平方向的自旋，如此反复。
与此同时，鲍勃也独立决定如何测量自己手中的粒子，两人之间并不通信。
直到实验结束，他们才把各自获得的数据代入一种所谓的“不等式”。
这是贝尔在20世纪60年代推导出的数学关系，用于检验爱丽丝和鲍勃的测量结果之间是否存在相关性。
其中一些相关性可能只是偶然产生的。
但贝尔确定了一个临界值：如果实验结果超过这一阈值，就说明两个粒子之间存在非定域关联，也就是说，它们似乎能够跨越遥远距离相互影响。
数十年来，大量实验始终发现，量子效应确实可以跨越巨大距离。
这些研究包括最终获得2022年诺贝尔物理学奖的工作。
但这种看似非定域的联系究竟意味着什么，至今仍是一个开放问题。
量子力学的一些诠释干脆接受非定域性。
另一些诠释则走得更远，认为某种物理定律预先决定了测量结果。这样一来，看似诡异的关联并非来自超距作用，而是来自对爱丽丝和鲍勃自由意志的某种限制。
根据一些诠释，贝尔实验中最奇怪的一点还在于：粒子似乎只拥有我们实际测量的那些性质。
如果爱丽丝测量的是垂直方向的自旋，那么在她进行观测之前，她手中的粒子在水平方向的自旋似乎并没有一个确定值。
帕尔默的理论试图绕过这一整套问题。
在有理数子量子力学中，自由意志仍然存在，但某些测量根本不可能进行。
当连续的数学空间被一个类似网格、存在缝隙的空间取代之后，一些原本被允许的测量就会掉入这些数学裂缝之中。
帕尔默说，对贝尔实验进行仔细分析后可以发现，这些缺失的测量恰恰是那些反事实测量——也就是爱丽丝本来可以进行、但实际上没有进行的测量。
“贝尔实验的整个诠释发生了彻底、彻底、彻底的变化。”帕尔默说。
在他的理论中，不再需要非定域性，也不再需要所谓“幽灵般的超距作用”。
在他看来，只要重新思考哪些量子态在理论上真正可能存在，就能解决许多量子理论中的怪异情形。
其中甚至包括埃尔温·薛定谔著名的思想实验：一只猫在没有被观察时，似乎同时处于生与死两种相互矛盾的状态。
3.
量子计算机或存在能力上限
有理数子量子力学放弃无理数和连续的希尔伯特空间，还会直接影响量子计算。
在量子计算机内部，信息被编码在被称为量子比特的量子对象状态中。
为了操纵量子计算机中的信息，研究人员需要让量子比特彼此相互作用，或者让它们形成纠缠。
这些量子计算步骤可以用于执行传统计算机难以处理的计算任务。
但一个重要事实是，目前数学家已经证明只能由量子计算机解决的问题其实非常少。
其中最突出的问题，就是肖尔在1994年提出的大整数因式分解算法。
由于现代大多数加密密钥都建立在整数分解数学基础上，一台能够运行肖尔算法的量子计算机将成为极其强大的解密机器。
这正是为什么世界各国政府、企业和研究机构都在为所谓“量子日”（Q-Day）做准备。
量子日指的是这样一个时刻：量子计算机将击溃目前保护数字通信和数字交易的各种防线。
然而，根据研究人员目前最好的估计，这样的设备需要大约50万个量子比特。
这个数字是现有最大规模量子计算机的数百倍。
而且，目前的量子比特仍然存在噪声，容易发生错误，因此还无法执行复杂计算。
制造一台能够运行肖尔算法的量子计算机，是一个极其艰巨的工程挑战。
大量资源正在投入其中。
但如果现实世界符合有理数子量子力学，这一切努力最终可能都没有意义。
在有理数子量子力学中，量子比特能够承载的信息量存在一个有限上限，因为它们的量子态受到新的数学限制。
如果把一个量子比特的量子态能够编码的最大信息量表示成由0和1组成的字符串，那么这个字符串会长得难以想象，但它仍然是有限的。
帕尔默估算了有理数子量子力学允许的最大长度。
结果大得惊人：2^400，也就是超过宇宙中所有原子估计总数的100亿亿亿倍。
但即使如此，它仍然是一个有限数字。
帕尔默进一步指出，只要一台量子计算机拥有超过400个完美、完全无错误的量子比特，就可能触及这一限制。
当然，这仍然远远超过目前人类拥有的量子比特规模。
问题在于，运行肖尔算法需要量子态能够包含比长度为2^400的比特字符串更多的信息。
而这已经超过有理数子量子力学允许的最大字符串长度。
因此，帕尔默预测，这样的量子计算机最终会失败。
也就是说，不会出现大整数被成功分解，也不会出现加密系统被破解。
但如果未来的量子计算机真的能够做到这一点，有理数子量子力学就会被彻底推翻。
“如果他们能够分解某个足够大的数，我的理论就是错的，我很乐意放弃它，去做别的事情。”帕尔默说。
不过，他对此依然充满信心。
他说，贝尔实验等长期存在的量子谜题如今能够在他的框架下得到解决，这让他相信自己正在沿着正确的道路前进。
4.
我们的现实究竟由什么构成
有理数子量子力学的理论赌注非常巨大，因此它作为一种解释量子世界基础的理论，需要接受严格审视。
其中有两个问题无法回避。
第一个问题是：为什么希尔伯特空间必须被一个从一开始就不连续的空间取代？
密歇根州立大学物理学家斯蒂芬·许（Stephen Hsu）指出，物理学家习惯于使用连续理论，也就是光滑的空间，而不是类似筛网的离散空间。
但在数学家和信息论专家之间，这类连续理论本身存在更多争议。
许说，有非常充分的理由认为，那些依赖连续体的数学结构，其严谨程度可能不如建立在有限、离散部分之上的数学结构。
原因在于，连续数字不可避免地会把数学带向无穷。
一些数学家认为，无穷会威胁数学学科的可靠基础。
许还指出，无穷是否能够存在于物理现实中，本身也存在争论。
“如果我需要无限多个不重复的数字才能表示这个无理数……我不确定究竟是哪套公理系统真正包含了这个数，以及你究竟如何生成它，因为你不可能通过有限步生成它。”许说。
第二个问题则更加直接：为什么是无理数，而不是其他某一类数字，应该从帕尔默的数学空间中掉进这些“缝隙”？
虽然帕尔默重点考虑的是排除无理数，但离散化的想法并非凭空出现。
2005年，许和同事曾提出，如果时空本身是离散的，那么任何实验都无法排除一种类似离散希尔伯特空间的可能性。
他们对这种空间进行分析后，得到了一些与帕尔默类似的结论。
其中就包括：量子计算机永远不会拥有运行肖尔算法所需的计算能力。
这一结果为有理数子量子力学提供了额外支持，但同时也带来了新的限制。
离散、类似网格的量子理论数学空间无法被排除，并不意味着现实就一定是这样。
另一个问题是时空本身。
时空真的可能是离散的吗？
这里需要关注一个关键物理量：普朗克长度。
现有最好的物理理论在处理小于这一尺度的物体时都会失效。
普朗克长度大约比质子小1000亿亿倍。
因此，一些物理学家提出，普朗克长度或许可以被理解为宇宙的“像素大小”。
但这一问题仍然无法确定。
只有当物理学家建立起一种能够成功统一量子物理与引力的理论后，答案才可能真正浮现出来。
量子物理描述极其微小的世界，而引力则支配着宇宙尺度的巨大结构。
怀斯曼说：“时空离散化只是一种假设，因为我们还没有量子引力理论。”
但帕尔默认为，引力应该参与决定量子对象现实的数学空间。
他直接把这一假设纳入了有理数子量子力学。
量子比特等量子对象具有一种脆弱性：它们很容易失去量子性质。
例如，一个量子比特如果被置于两个相互排斥的状态叠加之中，那么随着时间推移，它最终会坍缩到其中一个状态，从而失去原本独特的量子性质。
这种坍缩究竟是如何发生的，目前仍存在激烈争论。
但在20世纪80年代，匈牙利维格纳物理研究中心的拉约什·迪奥西（Lajos Diósi）和牛津大学的罗杰·彭罗斯提出，这种坍缩可能由引力导致。
帕尔默把这一想法应用到具有有限信息容量的量子比特中。
结果，一个关键数字——400个完美量子比特——由此出现，并进一步推动了他关于量子计算能力上限的假设。
瑞士日内瓦大学物理学家尼古拉·吉辛（Nicolas Gisin）说：“这是一个合理的假设。也许是一个不是所有人都会同意的大胆假设，但它是一个理性的论证。”
但在吉辛看来，引入引力并没有让有理数子量子力学变得更加清晰，反而带来了更多问题。
例如，量子比特可以由无质量粒子构成，而引力只会影响具有质量的物体。
吉辛还不相信有理数子量子力学能够彻底消除贝尔实验所揭示的量子非定域性。
在他看来，即便未来量子计算机运行肖尔算法的实验能够证明量子理论确实需要离散空间，而不是连续的希尔伯特空间，还需要进一步研究，才能证明这些空间中的“缝隙”恰好就是那些能够让传统量子力学诡异现象消失的缝隙。
5.
一场可能改变物理学的实验
怀斯曼认为，如果有理数子量子力学真的要取代量子力学，它必须解释远不止量子比特。
目前它还做不到这一点。
他说，有理数子量子力学应该建立起一种能够解释一切可存在事物的体系，包括宏观物体。
如果能够做到，这将意味着人类对现实的理解需要进行真正意义上的重构。
总体而言，怀斯曼认为帕尔默的理论非常激进。
西班牙塞维利亚大学物理学家阿丹·卡韦略（Adán Cabello）也有类似担忧。
传统量子力学建立在一系列方程和公式之上，而这些数学关系只有在物理学家熟悉的希尔伯特空间中才能成立。
例如，量子对象的位置和动量必须满足一种非常特定的关系。
卡韦略认为，一旦量子态不再能够通过无限长度的比特字符串表示，这种关系就会失效。
“这一关系有大量经过实验验证的后果，包括海森堡不确定性原理和原子的量子化能级，而且这些现象都已经经过极高精度的实验检验。”卡韦略说。
如果明天就有人制造出一台能够通过运行肖尔算法检验有理数子量子力学的量子计算机，卡韦略愿意押注传统量子力学最终会胜出。
帕尔默本人则并不担心自己的理论是否需要接受一套复杂的基本规则或公理。
他说，与拥有多个基本公理的传统量子理论不同，有理数子量子力学只有一个基本公理，其他一切都从这个公理中涌现出来。
在他看来，这也是有理数子量子力学的一项重要优势。
尽管存在这些分歧，卡韦略仍然支持帕尔默的工作。
“有无数种理论大致看起来像量子理论，但它们都没有被完全建立起来，也无法提出能够通过实验检验的预测。”卡韦略说。
在他看来，有理数子量子力学的潜力恰恰在于，它提出了一项具体的实验检验。
更巧合的是，用于进行这种检验的设备已经在建造之中。
卡韦略认为，一些更加复杂的贝尔实验版本也可能帮助判断：量子物理究竟需要物理学家过去一个世纪一直使用的希尔伯特空间，还是实际上遵循有理数子量子力学那种存在“孔洞”的规则。
吉辛也持有类似的复杂态度。
他并不回避称帕尔默的一些想法“大胆”，也不认为有理数子量子力学能够轻松通过未来的实验检验。
“但我认为这是很好的物理学，因为它可以被检验。”他说。
今年6月，也就是帕尔默提出有理数子量子力学的论文发表仅几个月后，量子计算公司QuEra宣布计划在2029年前制造一台拥有超过1000个无错误量子比特的设备。
其他几家公司也提出了类似的时间表。
制造真正强大量子计算机的竞赛正在升温。
而在这场竞赛的终点，等待着的可能不仅仅是一台更强大的机器。
那里还可能存在一个比量子计算本身更加根本的问题的答案：
过去一个世纪，我们是不是从一开始就错误地理解了量子物理？
参考文献：
Karmela Padavic-Callaghan. Why banishing irrational numbers could trigger a revolution in quantum theory. New Scientist, 24 August 2026
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