提起冯·诺依曼 （John von Neumann） 、乔治·波利亚 （George Pólya） 、保罗·埃尔德什 （Paul Erdős） 和图兰·帕尔 （Pál Turán） ，人们往往会想到不同的数学故事。而在他们的故事中，你会常常看到同一人的名字出现——利波特·费耶尔 （Lipót Fejér）。
利波特·费耶尔（1880年2月9日—1959年10月15日），匈牙利数学家，布达佩斯大学数学教授。
他不仅以一己之力“拯救”傅里叶分析，更在咖啡馆与讲台之间培养了匈牙利数学的“黄金一代”。亨利·庞加莱 （Henri Poincaré） 甚至说过：“费耶尔是匈牙利最伟大的数学家，也是世界上最伟大的数学家之一。”
在波利亚的回忆中，费耶尔常和年轻人坐在咖啡馆里，谈论数学问题，也讲述数学家的故事。“他是个出色的讲述者，说起某位大数学家的小缺点时，那副神情手势让人无法抗拒。那些在咖啡馆里度过的时光，是许多人珍视的回忆。”
那么，费耶尔究竟是谁？又有怎样的人生与传奇？故事，还要从19世纪末的匈牙利说起。
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竞赛奠基，初遇傅里叶级数
和有着数学教师父母的埃尔德什不同，1880年2月9日，费耶尔出生于匈牙利佩奇的一个商人家庭。最初，他的求学经历并不顺利，费耶尔的父亲一度让他离开学校，想亲自在家教他。
布达佩斯大学（现罗兰大学）
这时，费耶尔遇到了人生中的第一位引路人，中学教师西格蒙德·马克绍伊 （Sigismund Maksay） 。当时，布达佩斯当地杂志经常举办面向中学生的数学活动，马克绍伊便鼓励费耶尔向《中学生数学杂志》寄送题解，波利亚和嘉博·赛格 （Gábor Szegő） 等人也是该杂志的忠实读者。在思考和解题之间，费耶尔摸索着走向数学的研究之路。
费耶尔尤其喜欢几何。1897年，他获得厄特沃什数学竞赛第二名（该赛事被视为现代中学生数学竞赛的起源之一），也是因为几何解法的简洁及对问题所作的推广而被大家注意。同年，他中学毕业、进入布达佩斯理工大学，随后转入布达佩斯大学继续学习数学和物理。
大学生涯，费耶尔开始接触不同老师的课程，先后聆听了尤利乌斯·柯尼希 （Julius König） 、约瑟夫·库尔沙克 （József Kürschák） 、马诺·贝凯 （Manó Beke） 和罗兰·厄特沃什 （Loránd Eötvös） 等名师的讲授。
赫尔曼·施瓦茨，德国数学家，师从魏尔斯特拉斯，并于1892年接替老师出任柏林大学教授。他的研究涉及函数论、极小曲面与变分法，常将几何问题转化为分析问题来处理，他用泊松核解决狄利克雷问题的方法也对费耶尔定理的发现产生了一定影响。
然而，真正改变他学术道路的，是1899年在柏林大学度过的一年。在那里，他结识了人生中第二位引路人施瓦茨 （Hermann Schwarz） 。正是在与施瓦茨的讨论中，费耶尔开始认真思考傅里叶级数的收敛问题。
当时，傅里叶级数虽已用于研究热传导等物理问题，但它在数学上的可靠性仍面临困境。人们原本相信，用正弦、余弦函数叠加，几乎可以表示任何函数。可1873年，保罗·杜布瓦-雷蒙 （Paul du Bois-Reymond） 构造出一个反例，打破了这份信心：即使原函数是连续的，它的傅里叶级数也可能在某些点不收敛。问题不只在于一个级数算不出结果。连续函数尚且如此，傅里叶级数还有多大信任空间？不解决这个问题，分析学也可能由此走入死胡同。
费耶尔面对的问题由此变得具体：既然连续性不足以保证普通部分和收敛，能否改变处理这些部分和的方式，让傅里叶级数仍然发挥作用？
NO.2
“平均”突破，重塑分析学核心工具
要了解费耶尔的突破，可以先从一块圆形金属片说起。
圆盘上的狄利克雷问题
设想有一块圆形金属片，圆周各处的温度已经给定，圆片内部最终会稳定在怎样的温度？这就是偏微分方程领域的知名难题，圆盘上的狄利克雷问题。
研究这个问题时，费耶尔找到了一个关键办法：对傅里叶级数的部分和取算术平均。
所谓部分和，就是把级数截取到某一阶，得到一个有限的和。费耶尔的方法是，把从第零阶到第n阶的部分和全部相加，再除以n＋1；随着n增大，观察这些平均值怎样变化。
费耶尔的平均方法示意图
他证明，对于连续周期函数，这样得到的平均会一致收敛到原函数。直观地说，随着纳入平均的部分和越来越多，整个周期内最大的逼近误差也会趋于零。
1900年10月底，费耶尔回到布达佩斯，用几天时间便完成了解答和文稿。他随即意识到，比起给圆盘温度问题加一种新解法，自己的发现本身具有更广泛的价值。
2个月后，年仅二十岁的费耶尔在法国科学院《科学院报告》上发表了《论有界可积函数》。这项成果后来成为傅里叶分析中的基本结果。
费耶尔定理
对于连续周期函数，将傅里叶级数部分和取算术平均，便能一致收敛到原函数。
对部分和取算术平均的思想此前已经存在。费耶尔的重要贡献是于证明它在傅里叶级数研究中的力量：普通部分和可能无法收敛，经过这样的平均，却能够可靠地逼近连续周期函数。
此后，费耶尔定理也成为三角多项式逼近理论的重要工具。借助这一思想，人们能够更简单地理解函数逼近、收敛以及信号重建等问题。
在数学家韦尼阿明·卡甘 （Veniamin Kagan） 看来，正是这一发现，使傅里叶级数重新成为分析学的核心工具，其影响至少持续了半个世纪。
费耶尔的数学起点并不高，甚至还有失学风险。他的数学之路，离不开教师的指引，也离不开匈牙利当时的数学刊物和竞赛提供的机会。从竞赛少年到解决傅里叶级数难题的天才，费耶尔开始踏上属于自己的数学之路，后来还成为了一门数学学派的开山鼻祖。
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传承有道，培育匈牙利数学黄金一代
为什么匈牙利会产生如此多杰出的数学家？波利亚认为其中一个显而易见的原因，就是费耶尔本人。
博士毕业后，费耶尔先后前往哥廷根和巴黎，讲授自己的研究成果。1902年夏天，他还曾在天文台工作，并对庞加莱有关天体力学的著作产生了浓厚兴趣。那时的费耶尔或许没有想到，几年后，庞加莱会在匈牙利官员面前为他作出一番著名的评价。
1905年，法国数学家庞加莱前往布达佩斯领奖。抵达火车站后，他立即问前来迎接的官员：“费耶尔在哪里？”官员们却从未听说过这个名字，于是反问：“费耶尔是谁？”庞加莱答道：“费耶尔是匈牙利最伟大的数学家，也是世界上最伟大的数学家之一。”
国际数学界早已看见了费耶尔，而他的祖国才刚刚开始认识他。不久后，费耶尔受邀前往科洛日瓦尔，也就是今天罗马尼亚的克卢日担任数学教授。在这里，他逐渐把自己关注的问题带进年轻人的研究中。
1907年夏天，费耶尔与学生马塞尔·里斯 （Marcel Riesz） 的一次交谈，便围绕着平均求和下的唯一性问题。里斯还在自己的博士论文开头专门记下：正是与费耶尔的交谈，促使自己着手研究这个问题。
匈牙利数学家马塞尔·里斯的博士论文截图
费耶尔的个人发现，逐渐成为年轻人的研究起点，这也孕育了后来匈牙利分析学派的一条重要传统：老师提出问题，学生接着探索，并把研究继续向前推进。
一个围绕着他的学术圈逐渐展开。
1911年，费耶尔受聘于布达佩斯大学。此后，冯·诺依曼、图兰、埃尔德什、波利亚等一批年轻数学家在他的教学与研究中成长起来，逐渐形成了以他为核心的匈牙利分析学派。
从辨认函数“跳跃”的高度，到研究插值多项式怎样逼近原函数，费耶尔提出和关注的问题，在学生手中不断得到解答和推广。他乐于分享尚未完成的思考，也愿意把难题交给年轻人。学生在研究这些问题的过程中，逐渐学会选择课题、寻找方法，并形成自己的数学趣味。
匈牙利分析学派部分成员，第一排左起埃尔德什、冯·诺依曼、里斯； 第二排左起塞格、图兰、波利亚。
随着研究深入，他们也开拓出各自的道路。波利亚在启发法与数学教育方面影响深远，冯·诺依曼在数学、物理与计算机科学之间展开探索，埃尔德什和图兰则在数论、组合数学等领域取得重要成就。共同的求学经历，孕育出了不同的研究方向，费耶尔的影响也随之超出了分析学的范围。
这些后来被人们视为匈牙利数学“黄金一代”的代表人物，都曾受到他的启发。费耶尔身边逐渐形成的学派，也由此成为培养杰出数学家的重要土壤。
结语
一个人的发现，一代人的起点
回到最初的问题。为什么费耶尔会被称为匈牙利最伟大的数学家？
他从数学杂志和竞赛中起步，找到自己的研究道路后，又把问题带到学生中间。在师生持续的讨论与研究中，匈牙利分析学派逐渐成长，波利亚、冯·诺依曼、埃尔德什、图兰等“黄金一代”代表，也从中获得了启发。
费耶尔把个人的数学探索延伸成了一种能够传承的学术传统。
他留下的不只是一个以自己命名的定理、一个数学学派，还有一种让问题在人与人之间流动的学术生活。师生讨论虽会告一段落，但学生们会带着新问题继续走下去。
伟大的原因，也许就体现在此。
科学方程式
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