金磊 发自 凹非寺
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两个高中生发现的勾股定理新证明，现在论文来了。
而且就在刚刚，数学大神陶哲轩在看完这篇论文之后评价道：
前几年听说这个消息时候，还没有任何实质性的细节证明。
但现在，（在一些限制条件下）她们确实发现了至少五个新证明，而且跟任何已有的证明都不相同。
这两位高中生分别是Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson。
她们在2022年发现勾股定理新证明的时候，正就读于美国新奥尔良的圣玛丽学院（St. Mary’s Academy）。
勾股定理想必大家都已经非常熟悉了，包括那句耳熟能详的“勾三股四弦五”，以及它的基本公式a2+b2=c2。
虽然这个定理已经有2500多年的历史，但毫不夸张地说，它的重要性依然贯穿于现代数学之中。
当时她们二人提出新证明时，可以说是在圈内引起了不小的轰动。
因为长期以来，数学家们基本上都采用代数和几何的方法来证明这个定理。
但她们采用的却是三角学（Trigonometry，基于对角度及边长之间关系的直接推导）这个数学分支来做证明。
这是特别具有挑战性的一件事情。
因为三角学在很大程度上就是基于勾股定理，大多数情况下就会导致所谓的“循环论证”（circular reasoning），即证明过程中偷用了待证的结果。
早在1927年，数学家Elisha Loomis就曾断言道：
使用三角学的规则无法完成对勾股定理的证明。
然而，就是这么一个看似“不可能”的方法，却被两位高中生给突破了。
要知道，当时跟她俩采用类似方法做过证明的，只有2位专业的数学家——Jason Zimba和Nuno Luzia，分别于2009年和2015年提出。
而现如今，二人正式在《美国数学月刊》公布了论文，把证明过程的细节内容都亮了出来，也得到了陶哲轩的认可。
更重要的是，这篇论文不仅详细介绍了五种全新的证明方法，她们还提出了一个系统性的方法，预计能够生成至少五种额外的新证明。
换言之，五个新证明是保底的，也可以达到十个！
其中，只有一个证明是她们在2023年3月参加学术会议时展示过的，另外九个是全新的。
那么她们二人到底是如何做到，我们继续往下看。
三角学证明和三个先决条件
首先，我们来了解她们二人对三角学证明的解释。
三角学证明是使用三角函数的性质、恒等式和基本定理来证明几何或代数命题的方法。
它通常利用三角函数（如正弦、余弦、正切等）之间的关系，结合已知的三角恒等式和公式来得出结论。
实际上，正弦和余弦的三角比率是为一个锐角α定义的，通过创建一个直角三角形ABC，其中α是两个锐角之一，然后比较三条边中的两条的长度：
sinα定义为对边BC与斜边AB的比值，cosα是邻边AC与斜边的比值。
但是，通过测量直角三角形来定义正弦或余弦只对锐角有效，所有其他角度需要一个完全不同的方法。
对于这些角度，她们使用单位圆：
从点(1, 0)开始，向逆时针方向（对于负角是顺时针方向）沿着圆移动，直到达到所需的中心角α，最终到达点(x, y)。然后我们定义cosα = x和sinα = y。
对于一个锐角，这两种方法给出的正弦或余弦函数值是相同的，如图1所示：
但只有第一种方法可以合理地被称为三角学的，第二种方法可能被称为圆的（cyclotopic）会更恰当一些，如图2所示：
实际上，这两种方法之间的区别意味着，通过余弦定理（我们从c² = a² + b² − 2abcosγ开始，让γ成为一个直角）来证明勾股定理是一个圆的证明，而不是一个三角学的：
三角学不能计算一个直角的余弦值，而圆的测量告诉我们cos(90°) = 0。
同样，使用cos(α − β)的公式（让α = β在恒等式cos(α − β) = cosαcosβ + sinα*sinβ中）来证明勾股定理也是圆的而不是三角学的，使用sin(α + β)的公式也是如此，其中α和β是互补角。
声称一个证明是三角学的也可以基于其他理由被否认。
例如，勾股定理最著名的证明之一使用了相似性△ABC ∼ △ACD ∼ △CBD，如图3所示：由于a/c = x/a和b/c = y/b，有c = x + y = a²/c + b²/c，从而得出a² + b² = c²。
但这个证明可以很容易地被改写为三角学。
由于a/c = x/a = sinα，有x = asinα = (csinα)sinα = csin²α，同样y = ccos²α。然后c = x + y = c(sin²α + cos²α)，从中得出1 = sin²α + cos²α = (a/c)² + (b/c)²，因此a² + b² = c²。
但在这里使用三角学术语并没有增加任何东西——事实上，它只会使相同的方法更加复杂——因此可以说这个证明使用了相似三角形，而不是三角学。
更一般地，任何证明a² + b² = c²的证明都可以通过将csinα写作a和ccosα写作b（或者通过重新缩放边a、b和c到sinα、cosα和1）来改写为“三角”证明。
首先证明sin²α + cos²α = 1，之后反向替换sinα = a/c和cosα = b/c以显示a² + b² = c²。
这种幻觉显示需要对一个“三角”勾股定理的证明持怀疑态度，这种证明以这种迂回的方式工作（即，首先证明恒等式sin²α + cos²α = 1）以确保“三角学”不仅仅是使用正弦和余弦术语对边长的不必要重述。
为了确保证明勾股定理的过程不依赖于循环论证，她们二人在论文中提到了三个先决条件（preliminaries）：
- 角度加法公式：
角度加法公式主要用于三角函数中的正弦和余弦运算。
对于锐角α、β 和 α+β，正弦和余弦满足以下关系：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
这些公式可以确保在不依赖勾股定理的情况下，能够对正弦和余弦进行直接计算，从而保持证明的严谨性和独立性。
- 正弦定理
正弦定理被用于分析某些三角形中边长之间的关系。
正弦定理的核心是描述了三角形各边的比例关系，当已知两个角和它们的对边时，可以确定第三边的长度。正弦定理表述如下：
这些公式用于接下来的证明中的多个步骤，特别是用于连接和计算不同边长，以便在已知特定角度的情况下得出边长关系。
- 等腰直角三角形的特殊情况
等腰直角三角形中，两个直角边相等，这种对称性简化了许多计算。这种特殊三角形的边长关系，直接得出边长满足勾股定理：
因此，对于等腰直角三角形，证明过程变得更加简洁，因为两边的平方和直接等于斜边的平方。
接下来，就到了关键的证明部分。
五至十个勾股定理新证明
为了便于阅读和理解，这部分我们将直接放上证明的原文内容（公式着实不太好展示）。
第一个证明
第二个证明
第三个证明
第四个证明
第五个证明
除此之外，论文还对具体方法做了展开介绍。
二人先是提出了一个她们这项研究所要解决的基本问题，即：
我可以用给定的直角三角形△ABC创造出哪些新的直角三角形？
将对新三角形的构造限制在那些角度为△ABC的三个角度α、β和 90°（即 α+β）的整数倍之和或差的三角形上。
由此，这个问题的答案变得直接明了。
引理1
a) 如果 △ABC是一个等腰直角三角形（即 α=β=45°），那么所有角度为 α和 β的整数线性组合的三角形都是等腰直角三角形。
b) 如果在直角三角形 △ABC中 α<β，则存在一个直角三角形，其锐角为 2α和 β−α。此外，对于每一对 {α,β}，2α和 β−α是唯一能够形成直角三角形锐角的 α和 β的整数线性组合。
证明
a) 由于等腰三角形 △ABC的三个角度都是 45°的倍数，所以任何新三角形的所有角度（这些角度被限制为 △ABC的角度之和或差）仍然是 45°的倍数，因此我们得到的三角形必定是一个等腰直角三角形。换句话说，如果我们从等腰直角三角形开始，那么无法构造出新的三角形。
b) 现在假设 α<β。如果新构造的直角三角形中的一个锐角为 mα+nβ（其中 m,n∈Z），则其补角为：
90°−(mα+nβ)=(α+β)−(mα+nβ)=(1−m)α+(1−n)β
如果整数 n和 1−n都不为零，那么其中一个（假设为 n）是负数，那么将 n替换为 ∣n∣我们可以看到其中一个角度是 mα−nβ，其中 m>n>0。
但是当 α的度数为 90n/(m+n)时，其补角 β的度数为 90m/(m+n)，这种构造将会产生一个角度 mα−nβ=m⋅90n/(m+n)−n⋅90m/(m+n)=0。
这表明我们必须有 n=0，即其中一个锐角度数是 mα的某个 m∈N。
如果 m=1，那么我们简单地恢复了原始三角形 △ABC。如果 m=2，那么我们得到一个新的直角三角形，其锐角为 2α和 β−α（注意 2α<90°因为 α<45°）。
最后，我们看到 m≥3是不可能的，因为如果 30°≤α<45°，则不会存在这样的三角形。
我们的引理确切地告诉我们如何寻找勾股定理的证明（对于非等腰直角三角形）：从我们的原始三角形ABC开始，我们尽可能多地尝试创建一个新的直角三角形，其角度测量为2α、β − α和90°。
例如，创建一个2α角度的最简单方法是结合两个△ABC的副本，如图13所示。
这创造了等腰三角形ABB’，其角度测量为2α、β和β，所以下一步是取其中一个测量为β的角度，并将其转换为测量为β − α或90度的角度。
为了在顶点B’处创建一个90度的角度，我们构建一个射线，使其与BB’成α角度。如果我们然后延长边AB以在点D处与射线相交，我们就得到了我们第一个证明的图形（图14）。
或者，如果我们在斜边AB的另一侧创建2α角度，并延长BC以在点D处与新射线相交，如下所示，我们得到了直接导致我们第二个证明的图形（图15）。
而至于另外五种证明方法，感兴趣的读者可以点击文末链接查看详情哦。
灵感来自一个高中数学竞赛
但除了这次勾股定理的新证明之外，Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson背后的故事也是值得聊一聊。
在这篇论文的致谢部分中，她们也对此做了讲述。
事情的起因是二人当年参加的一场高中数学竞赛，其中就有一道加分题：
创建一种新的勾股定理证明方法，奖励500美元。
于是，她们决定各自挑战这道题目。
然而，这项任务比她们最初预想的要困难得多，二人花费了无数个不眠之夜，反复尝试并失败。经过大约一个月的努力，她们分别完成了自己的证明并提交了作业。
并且她们的数学老师Rich认为证明的方法足够新颖，值得在数学会议上展示。
尽管她们对自己的工作并没有太大的信心，但还是决定尝试一下。
接下来的两三个月中，二人把所有空闲时间都投入到完善和打磨她们的工作中。
她们既独立工作也共同合作，不仅在放学后，甚至周末和假期都在继续努力。
在此过程中，在Rich的指导下，她们创造了更多的证明方法。
尽管她们不确定是否有机会在会议上展示，因为通常只有专业数学家或偶尔的大学生能够在这样的会议上发言，但她们的高中作品最终还是受到了重视，并被批准在2023年3月的美国数学学会东南分会会议上展示。
Ne’Kiya和Calcea是会议中最年轻的与会者和演讲者，虽然她们感到非常紧张，但想到这是她们所有努力的结晶，也让她们有了信心去展示。
她们的演讲获得了成功，随后也受到了美国数学学会的鼓励，将其研究成果提交给学术期刊。
这对二人来说是最艰巨的任务，因为她们对撰写学术论文毫无经验。
当时，她们还在适应大学生活的各种挑战，比如学习LaTeX代码、完成小组的5页论文、提交实验数据分析等。
但在导师们的指导下，再加上大量的个人努力，她们最终完成了论文的撰写。
现在回头看这个过程，Ne’Kiya和Calcea在论文中这样写到：
到达这一步对我们来说并不容易，也不是一条直线前进的道路。
我们没有任何现成的路线图，也不确定工作是否会得到认可。很多次我们都想放弃，但最终，还是决定坚持到底，完成已经开始的事情。
而对于这篇论文，陶哲轩也发表了自己的想法：
这篇论文提醒了我们，即使是数学中最古老和最成熟的基础结果，有时也可以从一个全新的角度重新审视。
除此之外，目前也有不少的数学家已经加入到了讨论中：
完整论文放下面了，感兴趣的小伙伴可以阅读哦~
论文地址：https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#d1e4959
参考链接：
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/113391326199704210
[2]https://www.sciencedaily.com/releases/2024/10/241028132143.htm
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