一说起圆周率 π，几乎每个人都能脱口而出 3.1415926。
它是数学界最出名的常数，也是我们上学时接触的第一个无理数。
但很少有人会深究：在没有计算器、没有三角函数表、甚至连小数点概念都没有的几千年前，古人到底是怎么算出这个数的？他们又是怎么确定 π 是一个固定不变的常数，还能一步步把它算得越来越精确的？
先搞懂一个问题：为什么 π 一定是个常数？
凭什么说所有圆的周长和直径的比值都是同一个数？会不会大圆的比值大一点，小圆的比值小一点？
别觉得这个问题无聊。
在几千年前，这是算 π 的大前提。如果这个比值每个圆都不一样，那它就不是一个 “率”，算出来也没有意义。
古人必须先证明它是个固定值，才有资格去算它到底是多少。
那古人是怎么证明的？说穿了就是初中几何里的 “相似形” 思路，再加上一点点朴素的 “极限” 思想。
你可以在纸上画两个同心圆，圆心都是 O，一个半径小、一个半径大。
然后给这两个圆，画上边数完全相同的内接正多边形，比如正四边形、正六边形，并且让两个多边形的对应顶点，都落在同一条从圆心出发的射线上。
这时候你看，从圆心连出两条半径，加上多边形的一条边，刚好组成一个等腰三角形。
两个圆里的这两个三角形，顶角是同一个角，两腰的长度比例又一样，所以它们肯定是相似三角形。
相似三角形的对应边成比例。
也就是说：小圆多边形的边长 ÷ 小圆半径 = 大圆多边形的边长 ÷ 大圆半径。
周长是边长乘以边数，两边同时乘以边数 n，比例依然不变。
所以就有：小圆内接多边形的周长 ÷ 小圆半径 = 大圆内接多边形的周长 ÷ 大圆半径。
接下来就是最关键的一步：如果这个多边形的边数越来越多，会发生什么？
边数越多，每条边就越短，多边形的轮廓就越贴近圆形。
当边数多到 “无限” 的时候，这个多边形就几乎和圆完全重合了，它的周长也就几乎等于圆的周长。
把这个极限情况代入上面的比例式，就得到了结论：小圆的周长 ÷ 小圆半径 = 大圆的周长 ÷ 大圆半径。
既然周长和半径的比值是固定的，那周长和直径（直径就是两倍半径）的比值当然也是固定的。
这个固定不变的比值，就是圆周率 π。
就这么简单？就这么简单。
但就是这么一个朴素的结论，古人花了很长时间才彻底想透。而真正难的还在后面：这个固定的比值，到底是多少？
历史上第一个用严谨的数学方法，算出 π 的精确取值范围的人，是古希腊的阿基米德。
就是那个洗澡时发现浮力定律、喊出 “尤里卡” 的科学家，也是那句 “给我一个支点，我就能撬动地球” 的狠人。
在阿基米德之前，人类对 π 的认知基本停留在 “大概是 3” 的水平。
比如中国古书上说的 “径一周三”，就是直径为 1 的时候，周长约等于 3。古巴比伦、古埃及也差不多，都是靠测量得到的粗略值，误差很大。
阿基米德干的最牛的事，就是第一次不靠瞎猜、不靠测量，纯靠数学计算，把 π 的精度拉到了 99.9% 以上。
他的核心思路说穿了八个字：内接外切，两边逼近。
既然算不出圆的精确周长，那我们就给圆 “上下套圈”：
在圆的里面，画一个所有顶点都在圆上的正多边形，叫 “内接正多边形”，它的周长肯定比圆短；
在圆的外面，画一个每条边都跟圆刚好擦过的正多边形，叫 “外切正多边形”，它的周长肯定比圆长。
这么一来，圆的周长就被牢牢夹在了内接周长和外切周长之间。π 是周长除以直径，自然也就被夹在了两个数值之间。边数越多，多边形越贴圆，夹出来的范围就越窄，π 的精度就越高。
咱们用最简单的正方形举个例子，你一下就懂了。
假设有一个直径为 1 的单位圆，它的周长正好就是 π。
先画内接正方形，四个顶点都在圆上，那正方形的对角线刚好就是圆的直径 1。
用勾股定理一算，边长是√2/2，大概 0.707，周长就是 4×0.707≈2.828。所以 π 肯定比 2.828 大。
再画外切正方形，四条边都和圆相切，那正方形的边长刚好等于直径 1，周长就是 4。所以 π 肯定比 4 小。
你看，就这么简单一步，我们就把 π 锁在了 2.828 到 4 之间。但这个范围还是太宽了，差出去 1 多，精度很差。
怎么办？加边数。
把正方形换成正八边形，边数多了一倍，多边形更圆了，夹出来的范围自然就更紧了。算一下的话，内接正八边形周长约 3.061，外切正八边形周长约 3.314，范围一下子缩小到了 0.25 左右。
那要是换成正 16 边形、32 边形、64 边形呢？
精度肯定会越来越高。
但问题也随之而来：边数越多，边长越难算。正六边形还好，边长等于半径，口算都能出结果。
但正 12 边形的边长怎么算？正 24 边形呢？总不能每次都用勾股定理硬推吧？
更麻烦的是，阿基米德那个年代，既没有三角函数表，也算不了正弦正切，甚至连小数点都还没发明出来，所有数字都只能用分数表示。
换一般人可能就卡在这了，但阿基米德不愧是数学大师，他直接发明了一套 “迭代算法”，完美绕开了三角函数。
这套算法的逻辑很巧妙：只要你知道了正 n 边形的内接周长和外切周长，我就能只用加减乘除和开平方，直接算出正 2n 边形的内接和外切周长，不用再从头算角度。
具体的递推规律有两条：
第一，边数翻倍后的外切多边形周长，等于前一次内接周长和外切周长的 “调和平均数”。简单说就是两个数倒数的平均数再取倒数，公式是 2ab/(a+b)。
第二，边数翻倍后的内接多边形周长，等于前一次内接周长和刚算出来的新外切周长的 “几何平均数”，也就是两个数相乘再开平方，即√(ab)。
就这么两条规则，像滚雪球一样，从边数少的多边形，就能一步步推出边数翻倍的多边形周长，全程不用碰三角函数。
阿基米德是从正六边形开始算的。
正六边形最简单，内接正六边形边长等于半径，直径为 1 的话，半径 0.5，边长 0.5，周长就是 3；外切正六边形的周长也不难算，大概是 3.464。
有了正六边形的两个数，接下来就能算正 12 边形，再算正 24 边形、正 48 边形，一直算到正 96 边形。
就这么一步步手算，算到正 96 边形的时候，阿基米德得到了最终结果：π 大于 223/71（约 3.1408），小于 22/7（约 3.1429）。
这个结果有多厉害？在 2200 多年前，没有任何计算工具，全靠手算开平方，还用分数近似，就能把 π 的误差控制在千分之零点二以内，精度达到 99.9%。
更了不起的是这套迭代思想，本质上就是后来微积分 “极限逼近” 的雏形。用有限的步骤去靠近无限的结果，这种思维在当时完全是降维打击。
那他为什么不算到 192 边形、384 边形，让精度再高一点？
不是不想，是不能。
因为当时没有小数，每一次开平方都要用分数去近似，每一步都会带进来一点误差。算的次数越多，误差积累得就越大，再往下算反而不准了。
96 边形刚好是精度和误差的平衡点，再算就得不偿失了。
在那之后的上千年里，全世界都习惯用 22/7 来近似 π，用的就是阿基米德给出的上限。
聊完古希腊，咱们再说说中国的圆周率成就。
很多人都知道祖冲之把 π 算到了小数点后第七位，但很多人不知道，在祖冲之之前，魏晋时期的数学家刘徽已经打下了非常扎实的基础。
刘徽在给《九章算术》作注的时候，提出了著名的 “割圆术”，还说了一句流传千古的话：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”
意思就是，把圆分割成的多边形边数越多，多边形和圆的差别就越小；一直分割下去，到不能再分的时候，多边形就和圆完全重合，没有任何误差了。
你看，这和阿基米德的思路几乎异曲同工，都是用极限的思想去逼近圆形。
刘徽从正六边形开始，每次边数翻倍，一直算到了正 3072 边形，得到 π≈3.1416，这个结果在当时已经是世界顶尖水平。
而祖冲之，就是站在刘徽的肩膀上，把这件事做到了极致。
祖冲之是南北朝时期的数学家，大概在公元 480 年左右，他算出了 π 的值在 3.1415926 和 3.1415927 之间，也就是精确到了小数点后第七位。
这是什么概念？
这个精度记录，直到差不多一千年后的 15 世纪，才被阿拉伯数学家阿尔・卡西打破。
在整整一千年里，全世界的圆周率精度，都没有超过祖冲之的水平。
除了小数范围，祖冲之还给出了两个非常实用的分数近似值：一个叫 “约率”，是 22/7，和阿基米德的结果一致，精度稍低，日常计算完全够用；另一个叫 “密率”，是 355/113。
这个密率可太绝了。
你算一下 355 除以 113，结果是 3.1415929203……
对比 π 的真实值 3.1415926535……，小数点后前六位完全一样，误差只有千万分之三。
更夸张的是，要想找到一个比 355/113 更精确的分数近似，下一个得是 52163/16604。分母直接从 113 跳到了一万六千多，计算量翻了上百倍。
用一个分母只有 113 的简单分数，就能达到小数点后六位的精度，这在古代简直是神来之笔。直到今天，密率都是一个非常简洁漂亮的近似值，很多工程计算用它都完全足够。
不过这里有个小小的遗憾：祖冲之到底是怎么算出这么高精度的 π 的？他的数学著作《缀术》后来失传了，里面的计算方法也没能完整传下来。
现在学界普遍认为，祖冲之应该是沿用了刘徽的割圆术，继续往下分割计算。那要算到小数点后第七位，得分割到多少边形呢？大概是正 24576 边形。
你可以想象一下，在没有计算器的古代，用算筹一根根摆来摆去，算两万多边的正多边形，每一步都要做开平方运算，还要保证精度不出错，工作量大到难以想象。
祖冲之愣是靠着耐心和惊人的计算天赋，把这件事做成了。
而中国古代的算筹计算体系，虽然看起来原始，其实能支持非常大数字的运算，开平方、开立方都能实现，只要有足够的空间和耐心。祖冲之能取得这样的成就，和当时中国发达的计算工具是分不开的。
在祖冲之之后的上千年里，圆周率的计算其实进步很慢。
大家要么沿着割圆术的老路继续加边数，要么用各种经验值，没什么本质上的突破。
直到 17 世纪微积分诞生，事情才迎来了真正的转机。
数学家们发现，根本不用辛辛苦苦画多边形算边长了，用 “无穷级数” 就能算 π，而且公式越找越多，收敛速度越来越快。
什么是无穷级数？
简单说就是一个无限长的加法算式，加的项越多，结果就越接近 π。
比如最有名的莱布尼茨级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ……
就这么简单的交替加减，一直加下去，加的项越多，结果就越接近 π/4，乘以 4 就是 π 了。
不过这个级数有个缺点：收敛太慢了。
要算到小数点后两位，得加几百项；要算到小数点后十位，得加几百万项，效率很低。
后来数学家们又找到了很多收敛更快的公式，比如马青公式，还有各种各样的反正切展开式，算 π 的速度一下子就上来了。
到 19 世纪的时候，人工计算已经能把 π 算到小数点后几百位。
再后来计算机出现了，算 π 这件事就彻底 “卷” 起来了。从最早的几万位，到后来的几百万、几十亿，再到现在的几十万亿位，π 的位数记录一直在疯狂刷新。
可能很多人会问：算这么多位有啥用？现实生活中根本用不到啊。
确实，日常计算用 3.14 就够了，工程上最多用到小数点后十几位；就算是计算整个可观测宇宙那么大的圆，用到小数点后几十位，误差都不到一个原子的大小。
那人类还玩命算 π 干嘛？
主要有两个原因。
第一是测试计算机性能。
算 π 是非常考验计算机计算能力和稳定性的任务，同样时间内谁算的位数多、精度高，谁的硬件性能就强。很多新芯片、新超级计算机，都会用算 π 来做性能测试。
第二是研究 π 的数学性质。
数学家们一直有个猜想：π 是一个 “正规数”。也就是说，它的每一位数字都是完全随机的，0 到 9 出现的概率完全相等，甚至任何数字组合出现的概率都符合随机分布。
但这个猜想至今也没能被严格证明。
人们算这么多位 π，也是想通过海量数据去验证，π 的数字到底是不是真的随机，里面有没有隐藏什么不为人知的规律。
说不定哪天，我们能在 π 的无数位数字里，发现什么惊人的秘密呢。
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