数学悖论系列之五（无限大的悖论)
五、无限大的悖论(Paradoxes of the Infinitely Large)
（一）背景知识
1.无限集合(infinite set)
有限集（也叫有限集合）是包含有限个元素的集合，有限集S的元素的个数称为S的基数，记为｜S｜。当我们面对“无穷”问题时，要依靠理性的论证，而不是直觉和常识来认识无限。判断两个有限集合中元素的“多少”，所采用“数数”的方法——就是建立“一一对应”的映射的过程。这种方法可以进一步推广到无限集合，为此数学家给出“势”的概念。
集合的势是一个用来度量集合所含元素多少的量。对于两个集合A和B，如果存在从A到B的双射，就称A和B是等势的(即基数相等)，记为：｜A｜=｜B｜。集合的势越大，所含的元素越多。当A=B时，一定有｜A｜=｜B｜，反之不一定成立。
(1)可数无限（无穷）集合
凡是与自然数集等势的集合称为可数集（可列集），故可列集也可称为可数无限（无穷）集合。A为可数无穷集合是指当且仅当A可排列为 A=｛a1，a2，…,an，…｝形式时，可以对它的元素进行编号，从而建立起该集合与自然数集的一一对应的关系。势最小的无限集为可数无限集，即与自然数集N对等的无限集。
下列结论成立：
正奇数集合、正偶数集合、整数集合、自然数的平方集是可数无穷集(图42)
平面上坐标为整数的点的集合(Z×Z) 与自然数集N等势(图43)
有理数集Q与自然数集N等势(图44)
素数集P与自然数集N等势(图45)
图 42
图 43
图 44
图 45
(2)不可数无限集合
如果一个集合包含太多元素，以至于它们不能与自然数集合一一对应，那么它就是不可数的。换句话说，即使计数需要很长时间，你也无法计算出集合中的所有元素，但你会在有限的时间内得到任何特定的元素。自然数集、偶数集、整数集、有理数集等均是无穷可数集，那么实数集合是不是可数集呢？康托尔在研究集合时得到的一个重要结论就是：实数集不可数。其实除实数集、无理数集是不可数集(图42)外，实数区间(0，1)、［-1，1］也是不可数的(图46)。
图 46
(3)无穷集合基数的比较
通过适当的投影以及推导两个区间之间的双射函数，可以证明任意两个区间[a，b]和[c，d]有相同的基数。也可考虑利用其他几何结构的方法来证明，有相同基数的各种几何点集。另外，集合等价这种等价关系是可以传递的。
图 47
图47表明：线段、半圆、曲线、圆、直线都有共同的基数｜R｜。
图 48
图48表明：任意长度的线段(直线)的基数相同、任意大小的平面其点数量相同(基数相同)。
图 49
图49表明：区间［0，1］、［0，+∞)的基数相同，集合A=｛(x，y)｜x^2+(y-1)^2=1，1>x>0、1>y>0｝与x轴的右半轴(不含原点)的点数量是相同的(基数相同)。
图 50
图50表明：线段、曲线、半圆、圆、直线、平面都有共同的基数｜R｜(复数的基数也是｜R｜)。
图47至图50所展示的点集都是处于连续状态，且勒贝格测度不为零——勒贝格测度可测：存在传统意义上的长度(实数区间或线段/直线)、面积。这又引出来一个重要的概念：能否找到一实数集的子集，它是不可数集合，但又不能与实数集建立一一对应的映射关系——这就是康托尔提出的“连续统假设”。
与有限集合不同，无限集合可以与其自身的真子集具有相同的基数。康托尔引入了基数的概念以比较无穷集间的大小，他提出了连续统假设：在无限集中，比自然数集基数大的集合中，基数最小的集合是实数集——我们平时所说的连续统的基数和所说的实数集的基数是同一个意思：c=｜R｜。
有趣的是，n维空间的点数（c）与一维空间相同，或者与一维空间的任何有限间隔（线段）相同——这很好理解，如果是从连续统假设方面去想的话，但令人惊奇的是一种特殊的集合(康托尔集)居然与它们的点数相同——基数相同。
图 51
图51所展示的康托尔集很有趣：它是可测量的，其勒贝格测度为零——尽管集合包含无限多的值，但它们彼此之间处于离散状态，并不会连接成一个区间；它是不可数的无穷集合；它与区间［0，1］具有相同的基数，尽管它是区间［0，1］无数次通过删除上一次获得的每个间隔的开放中间三分之一子间隔来构造的——这是相当奇怪的事实：为了创建康托尔集，我们删除了太多实数，以至于剩下的数字在实数轴上不占任何空间，但剩下的数字仍然和我们开始时一样多！
1900年，第二届国际数学大会在巴黎召开，20世纪国际数学界的头号巨人、德国数学家希尔伯特提出了23个基本问题，几乎指导了一个世纪，而现在只解决了一半。第一个问题就是如何证明集合论中的连续统假设。
连续统假设是数学中最基本的问题，近百年来一直是数理逻辑的中心问题之一，也是集合论最难的问题之一。经过许多著名数学家的不懈努力，已取得了重大进展：1930年，数学家哥德尔(Godel)证明连续统假设与选择公理是相容的，从而证明了连续统假设不成立是不可能的；1963年，美国数学家科恩(Cohen)证明了选择公理与连续统假设是相互独立的，从而得出“要证明连续统假设成立”是不可能的。由此得到，在我们所使用的公理系统中，连续统假设是不能判定的——不能证伪。
2.思想实验(thought experiments)和超级任务(supertasks)
思想实验基本上是想象力的手段。它们被用于各种目的，如娱乐、教育、概念分析、探索、假设、理论选择、理论实施等。有些应用比其他应用更具争议性。很少有人会反对用于说明复杂事态或用于教育环境的思想实验。思想实验在许多学科中得到应用，包括生物学、经济学、历史学、数学、哲学和物理学（尽管有趣的是，在每个学科中，使用频率并不相同）。
思想实验通常以叙述形式进行，通常使用图表。区分思想实验中想象的场景和在人们脑海中建立这些场景的叙述非常重要。一旦想象出一个场景，它可能会自行发展，这在一定程度上解释了一个好的思想实验的创造力。
通常，由于物理、技术、道德或财务方面的限制，一个旨在模拟思想实验的真实实验无法实现；但物理上的不可实现性不一定是思想实验的决定性条件。相反，主要观点是我们似乎能够仅通过思考就掌握自然。思想实验属于各种不同类型的实验。它们使我们能够利用从过去经验中获得的大量“本能知识”。
首先，思想实验可以揭示自然未能符合先前持有的期望。其次，“它们可以提出一些特定的方法，今后必须以这些方法修正期望和理论”。和论证一样，思想实验也可以以不同的方式接受批评：也许是设置有缺陷；也许是从思想实验中得出的结论没有道理。什么时候我们得到了一个新的思想实验？这取决于它是经过论证，相当严格的论证：我们如何仅通过思考、想象的情景来了解现实世界？这一挑战是思想实验讨论的核心。
思想实验在不同学科中都相对重要，数学、物理学和哲学广泛使用它们。数学当中的超级任务，有的在现实世界中是能物理地看到的(实现)；有的在现实世界中是不能实现的——在特定情形下，某些由无限多个步骤组成的超级任务，是不可以在有限的时间内完成的——在某种意义上，这些超级任务是靠思想实验来“实现”的。
在集合论中，无限集合不被认为是通过某种数学过程创建的，例如“添加一个元素”，然后进行“无限次”。相反，一个特定的无限集合(如所有自然数的集合)据说已经存在，通过将“规则”作为一个假设或公理：给定这个无限集合，那么作为一个逻辑结果，其他无限集合也被证明存在。但这仍然是一个自然的哲学问题，去思考一些实际上在无数个离散的步骤后完成的物理行为，再用集合论来解释这些物理行为，自然而然会导致超级任务的悖论——思想实验争议在于此。
部分哲学家声称只能通过思想实验来实现而现实世界不可能实现的超级任务(本文下文就要展开的“四个无限大的悖论”可归为这一类)“思想实验”的结果，是随之而来的一个矛盾，因此他们认为超级任务在逻辑上是不可能实现的。但数学家否定了这一结论，认为对这一类超级任务的研究可以帮助我们提高对自然的理解，甚至是我们对自然的理论——他们认为：数学就是逻辑，只要超级任务在数理上讲得通(而不考虑是否能在现实世界中实现)、逻辑上无毛病就是合理的。
超级任务可以被定义为在有限的时间间隔内执行的无限序列的动作或操作。“动作”和“操作”这两个术语不能按其通常意义来理解，因为它们涉及到一个人类代理。人类代理可能会涉及，但它不是必要的——只要在不涉及人的情况下能精确地描述行为就OK。我们假设，在每一个瞬间，与特定动作相关的世界状态可以用一组句子来描述。那么应用于世界状态的动作或操作导致了该状态的改变。也就是说，导致与之对应的集合S的改变。因此在大多数相关的超级任务中，瞬时作用(即没有持续时间的作用)可以被持续有限时间的作用所代替，而不会影响任何基本点的分析——从这一点来说，对超级任务进行分析离不开思想实验，而思想实验的依据是集合论。
（二）著名的四个无限大的悖论
1.伽利略的无限悖论(Galileo’s Paradox of the Infinite)
伽利略悖论是无穷集合的一个性质的证明。这种矛盾的特征是由于对整体大于其任何部分的原则提出质疑而产生的。
在他最后的著作《与两门新科学有关的论述和数学论证》（1638 年）中，传奇的意大利博学家伽利略提出了一个基于不同数字集之间关系的数学悖论。他对正整数提出了两种看似矛盾的说法。首先，一些数具有完全平方的性质(即正整数的平方)，而另一些数则没有。因此，所有正整数的集合，因包括平方数和非平方数，必然大于仅仅只有平方数组成的集合。然而，对于每个平方数来说，恰好有一个正整数是它的平方根；而对于每个正整数来说，也恰好有一个平方数与之对应。因此，一种类型不能多于另一种类型——这产生了悖论(见图52)。
在他著名的《对话录》中，伽利略得出结论说，较小、相等和较大的概念只适用于有限集，当应用于无限集时就没有意义了。另外，伽利略虽然给出了通过双射函数来证明集合大小的例子，但他不是第一个这样做的。19世纪，康托尔用同样的方法证明，尽管伽利略的结果在应用于整数甚至有理数时是正确的，但一般的结论是不正确的:一些无限集合比另一些更大，因为它们不能一一对应。
值得注意的是，伽利略已经证明，一个线段中的点数与一个比它稍长的线段中的点数是相同的。尽管他肯定没有得出康托尔几个关于无穷大、超限数的概念的存在证明，但他指出了芝诺悖论中的矛盾，为他的运动数学理论铺平了道路。
图 52
康托尔的基数为集合提供了度量。他于1897年给出了基数之间大小关系的定义，并为这些数字集建立了三分法定律。在现代数学中，我们说无限集及其适当的子集可能具有相同的基数。
2.希尔伯特大酒店悖论(Hilbert’s Hotel Paradox)
希尔伯特想象了一个假想的酒店，房间编号为1、2、3、…等，没有上限——这被称为拥有无限数量房间的酒店。最初，每个房间都住满了人，然而新的来访者到来了，每个人都期望有自己的房间。
(1)有限的新客人
①来了一个客人(1号房空出来)
多一个客人，酒店可以容纳他或她和现有的客人，如果无限多的客人同时移动房间的话。当前在房间1的客人移动到房间2，当前在房间2的客人移动到房间3…以此类推，将每个客人从他们当前的房间n移动到房间n+1。无限酒店没有最终房间，所以每个客人都有房间可去。在这之后，房间1是空的，新客人可以被移到那个房间。
②来了k个客人(空出来的房间号：1、2、…、k)
通过重复①的移动过程，就能为任何有限数量的新客人腾出空间。一般来说，当k个客人寻找房间时，可以应用相同的程序，从当前房间n移动到房间n + k。这样空出来的房间数刚好是k间，其房间号是：1、2、…、k。
(2)无限数量的新客人(每辆公交坐50个人)
又一天晚上，无数的公交车到达，无数的乘客在寻找房间，于是酒店经理又急中生智，针对不同情况，巧妙地解决了这“无限”的难题。
①1号房不动，其他客房按其房间号(n)来移动：n→(2n-1)，所有偶数房间留给新客人
每辆公交坐50个人——刚好满座，第一辆公交车乘客编号就是其座位号，第二辆公交车乘客编号是其座位号再加上50，第三辆公交车乘客编号是其座位号再加上100……无数辆公交车几乎同时到达，编号分别为1、2、3、…、50、51、52、…、100、101、…的无数个客人在寻找房间。经理针对这批无穷数量的客人，他的妙计是：1号房客人不动，其他客房客人按其房间号(n)来移动：n→(2n-1)。这样一来，所有偶数房间留给新客人，他们被安排到房间号是其编号2倍的房间。
②n号房移动到n^2号房间，所有房号是非平方数的留给新客人
公交车公司经理为显示出自己的天赋，故意给酒店出难题：座位先从第一辆编起，接着编第二辆…原则是从小到大且是非平方数。同样，每辆公交也坐50个人——刚好满座，无数辆公交车几乎同时到达，座位编号分别为2、3、5、6、7、8、10、11、12、13、14、15、17、18、…非平方数的无数个客人在寻找房间。经理的妙计是：n号房移动到n^2号房，所有房号是非平方数的留给新客人——无数个客人都有一个独一无二的座位编号——非平方数，且入住房间号是其编号的房间。
(3)无限数量的新客人(每辆公交坐无数个人)
公交车公司经理心有不甘，每次都输给酒店经理。一天他突发奇想花重金购入无数的新型公交车，而每辆车可以坐无数个人。又一天早上，他又带着他的车队(无数辆的公交车，而每辆车上坐着无数个人)出发了，他心想这无穷乘无穷算法虽然自己搞不明白，但够酒店经理喝一壶了。
黄昏时分，酒店经理第一次见到“每辆公交坐无数个人——座位编号从1到无穷大，第一辆公交车先到达，紧接着第二辆到达……无数的公交车几乎同时到达”这情形，一开始也心慌，但他很快想起大学集合论课上学到的知识：质数的集合(2，3，5，7，11，…)是可数无穷的。于是他笑了笑——化解了这无穷乘无穷的难题。
酒店经理的妙计：
①当前客人从他们的当前房间号(n)转移到等于当前房间号的2的n次方的房间
②第一辆公交车的乘客按其座位号（n）入住3^n号房
③第二辆公交车的乘客按其座位号（n）入住5^n号房
④第三辆公交车的乘客按其座位号（n）入住7^n号房
⑤第四辆公交车的乘客按其座位号（n）入住11^n号房
(4)悖论分析
酒店的经理发挥了他的数学天才水平，不管来客是什么类型，他都作了妥善安排——原住客不用离开，仍有房住；新的来访者也每个人拥有自己的房间(见图 53)。
希尔伯特悖论是一个绝对的悖论:它导致了一个反直觉的结果，这个结果被证明是正确的。当有无限多个房间时，“每个房间都有一个客人”和“不能容纳更多的客人”这两种说法是不等价的。
悖论中的无限是一个永无止境的数字或数量。这就像试图数清天空中所有的星星或试图到达宇宙的尽头——它只是不停地前进。在希尔伯特大酒店，无限的房间和客人意味着永远没有“最后”的房间或最终的客人，你可以随时添加更多的房间而不会耗尽空间。
最初，这种状况似乎有悖直觉。无限事物集合的性质与有限事物集合的性质截然不同。希尔伯特大酒店悖论可以用康托尔的超限数理论来理解。这样，在一个普通的(有限的)超过一个房间的酒店中，奇数房间的数量明显小于房间总数。然而，在希尔伯特大酒店中，奇数房间的数量并不小于房间的总“数”。在数学术语中，包含奇数房间的子集的基数与所有房间的
的基数相同——数学无穷大的行为方式违背了我们的日常直觉。
希尔伯特大酒店悖论是一个思想实验，它说明了无限集合的一个违反直觉的性质。事实证明，一个拥有无限多房间的客满酒店仍然可以容纳额外的客人，甚至无限多的客人，并且这个过程可以无限多次地重复。
图 53
3.利特伍德-罗斯悖论(the Littlewood-Ross Paradox)
超级任务是一个包含无限多个组成步骤的任务，但在某种意义上，它是在有限的时间内完成的。超级任务由前苏格拉底派研究，并继续成为现代哲学家、数学家、逻辑学家和物理学家感兴趣的对象。术语“超级任务”本身是由J.F .汤姆森(1954)创造的。
利特伍德-罗斯悖论(也称为球或花瓶问题或乒乓球问题)是抽象数学和逻辑中的一个假设问题，旨在说明无穷的矛盾性，或至少是非直观的性质。更具体地说，像汤姆森的灯悖论一样，利特伍德-罗斯悖论试图用超级任务的概念来说明概念上的困难：在超级任务中，无限数量的任务是按顺序完成的。这个问题最初是由数学家约翰·利特伍德在他1953年的著作《利特伍德杂集》中描述的，后来由谢尔登·罗斯在他1988年的著作《概率的第一课》中进一步阐述。
假设我们有一个花瓶——一个非常大的花瓶——能够容纳无限多的乒乓球，我们还有一堆无数的乒乓球，编号为 1、2、3、4......(见图 54)。
问题始于一个空花瓶和无限供应的乒乓球。然后执行无限数量的步骤，使得在每个步骤中，向花瓶中添加10个乒乓球，并且从花瓶中移除1个乒乓球。
为了完成无限数量的步骤，假设花瓶在中午前一分钟是空的，并且执行以下步骤:
第一步在中午前30秒进行；
第二步在中午前15秒执行；
每个后续步骤的执行时间是前一步骤的一半，即步骤n在中午前2^-n分钟执行。这保证了中午之前执行了无限多的步骤。因为每个后续步骤花费的时间是前一个步骤的一半，所以在一分钟过去时，会执行无限个步骤：第一步，我们将1-10号乒乓球放入花瓶中，然后取出1号乒乓球 （这总共为花瓶增加了九个乒乓球)；第二步，我们把11-20号乒乓球扔进花瓶里，取出2号乒乓球 （这使总数达到 18 个)……
假设我们以这种方式无限期地继续下去，并且我们以越来越快的速度这样做，这样我们将在有限的时间内用完我们无限的乒乓球堆。当这个超级任务结束时(中午时)，花瓶里会有多少个乒乓球？
利特伍德(1953年)和罗斯(1976年)都回答说答案是零。他们的推理如下。
1号乒乓球在第一步骤被移除；2号乒乓球在第二步骤被移除；…；n号乒乓球在第n步骤被移除……以此类推。由于每个乒乓球都有一个标签n，并且每个标签n都在超级任务的第n个步骤被移除。所以，在所有步骤完成后，最后花瓶里只能剩下零个乒乓球——人们甚至可以确定它们被移走的时间。
有些人可能会反对，相反，当超级任务完成时，花瓶里的乒乓球的数量应该是无限的。第一步骤后，花瓶里有9个乒乓球；第二步骤之后有18个；第三步骤之后有27个……在极限中，当级数接近无穷大时，花瓶中乒乓球的总数发散到无穷大。如果花瓶的最终状态是由有限阶段的状态收敛到什么来决定的，那么超级任务应该以花瓶里有无限多个乒乓球来结束。
如果这两种回答都同样合理，那么我们就有矛盾了。一个花瓶里不能同时有零个乒乓球和无限个乒乓球。从这个意义上说，利特伍德-罗斯的例子可能是一个悖论。
阿利斯和科特西耶（1991年）认为，由于合理的“连续性原则”，只有第一个反应是合理的：乒乓球在空间中的位置是时间的连续函数。如果没有这样的原则，一旦超级任务完成，就可以允许乒乓球在花瓶外的位置不连续地传送回花瓶中。但是有了这样的原则，人们可以得出结论，在超级任务结束时，花瓶一定是空的。范·本德古兹（1994年）对这一原则提出了挑战，阿利斯和科特西耶（1996年）对此进行了澄清性的反驳。
厄尔曼和诺顿（1996年）遵循阿利斯和科特西耶（以及利特伍德和罗斯）的要求，要求花瓶里乒乓球的世界线是连续的，但指出因此而产生了一种不同的不连续感。（这里使用“世界线”来描述粒子在空间和时间中的轨迹)。也就是说，如果将花瓶中的乒乓球数视为由函数近似的N(t)，那么这个“数函数”在利特伍德-罗斯超级任务中是不连续的：在超级任务的过程中爆炸到一个任意大的值，然后在超级任务结束后不连续地下降到 0。
利特伍德-罗斯悖论的概率版本将移除方法扩展到这样的情况，即无论何时要取出一个乒乓球，该乒乓球都是从当时存在于花瓶中的乒乓球中均匀随机选择的。在这种情况下，罗斯证明了任何特定的乒乓球在中午留在花瓶中的概率是0，因此，通过使用布尔不等式并对这些乒乓球进行可数求和，花瓶在中午变空的概率是1。
图 54
其他数学家以及哲学家也纷纷对这个悖论发表自己的见解——他们对这个难题的答案归纳为如下几类：
(1)取决于条件
事实上，最终的乒乓球的数量取决于乒乓球从花瓶中取出的顺序。如前所述：1号乒乓球在第一步骤被移除；2号乒乓球在第二步骤被移除……乒乓球可以以这样的方式添加和移除，使得中午没有乒乓球留在花瓶中。然而，如果在步骤1中从花瓶中移走了10号乒乓球，在步骤2中移走了20号乒乓球……依此类推，那么很明显，中午花瓶中会剩下无限数量的乒乓球。事实上，根据不同步骤中取出的乒乓球，中午之前可以将任意数量的乒乓球放入花瓶中——这是哲学家、逻辑学家汤姆·泰莫奇科和数学家、逻辑学家吉姆·汉勒喜欢的解决方案。这个解在数学上相当于取集合序列的下一个极限。
(2)问题不明确
虽然乒乓球和花瓶的状态在中午之前的每个时刻都是明确的，但是不能对中午或中午之后的任何时刻做出结论。因此，据我们所知，在中午，花瓶就神奇地消失了，或者发生了别的事情。但我们不知道，因为问题陈述对此只字未提。这种解决方法得到了数学哲学家保罗·贝纳塞内拉夫的青睐。
(3)问题格式不正确
这个问题是不适定的。准确地说，根据问题陈述，中午之前会进行无限次运算，然后询问中午的事态。但是，正如芝诺悖论所言，如果无限多的操作必须在中午之前(按顺序)发生，那么中午就是一个永远无法到达的时间点。另一方面，要问中午还剩几个乒乓球，就是假设中午到了。因此，在这个问题的陈述中隐含着一个矛盾，这个矛盾就是假设一个人可以以某种方式“完成”无限多的步骤。这是数学家和哲学家保罗·范·本德海姆喜欢的解决方案。
4.Banker's Paradox银行家悖论
如果我们能够以某种方式开设无限的银行账户，那么在现代电子银行世界中会发生什么？让我们把它们编号为1、2、3、...在这种银行系统中，我们每个账户都允许有小额的、暂时的透支，只要透支在提取后很快结清。也就是说，只要我们很快偿还透支金额并将账户恢复到零余额或许更好，因为每个账户都可能出现负的余额(见图55)。
现在考虑下面无限的一组事务。我们以电子方式设置它们，并要求银行的计算机系统一次全部执行它们:
$1被存入帐户1，通过在帐户2上透支$1来提供
账户2由1美元的存款补充，这是通过从账户3透支1美元来提供的
账户3由1美元的存款补充，该存款通过在账户4上透支1美元来提供
账户4由1美元的存款补充，该存款通过在账户5上透支1美元来提供
账户5由1美元的存款补充，该存款通过在账户6上透支1美元来提供
以此类推，适用于所有无穷多个帐户。总体效果：我们在任何帐户中都没有开始，在这个过程的最后，我们却有1美元的净收益。如果我们很贪婪，我们可以多次创建相同的任务集；或者只用1000美元做一次性交易。
图55表明，传输是按时间顺序发生的，因此需要一个加速的超级任务来完成所有的传输。这不需要假设。我们只需要设置转移在同一时间发生。如果每个都需要一秒钟来完成，那么这一秒钟将在所有传输的同时发生。促成这一创造性过程的关键因素是无限。每笔交易都省钱。当孤立地看时，没有什么意想不到的事情发生。即使他们中有限的许多人表现良好，不管我们考虑多少这样的个人交易……只有当我们考虑无限多的时候，创造的过程才得以实现。
图 55
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