有理数是小学整数、分数向"带符号的数"的扩展。引入负数后，数被放在一条"数轴"上，相反数、绝对值让我们能精确描述"方向"和"距离"。

  • 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。
  • 相反数：a 与 －a 分居原点两侧、到原点距离相等。
  • 绝对值：|a| 表示到原点距离；|a|＝a(a≥0)，|a|＝－a(a＜0)。
  • 运算：加减（异号取大符号）、乘除（同号正异号负）、乘方、科学记数法。
  • 数轴当"温度计"：0 是冰点，上为暖下为冷。
  • 绝对值想"离家距离"，与方向无关。
  • 乘法符号法则编口诀："负负得正"。

例：计算 －3 ＋ 5 － |－4| ＋ (－2)²
＝ －3＋5－4＋4 ＝ 2。易错：把 |－4| 当 －4，或 (－2)² 算成 －4。

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实数

实数 = 有理数 ＋ 无理数，把"数轴"填满了。开方运算（平方根、立方根）和二次根式是实数运算的核心工具。

  • 平方根：若 x²＝a，则 x＝±√a；算术平方根为 √a（a≥0）。
  • 立方根：若 x³＝a，则 x＝³√a（任意实数都有）。
  • 无理数：无限不循环小数（π、√2 等）。
  • 二次根式：√a（a≥0）；性质 √(ab)＝√a·√b、√(a/b)＝√a/√b；最简二次根式、分母有理化。
  • 平方根想"边长的平方是它"；立方根想"立方是它"。
  • 化简 √12＝√(4×3)＝2√3，像"提公因式"。
  • 无理数用"永远除不尽"体会。

例：化简 √18 － √8 ＝ 3√2 － 2√2 ＝ √2。先化成最简再合并同类二次根式。

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