为什么非零数的 0 次方等于 1？

回忆初中数学，乘方指的是几个相同因数相乘。 就是 ，右上角的指数 3 表示相乘的次数。类似还有， ， 。

而当指数取 0 时， 那就是“0 个 5 相乘”。按照我们的直觉，应该是什么都没有发生。可课本规定 ，这看上去怎么感觉是无中生有。

问题出在我们是以加法角度来思考的。好比记账，账本一开始是 0，加三次 5 后，实际是：

就是说账面的初始起点为 0。

但把这套用到乘法里就行不通了，乘法的起点必须是一个“乘上任何数都不改变它”的数——也就是 1。数学上把这种在运算中保持其他数不变的起点称为单位元：加法的单位元是 0，而乘法单位元则是 1。

这样来看， 真正的含义是从乘法起点 1 出发，连续执行 3 次“乘以 5”的操作，即 。那么 的含义就水落石出了：从起点 1 出发，执行 0 次“乘以 5”。因为什么操作都没做，结果自然停留在最初的起点 1。

这一约定不仅合乎直觉，更是维护数学规则统一的需要。我们在中学学过同底数幂的乘法法则：当底数 不为 0，指数 、 为正整数时，两个幂相乘等于指数相加：

为了让这条法则推广到指数为 0 的情况， 就必须等于 1。假如规定 ，不妨取 、 、 代入公式：等号右边是 ，等号左边却变成了 ，左右两侧直接矛盾。因此，只有规定非零数的 0 次方为 1，整套指数运算法则才能严丝合缝地运转。

两条规则在原点处碰撞：

既然规定 如此完美，课本里为什么偏偏要加上“ ”这道免责声明？

原因在于，一旦底数 也取 0，数学里的两条基本规则就会在 这里发生碰撞：

  1. 任何非零数的 0 次方都等于 1，即 （其中 ）；

  2. 0 的任何正数次方都等于 0，即 （其中 ）。

恰好落在两条规则的夹缝中：看指数似乎该得 1，看底数似乎该得 0；但严格按限定条件，两条规则都对它失效。

面对这个棘手的符号，数学界自身也分裂成了两派。1821 年，法国数学家柯西在经典著作《分析教程》中，明确将 列为没有固定值的未定式(indeterminate form)。而在 1992 年，计算机科学家高德纳发表了论文《关于符号的两点注记》，公开呼吁在离散数学与代数学中，应当毫不犹豫地规定 。

这场争论延续了近两百年。并非哪一方错了，而是不同领域的数学家的视角不同。

从微积分的角度来看：结果取决于逼近的路径

微积分关心的是变量动态逼近的过程。考虑函数 （其中 ， 为任意实数）。如果把底数 和指数 看作水平面上的坐标，把计算结果 看作竖直高度，那么每一组数值就对应三维空间中的一个点 ，所有点连起来便构成了图 1 的蓝色三维曲面。

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如上图所示：曲面 在 附近的形态。 右侧粗黑竖线对应 的位置，其上的红点分别代表 、 、 、 和 等不同高度的空间点。沿着绿线（按固定比例 ）逼近原点，高度全部汇集到 1；沿着红线（让 极速衰减）逼近原点，高度则会停留在 0、0.5、1.5、2 等不同位置。(图自维基，作者Sam Derbyshire)

通常，一个坐标 只对应唯一的一个高度 。但在图 1 右侧 的位置，曲面发生了剧烈扭曲，整条黑色竖线（从 一直向上无限延伸）都挤在同一点的正上方。这意味着，当 和 同时趋近于 0 时，高度 最终停在哪里，完全取决于走哪条路线，我们具体看下：

  • 常规路线（图中绿线与中央一条红线，极限全为 1） ：如果固定 ，让 逐渐减小到 0，因为正数的 0 次方恒为 1，高度 始终是 1（对应图中央笔直通向红点 的红线）。更一般地，只要让 和 按固定比例同步归零（即沿水平方向满足 的路径移动，对应图中绿线），无论从哪个方向走，最后都会汇集到红点 。

  • 特定速度路线（图中通向 的红线） ：如果让底数 比指数 缩小得快得多，结果就会改变。令 ， （其中 ）。当 趋近于 0 时， 和 都无限接近 0（例如 时， ），但两者的幂运算结果却是：

由于指数相乘时 被约掉了，无论 多么接近 0，高度 始终停在 。这就是图 1 中保持 高度、贴着曲面滑向红点 的红线。

  • 任意高度路线（图中其余红线） ：把上一条路线的底数 2 换成任意大于 1 的常数 ，令 ， ，同理可得：

改变 的值，终点就能取遍 到 之间的任意高度。若把指数改为负数 ，则 ，高度又能取遍大于 1 的任意实数（如通向红点 和 的红线）。此外，若固定正数 先让 归零（图最底部的红线），结果又会落向红点 。

所以说，在 附近， 可以逼近任何非负高度，甚至无限增大。只要不指明 和 靠近 0 的相对速度，就无法确定走的是哪条路线，极限也就没有唯一的值。这就是微积分将 列为未定式的原因。

代数与组合的回应：空任务只有一种完成方式

既然微积分里数学家这样认为，为什么代数、组合与计算机教材仍规定 ？

高德纳认为：“趋近于 0 的变量”和“等于 0 的常数”是两回事。微积分里，底数和指数都在连续变化；而在代数和离散数学里，指数上的 0 从一开始就是固定的整数 0。这正好对应图 1 中固定 的中央红线，结果恒为 1。在这些领域规定 ，有下面两个好处：

1. 保持公式简洁

以多项式 为例，为了统一各项的规律，通常会写成：

规定 ，代入 就能直接算出 。如果不允许 ，每次在多项式或二项式定理中代入 ，第一项就会报错，所有公式都必须额外注明“当 时，将 项替换为 1”。

2. 契合计数逻辑

在排列组合中， 对应这样一个计数问题：把 个互不相同的球放进 个互不相同的盒子，总共有多少种放置方案。

  • （就是 2 个球、3 个盒子的情况）：对应每个球都有 3 种选择，所以会有 种放法。

  • （2 个球、0 个盒子）：没有盒子，球无处可放，方案数为 0。

  • 和 （0 个球）：没有球需要安置，要求自然满足。什么都不用做，就是一种合法的放法，而且只有这一种，方案数为 1。盒子有 2 个还是 0 个，对此没有影响。

这个论证在计数问题里是成立的：球的个数就是 0，不存在"逼近 0"的情况，所以 是上述定义的结果。

争论的终点：分清“趋近于 0”与“等于 0”

这场争议的根源在于同一个记号 ，承载了两套完全不一样的数学机制：

  • 离散的计数机制 ：指数代表操作次数或是物体的数量。从 1 开始连乘 0 次，或是把 0 个球分到盒子里，得到结果都是 1。约定 ，目的是维持代数公式与计数规则的一致性。

  • 连续的极限机制 ：底数 和指数 为可连续变化的实数。当 、 同时趋向 0 时，极限取值取决于二者靠近 0 的相对快慢（如图 1 里走向不同高度的红线、绿线），因此属于未定式，要结合具体路径单独讨论。

厘清两套机制之后，分歧也就清楚了。现在，代数学、组合数学，还有不少编程语言（例如 Python 的 0**0 、IEEE 754 浮点数标准里的 pow(0.0, 0.0) ），都会直接定义 ，但在微积分中，只要遇到底数和指数同时趋于 0 的极限问题，就还要按未定式处理。两套规则不必争辩对错，只要认清各自适用的前提，就能在所属领域内保持自洽。

参考资料：维基百科(zero to the power of zero)