henry 发自 凹非寺量子位 | 公众号 QbitAI
别争了！
世界上第一个明牌自己是大语言模型的人，可能是香农的老婆。
1950年前后的某一天晚上，咱们的信息论鼻祖香农跟老婆贝蒂在客厅做了一个小实验。
实验里，香农扮演着一个拿着书本考试的教官，Betty则扮演一个做做词语接龙的学生，根据香农的提示，猜下一个字母。
具体的，香农会从书中某一段开始，一个字母一个字母往后走。
每到一个位置，他先不报答案，而是先问贝蒂，下一个字母是什么？
就这样，贝蒂猜，香农记。
猜错了，香农写下正确字母。猜对了，他画一个短横。
这样一来，就像上面图里展示的那样，一段完整的英文被拆成了两部分：
贝蒂已经能预测的地方，用短横带过；贝蒂预测不了的地方，才需要把原字母写下来。
乍一看，这画面有点像什么高知伉俪玩的饭后游戏。
但在3Blue1Brown最新的视频里，这个实验被放回了一条更大的线索里——
它可能是人类历史上最早的一场真人版next-token prediction
更进一步，借由香农的例子，3Blue1Brown主理人Grant Sanderson还探讨了一个从信息论一路通向大语言模型的问题：
为什么预测下一个token这件看起来再简单不过的事，会和压缩、熵，甚至智能扯上关系？
而答案，可能就藏在贝蒂画掉的那些短横里。
LLM只是一场猜字母实验？
尽管Grant的视频已经讲得足够清楚，但为了更平滑一些，咱还是先回到香农和贝蒂那个实验。
表面上看，香农和贝蒂玩的点像双人语音版填字游戏，一个给前文，一个猜下一个字母。
比如，在英文里t后面很可能跟着h，所以当香农给出线索t的时候，贝蒂很可能会回答h。
换成中文，其实也差不多。比如，当你看到一个「你」，后面很可能接好，来组成「你好」。
但香农真正关心在意的，可能并不是贝蒂猜得准不准，而是猜对之后，会发生什么。
就像我们开头提到的，实验最后得到的那个转录版本，真实字母比原文少得多。
贝蒂猜对的地方，只剩一个短横。贝蒂猜错的地方，才保留原来的字母。
看上去，字是变少了，但在某种意义上，它包含的信息量没有变
原因也很简单。
如果香农能复制出另一个一模一样的贝蒂，再让她看这份缩短版文本，她理论上仍然可以把原文复原出来。
而这，就是「可预测性允许压缩」最直观的版本。
这很好理解，就像你跟哥们聊天一样。
一开始表达同意，你们会说「好的」，到后面变成「OK」，再后来只剩一个「k」，到最后甚至只是一个唐人表情包就足以心领神会。
表达越来越精简，并不是因为信息消失了，而是因为双方已经知道上下文，所以没必要把完整形式再打一遍。
不过相信聪明的大伙已经发现了，香农这个实验有点问题：
- 人不是机器。贝蒂这次猜对的字母，下次未必还会猜对。一个人两次面对同一段前文，也未必会给出完全一样的答案。
所以，虽然这个实验能说明语言可以被预测，所以语言可以被压缩，但它还不能精确测量语言到底有多少信息。
于是乎，香农后来把这个实验做得更系统。
在后续发表的论文Prediction and Entropy of Printed English中，香农找来更多受试者，不再只记录猜对还是猜错，而是记录一个人需要猜多少次，才能猜中正确的下一个字母。
猜一次就中，说明这个字母在当前上下文里很容易预测，如果猜很多次才中，就说明它更意外。
换句话说，香农其实在用一套方法，把猜了几次转换成受试者心里对正确字母的隐含概率。
这一步很关键。
因为同一个位置，不同人会给出不同猜法。有人第一次就猜中，有人猜到第五次才猜中。差别不在字母本身，而在每个人脑子里那套对英文的判断。
所以，香农测的不是书本上的静态词频，他测的是人如何根据自己的上下文来分配概率。
看到th，下一个字母可能是e，也可能是a。到底先猜哪个，猜到第几次才轮到正确答案，背后都是这个人对英文的理解在排序。
到这，相信你也看出来了。
香农这是把人当成语言模型整了，而他的妻子Betty，可能就是第一个明牌自己在做next-token prediction的人。
只不过那个模型不是Transformer，是人脑。
这些人脑知道语法、常识、上下文、语感，也知道一段英文接下来大概率会怎么走。
而香农干的，就是不断地追问：下一个字母是什么？
预测和压缩，大模型的一体两面
到这里，贝蒂的任务其实就已经完成了：
她用自己的模型（大脑），划掉了一段文本里可以被预测的部分
后面香农找来更多受试者，本质上也都是在做同一件事：
能够预测的部分划掉，只留下那些预测不了、必须写出来的字母。
于是，原本的长文本，就这样被压缩成了一份更短的新文本
所以，顺理成章的，我们会想：
假如一个人，读过一本书，就能靠自己的语言经验，预测书里一部分字母，从而把它压缩得更短；
那么，有没有一个模型，能吃下整个互联网，然后预测各种上下文里的空白呢？
或者换一个更AI的说法：模型能不能把语言里的规律，压进自己的参数里？
答案是肯定的，但先别急着往大模型上靠。
在这之前，Grant视频里还有一个更底层、也更值得探讨的问题：
怎么判断一种压缩方式，到底好不好？
最简单的标准当然是：越短越好。
如果一段信息里还有规律可找，还有冗余可删，那它就还能被继续压缩。
反过来说，如果一段信息已经被压缩到极限，所有能预测、能概括、能利用的规律都被榨干了，最后剩下的是什么？
没错，就是信息
在香农那里，信息有个经典的定义：
- 一件事到底有多出乎意料。
如果一句话的下一个字母几乎已经板上钉钉，那它就没携带多少新信息。
但如果下一个字母完全猜不到，它就真的需要被写出来。
这也是为什么Grant会说，一个理想的压缩算法，压到最后，输出应该看起来像随机噪声。
因为，噪声没有模式。
每一位都像独立抛硬币，50%是0，50%是1，彼此之间没有任何可利用的关系。
没有模式，就没有规律可学；没有规律可学，就没有冗余可删；没有冗余可删，也就没有继续压缩的空间。
所以，随机噪声不是因为「乱」才重要。它重要，是因为它代表了一种极限状态：
所有可预测的东西都已经被拿走了，剩下的每一位都必须被传输。
到这里，预测和压缩这两件事也就真正扣上了。
预测，是在问：哪些部分可以不用写？
压缩，是在做：把不用写的部分删掉。
而信息，就是最后那些无论如何都必须写下来的东西。
信息量
如果你看到这里，香农那个著名公式也就不再像一个凭空冒出来的数学定义了。
假设一条消息出现的概率是p，那么它的信息量就是-log₂(p)。
根据这条曲线，发生概率越小，信息量越大；发生概率越大，信息量越小。
用刚才那套话说就是：越容易被预测出来的东西，信息量越小。越难以预测的东西，信息量越大。
而从压缩的角度看，这个公式问的其实是：
- 为了把这条消息从所有可能性里区分出来，理论上至少需要多少 bit？
这就是香农最厉害的地方。他把「预测不了的部分」，变成了可以计算的东西。
但问题在于，现实生活中，我们很少只面对一条消息。更多时候，我们面对的是一整套可能性。
视频里，Grant举了机器人上下左右的例子。机器人收到的指令，不只是动和不动，而是上、下、左、右四种可能。
如果四个方向出现得一样频繁，那它们也就一样难猜。
这时最自然的编码方式，就是给每个方向分配同样长的bit。
比如：上是00，下是01，左是10，右是11。每条指令固定2bit，简单直接。
但如果上出现得最多，下次之，左和右更少，那最高效的编码方式就变了。
这时，我们就没必要让每个方向都占同样长的编码。
常见的方向，可以用更短的码字表示。少见的方向，则可以用更长的码字表示。
只要保证每个码字不会互相混淆，也就是不会读着读着不知道该在哪里断开，就能让整体平均长度变短。
视频里就是通过这种变长编码，把平均每条指令需要的bit数，从固定编码的2 bit，降到了1.75bit。
这就是压缩里非常核心的一条直觉：
概率越高的消息，应该用越短的编码；概率越低的消息，才值得用更长的编码。
那么推广开来，我们接下来要问的就不再是某一条消息有多少信息量。
而是在这一整套分布里，每来一个新符号，平均还有多少东西必须写下来？
这种在某个分布下，每来一个新符号，平均还剩多少必须写下来的东西，也被称作熵。
熵越低，说明系统越容易预测，越好压缩。熵越高，说明系统越随机，越难压缩。
如果四个方向完全一样常见，机器人下一步往哪走就很难猜，熵会更高。
同理，语言也是一样。只不过语言的可能性更多，上下文更长，麻烦也更大。
从熵到loss：大模型到底在压缩什么？
与机器人上下左右不同，大语言模型需要成千上万个token备选中选择最可能的下一个。
同时，它也不是孤立选择，而是严重依赖上下文。
所以，语言的熵本质上问的是：在给定前文之后，下一个token平均还有多少不确定性？
从压缩的角度来看，就是用这个模型来压缩真实文本，平均还要花多少bit，才能把下一个token写出来？
这也就是为什么，大模型训练里常见的交叉熵损失，天然会和压缩连在一起。
模型给真实token的概率越高，说明它越不意外。越不意外，信息量就越低。信息量越低，编码它就越省。
所以，交叉熵越低，模型就越像一个更好的压缩器。
与此同时，模型越能预测下一个token，就越说明它已经捕捉到了语言里的可重复结构。
语法、搭配、格式、事实、代码习惯、对话模式、推理套路，甚至一部分世界常识，都藏在这件事里面。
当然，Grant表示，这并不意味着：压缩可以粗暴地等同于智能。
ZIP很会压文件，但没有人会说ZIP在思考。
更谨慎的说法是：智能至少包含一种能力——
抓住世界里可预测的结构。
这也是“压缩即智能”最值得琢磨的地方。
它不是说，只要能压缩，就拥有智能。
而是说，如果一个系统真的能把复杂世界里的规律压进一个更短的表示里，并且能在新上下文里继续用它预测，那它至少已经碰到了智能的一部分。
这时再回头看开头那张画面，就不只是香农和贝蒂在家玩猜字母了。
贝蒂猜对的地方，香农画一个短横。七十多年后，大语言模型猜对的地方，loss降低一点。
短横变成了loss，书页变成了互联网。
坐在桌边猜字母的人，变成了GPT。
它们都在回答同一个问题：
下一个符号，能带来多少惊讶！
[1]https://www.youtube.com/watch?v=l6DKRf-fAAM&t=745s
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