数学难题进展速递：解读《量子杂志》报道首次发现一对扭曲的紧致环面破解百年拓扑学难题——博内问题|博内|定理|拓扑学|曲率|量子杂志|高维

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具有百年历史的拓扑学难题——博内问题核心探究 “少量局部信息能否唯一确定整个曲面”。1月20日，《量子杂志》

Quanta Magazine

发布了一篇文章主要讲述了这方面进展，数学家们首次发现一对扭曲的紧致环面：它们拥有相同的局部信息（度量和平均曲率），却具备完全不同的全局结构，解决了这一百年难题。

图源： Mark Belan / Quanta Magazine

Publications mathématiques de l’IHÉS 142, 241–293 (2025)

一、原文大意

1月20日由《量子杂志》记者 Elise Cutts 撰写的这篇文章，围绕百年历史的拓扑学难题 —— 博内问题（Bonnet problem）展开。

皮埃尔·奥西恩·博内（Pierre Ossian Bonnet，1819—1892）

博内问题核心探究 “少量局部信息能否唯一确定整个曲面”，法国数学家皮埃尔·奥西恩·博内（Pierre Ossian Bonnet，1819—1892）于1867年证明，若已知曲面上每一点的度量（metric）和平均曲率（mean curvature），通常可确定曲面形态，但 “通常” 并非 “总是”。

曲面上每一点的曲率可能都不相等，最大的曲率和最小曲率取（算术）平均值，得到平均曲率。

以平面、圆柱面（半径为1）、球面（半径为1）为例，求平均曲率：

平面、圆柱面与球面的度量差异：

通过 “粘贴一张平坦的标签” ，可以看出平面与圆柱面因可无拉伸 / 撕裂变形，度量相同（标签贴合）；而球面需拉伸 / 撕裂才能贴合标签，故度量有所不同。

过去150年，数学家虽发现违背该规律的曲面（即具有相同度量和平均曲率却有不同全局结构），但这些曲面均为非紧致（non-compact）的，要么向某方向无限延伸（如平面、圆柱），要么有边缘（如从大形状裁剪下的部分）。

而像球面、甜甜圈状环面（tori）这类紧致（compact）曲面，1981年小布莱恩・劳森（H. Blaine Lawson, Jr.，参阅）与雷纳托·德·阿泽维多·特里布齐（Renato de Azevedo Tribuzy）证明球面及拓扑等价无孔紧致曲面可由局部信息唯一确定，对带孔的紧致环面，仅理论推测给定度量和平均曲率最多对应两个不同环面，却始终未找到 “紧致博内对”（compact Bonnet pairs）实例，学界一度认为环面也能由局部信息唯一确定。

图源：Mark Belan / Quanta Magazine

Publications mathématiques de l’IHÉS 142, 241–293 (2025)

直到2025年10月，柏林工业大学的 Alexander Bobenko、慕尼黑工业大学的 Tim Hoffmann 与北卡罗来纳州立大学的 Andrew Sageman-Furnas 在《IHÉS 数学出版物》（

Publications mathématiques de l’IHÉS

， 142 卷，241–293 页）发表论文 https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-025-00159-z ，首次发现一对扭曲的紧致环面：它们拥有相同的局部信息（度量和平均曲率），却具备完全不同的全局结构，解决了这一百年难题。

从左到右：Andrew Sageman-Furnas，Tim Hoffmann，Alexander Bobenko

研究过程中，Alexander Bobenko 曾于21世纪初尝试证明紧致博内对存在，因难度大搁置，转而研究离散曲面（discrete surfaces，类似光滑曲面像素化低分辨率版本）。

要获得一个离散曲面，先取一个有限的点集合，然后用线将它们连接起来，形成具有平坦面的形状。通过选择不同的点，你可以用不同的方式表示给定的光滑曲面。例如，下面是一些表示球面的方法：

从左到右：6个点、26个点、62个点的离散曲面、光滑球面

图源：Mark Belan / Quanta Magazine

2010年代，Andrew Sageman-Furnas（当时为哥廷根大学博士生）受渔网等编织材料力学启发研究离散数学，提出博内问题的离散版本，还与导师 Max Wardetzky 及 Tim Hoffmann 找到离散情形下构造博内定理反例的方法 https://arxiv.org/abs/dg-ga/9610006 ，只是反例仍为非紧致。

图源：Mark Belan / Quanta Magazine

Publications mathématiques de l’IHÉS 142, 241–293 (2025)

2018年春，Andrew Sageman-Furnas 通过计算机搜索，找到一种类似 “折纸犀牛”（rhino）的带孔紧致离散环面，其具备生成博内对的属性，且生成的博内对也为紧致环面。虽存在计算机舍入误差风险，但经 Tim Hoffmann 与 Andrew Sageman-Furnas 验证，该 “犀牛” 具有研究价值。他们发现 “犀牛” 边缘的曲率线（curvature lines）仅位于平面或球面上，这一特殊性质成为关键线索。

让·加斯东·达布（ Jean Gaston Darboux，1842 - 1917）

随后，三人借鉴19世纪法国数学家让·加斯东·达布（ Jean Gaston Darboux）提出的生成特定曲率线曲面的公式，调整公式使曲率线闭合，得到光滑版 “犀牛”，并以此生成首对紧致博内对（最初为镜像对称，后进一步调整得到更明显不同的扭曲环面）。该成果颠覆学界认知，杜克大学的 Robert Bryant 与马萨诸塞大学阿默斯特分校的 Rob Kusner 均表示意外，目前 Alexander Bobenko 还希望证明存在无自交的博内环面。

二、主要数学思想

1. 曲率与度量

1）外在曲率与平均曲率：外在曲率描述曲面在空间中的弯曲情况，对曲面上任一点，沿不同方向计算曲率，取最大与最小曲率的平均值即为平均曲率（mean curvature），可反映曲面在周围空间中的位置特征。

2）内蕴曲率与度量：内蕴曲率是曲面不依赖外部空间的几何属性，而度量（metric）是曲面上测量距离的规则，由内蕴曲率决定。如平面与圆柱可通过无拉伸、无撕裂的变形转换，两点间曲线长度不变，故度量相同；但平面无法无损伤地包裹球面，曲线长度会改变，故二者度量不同。

2. 离散与光滑

1）离散曲面的工具性：离散曲面由有限点和连线构成平面，可模拟光滑曲面，且因点数量有限，能借助计算机研究。Alexander Bobenko 与 Tim Hoffmann 长期研究如何通过离散曲面保留光滑曲面的关键几何特征；Andrew Sageman-Furnas 则通过离散曲面的博内问题反例，为光滑曲面研究提供思路。

2）从离散到光滑的迁移：Andrew Sageman-Furnas 找到的离散 “犀牛” 环面，其曲率线仅位于平面或球面的特殊性质，为光滑曲面研究提供线索。研究团队借鉴达布公式，将离散曲面的特殊结构迁移到光滑曲面，最终构造出光滑的紧致博内对。

离散 “犀牛” 环面

图源：原论文插图

三、核心创新点

1. 首次构造 “紧致博内对”

此前发现的博内定理反例均为非紧致曲面，而该研究首次找到一对紧致环面（tori）：它们拥有相同的度量（metric）和平均曲率（mean curvature），却具备完全不同的全局结构，填补了 “紧致曲面是否违背博内定理” 的研究空白，证明紧致曲面中也存在 “局部信息无法唯一确定全局结构” 的情况。

紧致博内对：两个不全等的浸入式实解析环面（immersed real analytic tori），二者通过保平均曲率等距变换（mean curvature preserving isometry）相关联。每个曲面上对应的生成元（generators）分别以橙色和蓝色标注。需注意，顶部的两个大型气泡状凸起比底部对应的气泡状凸起更为靠近，且两个曲面均具有180度旋转对称性。这对博内环面源自一族带平面曲率线（planar curvature lines）的等温环面（isothermic torus）的共形变换（conformal transformations）：橙色生成元源自平面曲线，因此彼此全等（congruent），而蓝色生成元则不全等。

图源：原论文插图

2. 离散与光滑几何的跨领域联动

打破 “光滑几何研究领先，离散几何滞后” 的传统认知，以离散曲面为突破口：先通过计算机在离散几何中找到具备生成博内对属性的紧致 “犀牛” 环面，再基于其特殊曲率线特征（仅在平面或球面），结合达布公式调整，推导得到光滑的紧致博内对，实现离散几何对光滑几何研究的推动。

3. 突破经典公式的限制

达布提出的生成特定曲率线曲面的公式，原本生成的曲率线呈螺旋状且延伸至无穷远，无法形成封闭的紧致曲面。研究团队通过调整该公式，使曲率线能够闭合，成功构造出光滑的 “犀牛” 环面，进而生成紧致博内对，拓展了经典公式的应用范围。