古印度数学最伟大的成就之一：在十进制体系内引入了零|世纪|十进制|四边形|矩形|罗摩笈

零的故事是数学历史的经典故事。一种思想诞生了；经过几个地方和几个世纪的流传, 它得到了提炼, 并被传播开来；它变成了国际数学文化的一部分。数学是全世界人都能够自豪分享的杰作。

古印度数学大致可以追溯到古埃及的草纸书和古巴比伦的泥板时代, 一个迷人且未解决的问题就是这些人之间接触的程度。肯定有人怀疑古印度和中国数学之间有相互作用, 但是说到这一相互作用的规模和趋势, 恐怕谁也不可得知。

无论如何, 古印度人在数学方面是十分优秀的。其中,他们最重要的成就是三角学的发展。他们在这个领域的大部分工作渗入后来的阿拉伯文化, 又在 15 世纪传入欧洲。当代世界得益于伟大的古印度三角学家甚多。

古印度人还解决了一些非常奇妙的代数类问题, 尽管当时没有符号体系。其中一个问题应该归功于婆什伽罗, 也叫巴斯卡拉或“婆什伽罗老师”, 他生活的年代大约是公元 1150 年。例如, 有一个问题是求两个整数, 使得第一个数的平方的 61 倍比第二个数的平方少 1。用现代的记法, 这相当于求两个数 x 和 y 使得 61x² = y² -1。这个问题在 17 世纪的欧洲再一次被提出来, 给数学家们带来相当大的考验, 婆什伽罗给出了这个问题的正确解。他的答案是 x = 226 153 980, y =1 766 319 049 ,这很难不令人惊讶。

古印度人还给我们留下很多具有启发性的几何结果, 其中最引人注目的就是求圆内接四边形面积的婆罗摩笈多公式。圆内接四边形（cyclic quadrilateral）是内接于一个圆的四边形, 如图 O-6 所示。婆罗摩笈多是公元 7 世纪的天文学家和数学家, 他说边长为 a, b, c, d 的任意四边形的面积可由下面的公式给出：

其中 s = ½(a + b + c + d), 称为这个四边形的半周长。

来看一下它的应用, 考虑图 O-7 所示的边长为 a 和 b 的矩形。当然, 令矩形的对角线交点 O 为圆心, 就可以作这个矩形的外接圆。因为矩形可以是圆内接四边形, 所以我们可以运用婆罗摩笈多公式。因此有

所以有 s − a = (a + b) − a = b 及 s − b = (a + b) − b = a。因此, 这个矩形的面积是

当然, 我们无须用像婆罗摩笈多公式这样强大的武器去发现矩形的面积等于它的长与宽的乘积。这颇像用联合收割机去割一根草一样。

但是, 下面的例子就不是这样初级了,它取自于古印度的课本。在这里我们要求的是边长为 a = 39, b = 60, c = 52, d =25 的圆内接四边形的面积, 如图 O-8 所示。如果没有婆罗摩笈多公式的帮助, 这一定非常困难；有了婆罗摩笈多公式的帮助, 很快就会得出答案。这个圆内接四边形的半周长是

因此面积是

婆罗摩笈多公式有一个有趣的推论。对于图O-9, 如果我们沿着圆滑动顶点 D 到顶点 C, 此时这个圆内接四边形就变成了三角形 ABC。在这样的变换下, 边长为0 ，所以这个三角形可以看成 “退化”的四边形, 因此它的面积是

现在, s 是 △ABC 的半周长。有些读者也许认出来了, 这个公式就是三角形面积的海伦公式, 它是以大约公元 75 年对此给出一个聪明证明的古希腊数学家的名字命名的。因此, 婆罗摩笈多公式是海伦公式到圆内接四边形的扩展。这是几何学中一个引人注目的例子。

我们已经简要地提到了古印度数学最伟大的成就之一：在十进制体系内引入了零。我们不可能精确地给出这一思想的产生年代, 但是它也许可以追溯到公元第一个一千年的中期。这一时期的文献和碑文非常清楚地展示出零, 与我们今天的零看起来很像。这一发明非常有用，不仅作为一个理论结构有用, 而且作为一个计算工具也非常有用。所以, 正是由于印度人采用了引入零的数字体系, 他们的技术才迅速地被与他们有来往的阿拉伯人采用。到了第一个一千年的末期, 阿拉伯学者撰写了一本关于美妙的 “印度算术”的书。

正是通过阿拉伯人, 这些思想最终向西流入欧洲。其中最关键的一步就是 1202 年比萨的列昂纳多出版的《算盘书》。列昂纳多就是我们今天都知道的斐波那契, 他在北非度过了年轻时的大部分时光, 在那里学习了阿拉伯语并研究了阿拉伯数学。就这样, 他掌握了现在所谓的印度–阿拉伯数字体系。斐波那契的书把这些思想带到意大利的学术中心, 从这里开始, 这些思想很快就传播到了欧洲大陆。