全文概述
整数量子Hall效应有两种已知的不同类型。一个是传统的量子Hall效应，这是二维半导体系统的特征，另一个是在石墨烯中观察到的相对论对应物，其中电荷载流子模仿Dirac费米子，其特征是Berry相位π，这导致Hall平台的位置移动。来自University of Manchester的A. K. Geim教授团队报道了第三种类型的整数量子Hall效应。双层石墨烯中的电荷载流子具有抛物线能谱，但却是手性的，并显示出影响其量子动力学的Berry相2 π。这些费米子的Landau量子化导致Hall电导率在标准整数位置的平台，但最后一个（零能级）平台缺失。零能级异常伴随着低浓度和高磁场极限下的金属电导率，与该区域的常规绝缘行为形成鲜明对比。揭示的手征费米子没有已知的类似物，为量子力学研究提供了一个有趣的案例。相关内容于2006年以Unconventional quantum Hall effect and Berry’s phase of 2π in bilayer graphene为题发表在Nature Physics(IF=19.6)上。
图文解析
图1通过与传统的整数QHE进行比较，提供了在双层石墨烯中观察到的量子Hall效应（QHE）行为的示意图。在标准理论中，每个填充的单简并Landau能级对可观测的Hall电导率贡献一个电导量子e2/h（这里e是电子电荷，h是普朗克常数）。传统的QHE如图1a所示，其中霍尔电导率σxy的平台构成等距台阶的不间断阶梯。在双层石墨烯中，QHE平台遵循相同的阶梯，但是在零σxy处的平台明显不存在（图1b）。相反，Hall电导率在该区域经历了双倍大小的台阶。此外，即使在σxy为零时，双层石墨烯的纵向电导率σxx仍保持在e2/h的数量级。非常规QHE行为的起源在于两个石墨烯层之间的耦合，这将单层石墨烯特有的无质量Dirac费米子（图1c）转化为一种新型的手征准粒子。这种准粒子具有普通抛物线谱ɛ(p)=p2/2m，有效质量为m，但沿着回旋轨迹累积2π的Berry相（这里的ɛ是准粒子的能量和p的动量）。后者被证明与一种特殊的量子化有关，在这种量子化中，两个最低的Landau能级正好位于零能级ɛ，导致图1b所示的缺失平台和双阶跃。
Figure 1: Three types of the integer quantum Hall effect.
a,b, Schematic illustration of the conventional integer QHE found in 2D semiconductor systems (a), incorporated from refs12, and the QHE in bilayer graphene described in the present paper (b). Plateaus in Hall conductivityσxyoccur at values (ge2/h)N, whereNis an integer,e2/hthe conductance quantum andgthe system degeneracy. The distance between steps along the concentration axis is defined by the density of statesgB/φ0 on each Landau level, which is independent of a 2D spectrum1,2,3,4,5,6,7,8,9. Here,Bis the magnetic field andφ0=h/ethe flux quantum. The corresponding sequences of Landau levels as a function of carrier concentrationsnare shown in blue and orange for electrons and holes, respectively. For completeness, c also shows the QHE behaviour for massless Dirac fermions in single-layer graphene.
图1：整数量子Hall效应的三种类型。
a，b，2D半导体系统中发现的常规整数QHE的示意图（a），结合自参考文献12，以及本文描述的双层石墨烯中的QHE（b）。Hall电导率σxy的平台出现在值(ge2/h)N处，其中N是整数，e2/h是电导量子，g是系统简并。沿着浓度轴的台阶之间的距离由每个朗道能级上的态密度gB/φ0定义，它与2D谱无关。这里，B是磁场，φ0=h/e是通量量子。对于电子和空穴，作为载流子浓度n的函数的相应朗道能级序列分别以蓝色和橙色显示。为了完整起见，c还显示了单层石墨烯中无质量Dirac费米子的QHE行为。
这项工作中研究的双层膜是通过天然石墨晶体的微机械切割制成的，随后通过使用光学显微镜和原子力显微镜的组合来选择双层薄片，如参考文献10和11所述。通过使用标准微制造技术，由选定的薄片制成多端场效应器件（见图2a中的插图）。作为衬底，他们使用氧化的重掺杂Si晶片，这允许在石墨烯和衬底之间施加栅极电压Vg。所研究的器件显示了双极电场效应，使得电子和空穴可以在浓度n高达1013cm-2（n=αVg，其中对于300 nm的SiO2层，α≈ 7.3×1010 cm−2 V−1）的情况下诱导。关于石墨场效应器件的微制造及其测量的更多细节，可参考作者早期的工作。
Figure 2: Quantum Hall effect in bilayer graphene.
a, Hall resistivitiesρxyandρxxmeasured as a function ofBfor fixed concentrations of electronsn≈2.5×1012 cm−2 induced by the electric field effect. Inset: Scanning electron micrograph of one of more than ten bilayer devices studied in our work. The width of the Hall bar (dark central area) is approximately 1 μm. The known geometry of our devices allowed us to convert the measured resistance intoρxxwith an accuracy of better than 10%. b,c,σxyandρxxare plotted as functions ofnat a fixedBand temperatureT=4 K. Positive and negativencorrespond to field-induced electrons and holes, respectively. The Hall conductivityσxy=ρxy/(ρxy2+ρxx2) was calculated directly from experimental curves forρxyandρxx.σxyallows the underlying sequences of QHE plateaus to be seen more clearly.σxycrosses zero without any sign of the zero-level plateau that would be expected for a conventional 2D system. The inset shows the calculated energy spectrum for bilayer graphene, which is parabolic at lowɛ. Carrier mobilitiesμin our bilayer devices were typically around 3,000 cm2 V−1 s−1, which is lower than for devices made from single-layer graphene3,4. This is surprising because one generally expects more damage and exposure in the case of single-layer graphene that is unprotected from the immediate environment from both sides.
图2：双层石墨烯中的量子霍尔效应。
a，对于由电场效应诱导的固定浓度的电子n≈ 2.5×1012 cm−2，测量的霍尔电阻率ρxy和ρxx作为B的函数。插图：他们工作中研究的十多种双层器件之一的扫描电子显微照片。大厅条（暗中心区域）的宽度约为1 μm。设备的已知几何形状允许将测量的电阻转换成ρxx，精度优于10%。在固定的B和温度T=4 K下，b，c，σxy和ρxx作为n的函数绘制。正n和负n分别对应于场致电子和空穴。Hall电导率σxy=ρxy/(ρxy2+ρxx2)直接从ρxy和ρxx的实验曲线计算。σxy允许更清楚地看到QHE平台的潜在序列。σxy穿过零，没有任何常规2D系统预期的零能级平台的迹象。插图显示了计算出的双层石墨烯的能谱，在低温度下呈抛物线形。在双层器件中，载流子迁移率μ通常约为3,000 cm2 V−1 s−1，低于单层石墨烯器件。这是令人惊讶的，因为人们通常预计在单层石墨烯的情况下会有更多的损坏和暴露，因为单层石墨烯从两侧都不受直接环境的保护。
图2a显示了双层石墨烯在固定Vg（固定n）和高达30 T的变化磁场B下的典型QHE行为。在高B中的Hall电阻率ρxy中可以清楚地看到明显的平台，并且它们伴随着零纵向电阻率ρxx观测到的QHE平台序列由ρxy=h/4Ne2描述，这与具有双自旋和双谷简并的二维（2D）自由费米子系统的预期序列相同。然而，传统的QHE和报道的QHE之间的明显差异出现在小填充因子ν< 1的范围内（见图2b，c和3）。通过固定B和改变穿过中性点|n|≈0的电子和空穴的浓度，可以方便地研究这个机制，其中ρxy改变其符号，并且名义上为ν=0。此外，由于石墨薄膜中载流子迁移率μ弱依赖于n，常数B下的测量更能提供信息。它们对应于一个几乎恒定的参数μB，该参数定义了Landau量子化的质量，这允许在中等磁场中的单个电压扫描期间同时观察几个QHE平台（图2b）。ρxx中量子振荡的周期Δn作为n的函数，由每个Landau能级上的态密度gB/φ0（其中g是简并度，φ0是通量量子）定义（见图1）。例如，在图2c中，B=12 T时Δn≈1.2×1012 cm−2，这产生g=4，并证实了双层石墨烯能带结构计算中预期的双自旋和双谷简并。
Figure 3: Resistivity of bilayer graphene near zero concentrations as a function of magnetic field and temperature.
a–d, The peak inρxxremains of the order ofh/4e2, independent ofB(a,b) andT(c,d). This yields no gap in the Landau spectrum at zero energy.b, For a fixedn≈0 and varyingB, we observed only small magnetoresistance. The latter varied for different devices and contact configurations (probably indicating the edge-state transport) and could be non-monotonic and of random sign. However, the observed magnetoresistance (for bilayer devices without chemical doping10) never exceeded a factor of two in any of our experiments in fields up to 20 T.
图3：接近零浓度的双层石墨烯的电阻率是磁场和温度的函数。
a-d，ρxx的峰值保持在h/4e2的数量级，与B(a,b)和T(c,d)无关。这在零能量的Landau谱中不会产生空隙。对于固定的n≈ 0和变化的B，作者只观察到小的磁阻。后者因不同的器件和接触配置而异（可能表明边缘态输运），并且可以是非单调的和随机符号的。然而，在他们的任何实验中，在高达20 T的磁场中，观察到的磁阻（对于没有化学掺杂的双层器件）从未超过2倍。
图2b显示，尽管对于N≥ 1，双层石墨烯中的Hall平台遵循整数序列σxy=±(4e2/h)N，但在σxy=0处没有零N平台的迹象，这对于2D自由费米子系统是预期的（图1a）。在这方面，行为类似于无质量Dirac费米子的QHE（图1c），其中也没有平台，但当σxy通过中点时发生台阶。然而，在双层石墨烯中，这一台阶具有双倍的高度，并伴随着ρxx中的中心峰，其宽度是所有其他峰的两倍（图2c）。更宽的峰产生，在双层石墨烯中，最低空穴和电子Hall平台之间的跃迁需要两倍于其他QHE平台之间跃迁所需的载流子数量。这意味着最低Landau能级具有双简并度2×4B/φ0，这可以被视为两个Landau能级在n≈ 0处合并在一起（见图1中的Landau能级图）。
如图2b、c所示，在常规的2D系统中，σxy=ρxy/(ρxy2+ρxx2)的零能级平台是不可能的，因为填充因子ν< 1时，ρxx≫h/e2随着B的增加和温度T的降低而快速（通常是指数）增加，这表明处于绝缘状态。为了提供与传统QHE测量的直接比较，图3显示了双层石墨烯中的ρxx作为B和T在零ν附近的函数。双层石墨烯在中性点显示出很小的磁阻或温度依赖性，与传统的QHE行为形成鲜明对比。这意味着双层石墨烯中的σxy不会在任何√的间隔内消失，并且只在ρxy改变其符号的一点上达到零。请注意，ρxx令人惊讶地在高达20 T的磁场和低至1 K的温度下保持大约h/ge2的峰值。对于单层石墨烯，在低载流子浓度的极限和零B下，ρxx≈h/4e2的有限值被报道。这一观察结果与理论定性一致，理论将有限的金属电导率和局域化的缺失归因于单层石墨烯的相对论性光谱。双层石墨烯具有通常的抛物线光谱，并且观察到大约h/4e2的最大电阻率，此外，它在该系统中对B的弱依赖性是最出乎意料的。然而，要注意的是，量子化不如单层石墨烯精确，因为不同双层器件的峰值从6到9 kΩ不等。
双层石墨烯中的非常规QHE源于其电荷载流子的特殊性质，这些载流子是具有有限质量的手征费米子，如下所述。首先，作者使用标准最近邻近似计算了双层石墨烯中的准粒子谱。对于Brillouin区角附近称为K点的准粒子，他们发现ε(p)=±(1/2)γ1±√[(1/4)γ12+νF2p2]，其中νF=(√3/2)γ0a/ℏ，a是晶格周期，ħ=h/2π，γ0和γ1分别是层内和层间耦合常数。这种色散关系（在图2c中绘制）与第一性原理能带结构计算一致，并且在低能量下，变成ɛ=±p2/2m与m=γ1/2vF2的抛物线（符号±指电子和空穴态）。进一步分析表明，双层石墨烯中的准粒子可以用有效哈密顿量来描述
在双组分布洛赫函数（进一步称为赝自旋）的空间中起作用，描述属于两个不等价碳亚晶格A和B以及标记为1和2的两个石墨烯层的弱耦合最近位置A1和B2上的电子波振幅。对于给定方向的准粒子动量p=（Pcosá, Psiná），一般形式的哈密顿量
可以重写为
其中n=−(cosJϕ,sinJϕ)和向量σ由Pauli矩阵构成。对于双层石墨烯，J=2，但是符号J是有用的，因为它也允许方程（1）与单层石墨烯的情况相关联，其中J=1。的本征态对应于平行（电子）或反平行（空穴）极化到“量子化”轴n的赝自旋。这种赝自旋态的绝热演化，伴随着动量p的旋转角度ϕ，也对应于轴线n的旋转角度Jϕ。因此，如果一个准粒子在动量空间中环绕一个封闭的轮廓（即ϕ=2π），则通过准粒子的波函数获得一个相移Φ=Jπ，称为Berry相位。Berry相可以被视为由于赝自旋的旋转而产生，当时准粒子在不同的碳亚晶格之间重复移动（单层石墨烯为A和B，双层石墨烯为A1和B2）。
对于完成回旋轨道的费米子，Berry相位有助于半经典量子化，并影响Shubnikov–de Haas振荡（SdHOs）的相位。对于单层石墨烯，这导致SDHO中的π-位移和QHE平台序列中相关的1/2-位移，与Berry相位为零的传统2D系统相比。对于双层石墨烯，Φ=2 π，并且准经典极限（N≫1）没有变化。人们也可能认为2π相不会影响QHE测序。然而，对哈密顿量的Berry能级谱的精确分析（见补充信息）显示了贝里相位J π，表明零能Landau能级有一个相关的J倍简并（即2π的Berry相位导致量子极限N=0时可观察到的结果）。对于自由费米子QHE系统（无Berry相），能量由ɛN=ħωc(N+1/2)给出，最低态位于有限能量ħωc/2，其中回旋频率ωc=eB/m。对于单层石墨烯(J=1,Φ=π)，εN = ±νF√(2eℏBN)和在零能量下存在一个单态（为0）。对于双层石墨烯(J=2,Φ=2π)，εN = ±ℏωc√N(N-1)和两个最低态（考察）为零能。
双简并Landau能级的存在解释了在双层石墨烯中发现的非常规QHE。这个Landau能级位于电子和空穴气体的边界，考虑到四重自旋和谷简并，它可以容纳载流子密度8B/φ0。参照图1，这种Landau能级的存在意味着必须存在跨越中性点的QHE台阶，类似于单层石墨烯的情况。由于双简并，它需要两倍数量的载流子来填充它（与所有其他Landau能级相比），因此相应的QHE平台之间的跃迁必须是两倍宽（即8B/φ0与4B/φ0相比）。此外，平台之间的步长必须是两倍高，即8e2/h，而对于更高载流子密度下的其他步长为4e2/h。这正是实验观察到的行为。
总之，双层石墨烯为QHE系统的小家族增加了一个新成员，其QHE行为揭示了具有Berry相2π的大质量手征费米子的存在，这与其他已知的准粒子不同。对这种费米子的有限金属电导率约为e2/h的观察对理论提出了严重的挑战。
来源：研究碳点生
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