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爱奥尼涡卷螺旋线的构造，是维特鲁威《建筑十书》中最具争议的段落之一。文本仅说明第一圈结束时螺旋线的一次退化，这为多种解释留下了空间；自文艺复兴以来，这些解释丰富了建筑与透视论著中关于建造与表现建筑物的教学。若从操作角度看涡卷问题，问题首先可归结为：依照维特鲁威文本的指示定义螺距递减规律；其次是用圆规、通过圆弧构造曲线，最好使圆弧彼此相切连续。螺距递减规律在阿尔布雷希特·丢勒《Underweysung der Messung》所给的平面与斜螺旋构造中已有解决方案，并成为大多数文艺复兴贡献中反复出现的共同参照；而能够满足维特鲁威给定条件的多心曲线描绘，则应归功于朱塞佩·波尔塔，人称萨尔维亚蒂。爱奥尼涡卷螺旋线的构造曾在大量方案中找到依据，但科林斯与复合涡卷的构造并未受到同等关注。在比别纳《L’architettura civile》一页关于透视的内容中，可以窥见一种可能的解决方案。
图：萨尔维亚蒂涡卷的构造。
关于文字描述的图示
维特鲁威在《建筑十书》第三、四书中讨论建筑柱式的比例系统。对文本的图形重建，会得到一个比例系统：它被完整定义，却缺乏装置的具体配置。各部分之间的比例已知，但相应的几何形状并不已知。将文学文本转写为图形形式，有助于澄清一些不完整段落；这些段落允许对柱式形状作出不同解释，其中包括爱奥尼涡卷的构造——这是自文艺复兴注释以来长期争议的问题。
涡卷问题见于第三书第五章，维特鲁威在那里描述枕形柱头 [Gros 1997, pp. 257–259]。比例说明由顶板尺寸引入：顶板长宽等于柱底直径增加1/18。随后柱头高度等于顶板的一半，并分为九又二分之一份。其中八份分配给涡卷。涡眼中心是涡卷两条直角边相交之处，它从顶板端部后退1/2份，距其4/2份。三份位于串珠线脚下方；剩余部分减去顶板和凹槽后，分配给钟形盘。顶板外缘与钟形盘之间的距离等于涡眼直径。进一步的指示涉及枕垫束带的突出、扁带饰的宽度以及凹槽的深度（图1）。确定涡眼中心后，维特鲁威确定每个象限的涡卷减量：“然后从顶板下开始，在每个四分之一圆的操作中，涡眼空间应减半，最后到达顶板下的同一象限” [Gros 1997, p. 256]。
图1 爱奥尼柱头的比例，以及涡卷第一圈螺距递减与爱奥尼柱基比例，出自维特鲁威《建筑十书》第三书。
对于每个四分之一圆，涡卷减少涡眼直径的一半，形成一整圈；这是文本中唯一描述的圈数。缺少关于后续圈数及螺距减量的指示，再加上作者承诺在著作末卷展示图形、但该卷并未找到（如塞利奥所指出的 [Serlio 1584, p. 159v]），导致了多种解释。自文艺复兴起，建筑师和人文学者——包括评论维特鲁威文本者，以及提出原创理论与实践贡献者——都对爱奥尼涡卷的几何构造产生兴趣 [Losito 1993]。这种兴趣源于一种愿望：确定一种简单而严格的曲线构造，既能满足维特鲁威规则，又能在枕形柱头废墟上得到验证。
关于平面螺旋线的递减
《建筑十书》第一部插图本由 Fra Giovanni Giocondo da Verona 于1511年出版；但首次出现几何定义的爱奥尼涡卷假设，是在切萨雷·切萨里亚诺1521年的版本中。所表现的曲线是一条双心、等螺距多心曲线，完成3又1/2圈 [Cesariano 1521, pp. LVIII–LVIII]。早在15世纪末，莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂就提出过类似涡卷：双心、等螺距、绕两圈，但未参考维特鲁威文本 [Alberti 1546, p. 151]。相反，塞巴斯蒂亚诺·塞利奥提出六心、递增螺距的多心涡卷，并画了三圈 [Serlio 1584, p. 159v–160r]（图2）。
图2 爱奥尼柱头螺旋线的构造：莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂《De re Aedificatoria》、切萨雷·切萨里亚诺注释版《De Architectura》、塞巴斯蒂亚诺·塞利奥《Tutte l’opere d’architettura [...]》第四书。
等螺距与递增螺距的平面和斜螺旋，已经出现在阿尔布雷希特·丢勒1525年的《Underweysung der Messung》中。该书1532年由 Joachim Camerarius 译为拉丁文《Institutiones geometricae》，1537年由 Cosimo Bartoli 译为意大利文，流传甚广，可能影响了后来的构造。该论著提出一种普遍有效的程序，用于描绘任何类型的螺旋：等螺距或递增螺距、平面或斜向、圆柱或圆锥。这一程序基于曲线螺距递减规律的定义 [1] [Dürer 1525, 6–20]（图3）。丢勒考虑外接于欲构造螺旋的圆周，将其分为若干等长区间，图中为12段。然后画出该圆周的半径，并在其上放置一把尺，把尺分为其分区的倍数，此例为24。接着想象尺的一端固定于中心并旋转。圆周上每一个编号分区，对应尺上的一个分区；在旋转中，便可逐点确定螺旋轨迹。
倍数对应圈数，而尺的分区确定螺距递减规律：对于等长区间，螺距递减为常数；对于随远离中心而增大的区间，螺距递增。丢勒采用一种具有透视矩阵的递减方式，可在论著中作多种应用。他构造一个直角三角形，其中高的直角边代表尺。底边长度任意，但与递减成反比。以底边直角边的端点为圆心、以其长度为半径，画弧至斜边，并将该弧分为若干等区间。然后从弧心将这些区间投影到作为尺的直角边上，从而确定螺距的逐步递减（图3，图2）。
丢勒的螺旋构造后来被 Guillaume Philandrier 采用，并于1544年发表于其针对维特鲁威著作的《Annotationes》。依照维特鲁威文本所指示的减量，Philandrier 提出一种构造：属于螺旋的退化点通过圆弧构造，每四分之一圈减少涡眼的一半，用固定在涡卷中心的圆规绘制 [Lemerle 2000, pp. 169–170]。这一程序丢勒也已预见，而且执行迅速，因为可用圆规代替尺直接构造螺旋点（图4）。在附于第三书《Annotationes》的《Disgresio utilissima [...]》中，Philandrier 还提出丢勒的构造：用尺和直角三角形测量螺距减量，并以涡卷涡眼上方和下方的4份与3份作为直角边 [Lemerle 2000, pp. 156–157]。
图4 用圆心位于涡卷涡眼、逐渐缩小的圆弧构造螺旋退化点：Guillaume Philandrier 在维特鲁威文本《Annotationes》中给出（左）；类似程序取自丢勒《Underweysung der Messung》（右）。
该构造引入两个新要素：使用纸直尺代替传统尺；将涡眼纳入退化直角三角形，使螺旋正好终止于其顶点（图5）。
图5 Philandrier 在《Annotationes》的《Disgresio utilissima [...]》中给出的涡卷及其扁带饰构造，增加涡眼尺寸，用纸尺执行。
在 Philandrier 发表《Annotationes》的时期，Giuseppe Salviati 也在研究涡卷的几何。但解决方案约十年后才发表：1552年，在一本献给 Daniele Barbaro 的小册子《Regola di far perfettamente col compasso la voluta ritrovata da Iosephe Salviati pittore》中 [Selva 1814, pp. 11–15]。在献词中，Salviati 讲述该构造多年前从其工作室被窃，因而易被他人归功；为了使其工作得到承认，他求助于当时最权威的人物——此人当时正与帕拉第奥插图合作，完成维特鲁威十书的注释版。
Salviati 的涡卷是一条十二心、递增螺距的多心螺旋线，并定义了一个后来成为论著传统共享参照的模型。Salviati 从维特鲁威指示的减量出发，并为每个象限增加一个中间减量；该减量显然等于涡眼的四分之一。给定圆弧上三点，其圆心由过这些点的两条弦的垂线交点确定 [2]。确定前四段弧——每象限一段——的圆心后，便可构造第一圈，描述属于给定点的唯一多心曲线。对第二圈重复该程序时，Salviati 意识到自己构造的是一条等螺距、两圈的螺旋。由于涡卷在视觉上不够悦目，他决定将后两圈的减量分别减至1/3和1/6，并同样确定相应的八个圆心（图6）。涡卷的十二个圆心，位于连接内接于涡眼圆的正方形各边中点的线段上。确定这些圆心后，也可确定扁带饰螺旋的圆心：它们距这些圆心一小段距离，并位于同一线段上。与先前构造不同，Salviati 的解决方案允许用圆规描绘递增螺距螺旋，从而满足维特鲁威的减量要求 [3]。
图6 Salviati 四心等螺距螺旋与十二心递增螺距螺旋的圆心构造发生过程，以及涡卷扁带饰的构造。作者整理。
由于圆心尺寸有限导致操作困难，Salviati 又提出第二种解决方案，仍可追溯至丢勒。他将外接于涡卷的圆周半径分为三部分，每部分对应一圈。第一圈减涡眼1/2，第二圈减1/3，第三圈减1/6。他先用固定在涡卷中心的圆规描画退化，然后类似 Philandrier，建议使用纸尺绕曲线中心旋转（图7）。
图7 按丢勒方法构造 Salviati 涡卷：用逐渐退化的圆弧（上），以及通过纸尺逐步旋转（下），出自《Regola di fare la voluta [...]》。
Salviati 的螺旋线大受欢迎，先由维尼奥拉、后由帕拉第奥复制（图8）。维尼奥拉特别描述两种构造：一种十二心多心曲线，极似 Salviati 小册子所发表者，但在图与文中未说明曲线各段之间的连续性；另一种与 Philandrier 用尺构造相同，展示了一种用圆弧逼近曲线点的原创插值方法（图9）。为构造第一段弧的圆心，维尼奥拉将圆规置于曲线上端 C1 ，开度等于该点到涡卷中心的距离，画弧c 1。以同一开度将圆规置于下一退化点 C 2 ，构造半径相等的第二弧 c 2 。两弧交点 C 5 是第一八分之一圈弧的圆心，用以近似螺旋。他对每个八分之一圈重复该构造，从而得到曲线所有段的圆心 [4] [Vignola 1754, pp. 19–20]。
图8 维尼奥拉（左）、帕拉第奥（中）与 Salviati（右）提出的多心螺旋比较。
图9 维尼奥拉用圆弧描绘螺旋的构造，圆弧按丢勒方法执行螺距递减。
关于斜螺旋的递减
建筑论著中对爱奥尼涡卷的解释，因大量贡献而不断丰富；它既是维特鲁威文本思辨兴趣的中心节点，也是探索建筑设计最佳方法的中心节点。与爱奥尼涡卷的中心地位相反，科林斯与复合涡卷并未受到同等关注。少数情况下，如维尼奥拉，明确说明爱奥尼螺旋与复合螺旋平面投影之间的一致性，这可从图纸中验证。尽管斜螺旋的描绘是几何论著的主题，如丢勒所示，但很难找到关于涡卷构造的明确参考（图10）。
图10 丢勒《Underweysung der Messung》中描述的斜螺旋。
一个有趣的线索见于 Ferdinando Galli Bibiena 1711年出版的《L’architettura civile [...]》。该书第三部分描述建筑透视的构造，其中涡卷被称为“向中心升起的卷饰”（cartoccio elevato verso il centro）[Galli Bibiena 1711, pp. 95–97]。透视操作与当时方式一致，但兴趣在于卷饰的平面展开构造。Bibiena 涡卷的斜螺旋投影到平面上，成为一条递增螺距的多心曲线。此构造方法令人想到维尼奥拉，文中也引用了后者。Bibiena 将此曲线分为十六部分，沿同一线段展开。然后确定涡卷的总高度，并将其置于展开线段的末端。将此高度连接到对端，便得到代表涡卷展开的三角形，由此导出待构造曲线上所有点的高度（图11）。
图11 Ferdinando Galli Bibiena《L’architettura civile》中描述的、向中心升起的科林斯涡卷卷饰构造。
将同样构造应用于维尼奥拉的多心曲线，并使各段如 Salviati 所教那样切向连续，就更容易观察：曲线的每一段都对应圆柱螺旋线的一部分，即属于相切连续二次柱面的等坡度曲线。螺旋线各部分也具有同样程度的连续性：所有部分坡度相同，并展开为同坡度直线（图12）。平面展开斜曲线的可能性，使从坡度出发控制设计成为可能。可以想象用纸板、黏土或其他延展材料制作剪影：其矩形形状被斜螺旋的直线展开分为两部分。上述部分包裹后，可制作涡卷的物理模型及其负模，用于验证其正确执行。
图12 根据 Salviati 多心螺旋重建 Bibiena 所述卷饰构造程序。
结论
对文艺复兴时期能够满足维特鲁威减量的递增螺距爱奥尼涡卷构造的分析，将涡卷几何问题归结为两个基本问题：其一，根据维特鲁威给出的螺旋退化，研究螺距递减规律；其二，定义用切向连续圆弧描绘曲线。此外还增加第三个问题，与科林斯和复合涡卷有关，涉及空间斜螺旋的控制。
如果说丢勒的贡献及其“普遍退化”思想是涡卷缩减的形式矩阵，并贯穿后续构造，那么正是 Salviati 的贡献使螺旋成形。基于螺距递减确定曲线圆心，使 Salviati 能够确定一种满足两个目标的“精确而极简易的测量”。
参考文献
Alberti L. B. (1546). I Dieci libri dell’architettura. Venezia: Vincenzo Vaugris.
Cesariano C. (1521). Di Lucio Vitruvio Pollione De architectura libri dece traducti de latino in vulgare affigurati commentati: & con mirando ordine insigniti [...]. Como: Da Ponte.
Dotto E. (2016). Il tracciamento delle curve spirali formi. Roma: Aracne.
Dürer A. (1525). Underweysung der messung mit dem zirkel un[d] richtschetv, in Linien ebnen unnd gantzen corporen. Nürnberg: H. Andreae.
Galli Bibiena F. (1711). L’architettura civile preparata su la geometria e ridotta alle prospettive. Parma: Paolo Monti.
Gros P. (a cura di) (1997). Vitruvio De Architectura. Vol. I. Torino: Giulio Einaudi.
Lemerle F. (a cura di) (2000). Les Annotations de Guillaume Philandrier sur le De Architectura de Vitruve. Livres I à IV. Paris: Picard Editeur.
Losito M. (1993). La ricostruzione della voluta ionica vitruviana nei trattati del Rinascimento. In Mélanges de l’École française de Rome. Italie et Méditerranée, tome 105 n. 1, pp. 133–175.
Selva G. (1814). Delle differenti maniere di descrivere la voluta Ionica e particolarmente della regola ritrovata da Giuseppe Porta detto Salviati con alcune riflessioni sul capitello Ionico. Padova: Tipografia del seminario.
Serlio S. (1584). Tutte le opere d’architettura di Sebastiano Serlio Bolognese. Venezia: Francesco De Franceschi Senese.
Vignola I. B. (1754). Regola delli cinque ordini d’architettura. Roma: Fausto Amidei.
Marta Salvatore, Intorno alla voluta. Misura giusta efacilissima della diminuzione del passo
最后照例放些跟张大少有关的图书链接。
青山 不改，绿水长流，在下告退。
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