【解题研究】任尔多变幻，吾只一招破——2026年扬州中考数学第27题
在研究中考几何压轴题的过程中，我们对一题多解极有兴趣，当然这样的压轴题往往也非常精彩，当我们在课堂上给学生讲解时，也会收获学生的惊叹与佩服。但除此之外，是否还有一种比较“笨”的招，适合那些“一根筋”的中等生，也帮助他们实现成功解题呢？这便是多题一解的由来，我们当然要追求最优解，学生能掌握当然最好，但至少得有一条路，硬着头皮也能走下去的一条路，帮助那些执着的孩子们。
题目
如图1，在正方形ABCD中，E是AD边上的动点（不与点A，D重合）.将△ABE沿BE翻折，得到△FBE.过点F作FM⊥BE，FN⊥BC，垂足分别为M，N.
(1)如图2，若FM=FN，求FM+FN的值；
(2)如图3，若E为AD中点，则FM的长为______，FN的长为________；
(3)求点E运动过程中FM+FN的最大值.
解析：
01
(1)由FM=FN可知BF是∠MBN的角平分线，又由翻折可知BE是∠ABF的角平分线，于是得到∠ABE=∠EBF=∠FBC=30°，由特殊三角形的三边关系，求得FM=FN=1/2，所以FM+FN=1；
02
(2)虽然不存在(1)中那样的含30°角的直角三角形，但本题中的三角形也不一般，△ABE的三边之比满足1:2:√5，勉强也算特殊直角三角形，我们同样可以利用这个关系来求线段长；
当然，仅有△ABE是不够的，我们延长NF交AD于点G，再连接AM，如下图：
我们很容易证明∠FAG=∠ABE，因此对于Rt△AGF而言，它也满足三边之比为1:2:√5，在Rt△ABE中，AE=1/2，AB=1，则BE=√5/2，先用面积法求出AM=√5/5，由对称性可知FM=√5/5；
现在AF=2√5/5，而在Rt△AGF中，同样利用特殊边长比可求出FG=2/5，所以FN=1-2/5=3/5；
03
(3)由于前两次都是借助特殊直角三角形三边之比来求解，那么本小问中已经不存在这一类特殊数量关系了，怎么办？
不妨设AE=x，则
对于△ABE，满足三边之比AE:AB:BE为
然后迁移前面的经验“强行突破”，仍然在Rt△ABE中用面积法求AM得
而Rt△AFG也满足同样三边之比，所以继续求FG得
又FM=AM
所 以
面对这样一个较为复杂的代数式，不妨用换元法简化：
由二次函数图象性质可得FM+FN的最大值为9/8.
解题思考
其实第三问的这种方法并非“最优解”，但它有一桩好，就是将其中的x替换成前两小问中的具体数字，几乎不用作任何改变，就能求出结果，即它可以算是本题的“公式法”，相比较之下，利用一线三直角或相似三角形，是在“公式法”基础上进行简化而来，对学生几何直观要求比较高，不过一旦想到了，解出来就很容易，这是优点。
之所以将这种“笨”法写出来，其实也是通过观察学生的常规思路中，喜欢将“动点E”这个条件理解为设AE=x，然后试图将FM+FN用含x的代数式表示，走这条路的多数学生会被卡在那个较为复杂的代数式上，能想到用换元法的并不多。
如果用这种一以贯之的理念来看本题诸多解法，则个人认为，通法效果会好一些，这让那些能力不那么强的孩子看到一点希望。
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