"分形"（fractal）一词由Benoît Mandelbrot于1975年提出，来源于拉丁文"fractus"，意为"破碎"或"不规则"，但分形的数学思想可以追溯到17世纪数学家Gottfried Leibniz提出的"回归自相似"概念。1872年，数学家Karl Weierstrass构造了连续但处处不可微的函数，该函数的图像现在被普遍认为是一个分形。1904年，数学家Helge von Koch不满Weierstrass抽象分析的定义，利用甚至连小朋友都能掌握的简单画图（几何）方法，构造一个类似函数的图像，现在被称为von Koch曲线，该曲线也是连续但处处不可微的。波兰数学家Wacław Sierpiński分别于1915年和1916年，构造现在称为Sierpiński垫片和Sierpiński地毯的图形，它们是两个典型分形，但性质截然不同：前者属于"有限分枝"，即不同的小块相交为有限集合；而后者属于"无限分枝"，即不同的小块相交为无限集合。随后，在19世纪末和20世纪初，利用自相似性，数学家们构造出更多的分形，如Cantor集（1883年）、Fatou集（1917年）、Julia集（1918年）、Lévy曲线（1938年）等，但直到20世纪60年代计算机的出现，人们才看清许多原来发现的分形所呈现的漂亮图形。
最初，人们关心的主要是分形集的几何（静态）结构，如Hausdorff维数、Hausdorff测度、多重分形等，或者分形图像处理，以及与分形密切相关的动力系统（如Julia集和Mandelbrot集）和涉及生物学领域的L-系统等。20世纪80年代，物理学家和数学家开始关心分形集的分析（动态）结构，研究分形区域上的布朗运动。1988年，数学家M. Barlow和E. Perkins利用随机过程理论，构造性地证明了Sierpiński垫片上布朗运动的存在性，并得到转移密度（或热核）的上下界优美估计。1990年，T. Lindstrøm在更为广泛的一类分形集，即嵌套分形（nested fractal）上构造布朗运动。随后，M. Barlow和R. Bass在20世纪80年代末和90年代初，构造出平面Sierpiński地毯上的布朗运动，并同时得到热核上下界估计；1999年，他们将此结果推广到高维空间中的Sierpiński地毯（海绵）。以上工作，都借助于复杂的随机过程理论。
L-系统产生的Sierpiński 垫片
一个自然的问题是：是否可以用较简单的分析方法得到类似结果，并推广到其他分形区域？日本数学家J. Kigami（1989年）和M. Fukushima（1992年）等首先进行这方面的研究，构造了Sierpiński垫片上的局部、正则、保守、自相似的狄氏型，该狄氏型正好对应Barlow和Perkins等所构造的布朗运动。随后，J. Kigami对更一般的分形集进行研究，在1993年提出后临界有限（post-critically finite）自相似集的概念（这类分形集都是有限分枝）。利用分析的方法，J. Kigami和R. Strichartz等数学家，较系统地研究了后临界有限自相似集这类分形区域上的狄氏型、Laplace算子和谱分析等。进一步，Kenneth J. Falconer（1999年）等利用山路引理，研究基本分形集上的某些非线性偏微分方程，从而，形成与概率学派相媲美的分析学派，使得这一方向的研究变得生机勃勃，方兴未艾。
分形集上的热核估计是这一方向研究的重要焦点。热核本身是诸多物理现象的根源，在数学物理、几何学、概率论和随机过程理论、图论、函数空间理论，包括分形几何等诸多数学领域起着极其重要的作用，属数学领域的交叉研究课题。如著名的Atiyah-Singer指标定理的证明和七大"世纪数学猜想"之一的Poincaré猜想的解决，都离不开热核及其估计。近年来，本书作者与Alexander Grigor'yan、Ka-Sing Lau等合作，尝试利用纯分析技巧，研究分形维度空间的热核估计及其相关问题，包括从不同角度找出热核估计各种各样等价条件。但这一方向的研究还远未成熟，特别是分形集上热核的研究，仍是未来研究的焦点之一。
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分形分析引论（第二版）购买
胡家信 著
北京: 科学出版社, 2026.6
ISBN 978-7-03-084503-0
从2006年起，作者为清华大学高年级本科生和研究生开设了分形几何课程，尝试介绍上述方面的基本理论。《分形分析引论》是根据作者的讲义稿编写的，目的是为初学者简单介绍这一方向的基础知识。《分形分析引论（第二版）》是在2013年第一版的基础上修改而成，系统介绍分形上的分析。
内容分为两部分：前半部分 (第1～6 章)介绍分形几何的基本知识, 涵盖自相似集、随机分形、Julia 集、Mandelbrot集、L-系统等内容, 并讲解如何利用 MATLAB 软件绘制分形图形，可以供非数学专业的科研人员参考； 后半部分 (第7～12 章) 介绍分形集上的分析, 首先介绍 Hausdorff 测度、Hausdorff 维数、热半群、狄氏型等基础知识, 然后以 Sierpiński 垫片为模型, 深入讨论狄氏型的构造、定义域刻画及热核估计等内容，涉及的数学知识较多，特别是狄氏型和热核部分，主要供数学系的研究生或数学专业科研人员参考。具体修改如下：
增加了MATLAB基本知识（见3.1节），修改并简化了第一版中的MATLAB程序，以便在R2023a版本上运行，本书新添加了16个MATLAB程序（第1~6章），包含44个MATLAB程序代码。
添加了自相似测度，满足加倍性质（见7.4节）。
修正了第一版的某些错误。
在第一版前言的文献处和正文中，更新并添加了一些参考文献。
添加了数学家Pierre-Simon Laplace（1749~1827）的简介（见第9章扩展阅读）。
数学家的简介，是经过作者精心挑选和加工的，资料均采自权威性网站，主要参考英国圣安德鲁斯大学数学与统计学院的网站：https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/。本书中的练习题放在每章末，以方便读者练习。
本书的LaTeX源文件，是使用软件Scientific Workplace 5.5输入而成的，所有MATLAB程序均可在2023a版本上运行。
本书的出版得到国家出版基金的资助，本书的修订得到国家自然科学基金的资助，在此表示感谢。
本文摘编自《分形分析引论（第二版）》（胡家信著. 北京: 科学出版社, 2026.6）一书"前言"及"第一版前言"，有删减修改，标题为编者所加。
ISBN 978-7-03-084503-0
责任编辑：李 欣 李月婷 李 萍
本书前半部分适合非数学专业人员，特别是工程技术人员阅读参考；后半部分可供数学专业人员参考。
（本文编辑：刘四旦）
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