喷洒覆盖中的数学——综合与实践压轴题探究
《义务教育数学课程标准(2022版)》优化了课程内容，在强调发展学生数学核心素养的同时强调了学科实践和综合实践，因此综合与实践必然成为中考考查的内容.目前在全国各地中考题中的“综合与实践”试题，基本上可分为点缀型、紧密型和情境型三类，其中数学文化类试题以点缀型为主，数学探究类试题以紧密型为主，数学项目学习类以情境型为主，跨学科项目学习类试题较少见.
以上内容摘自《中国数学教育》2024年第2期27页，守正创新 行稳致远——2023年中考“综合与实践”专题命题分析，作者是浙江省杭州市基础教育研究室王红权.
公园绿化时喷洒装置是大家比较熟悉的事物，涉及到的数学问题其实很多，例如水滴的运动路径，喷头方向、出水速度与喷洒范围的关系等，都可以是数学综合与实践的命题素材，本题选自2024年北京市某校九年级月考压轴题，研究喷洒覆盖率相关问题，令人耳目一新.
题目
解析：
01
(1)正方形内切圆是比较熟悉的图形，正方形边长为18m，可知圆半径为9m，如下图：
于是圆面积为81πm²，正方形面积为324m²，我们可求出喷洒覆盖率p=π/4；
02
(2)由特殊到一般，先看安装4个喷洒装置，如下图：
推导如下：
再看安装9个喷洒装置，如下图：
推导如下：
最后来看安装n个装置的情况，此时每个小圆的半径为9/n，同样的方法来求喷洒覆盖率，推导如下：
综上，采用增加装置个数且减小喷洒半径的方案，无法提高喷洒覆盖率.
03
(3)不妨顺次连接E、F、G、H，如下图：
在Rt△AEF中，利用勾股定理列方程，得：
x²+(18-x)²=(2r)²
r²=x²/2-9x+81
则y=πr²=πx²/2-9πx+81π=π/2(x-9)²+81π/2
于是当x=9时，y有最小值81π/2，此时r=9√2/2m.
04
(4)对于前面的结论，我们需要进行深入理解，y取最小值意味着覆盖正方形的这些圆“刚刚够”，半径更大当然也能覆盖，但有些浪费了，基于这个认知，再来看本小题，就好理解了.
从上图动画中我们可以发现，最“节约”的圆，就是y取最小值时的情况，此时E、F、G、H分别位于各边中点，如下图：
可以看出，这四个圆分别是四个小正方形的外接圆，因此对于安装方式，我们可以得出一种通用方法，即将要喷洒的正方形等分成若干个小正方形，再作出小正方形的外接圆，并且还可以求出，每个小圆的直径等于小正方形对角线长，请注意，这条信息非常关键！
现在喷洒半径为3√2m的小圆，逆向求它的内接正方形的对角线为6√2m，则小正方形边长为6m，对于这块正方形草坪，恰好是每条边的三分之一，所以我们需要将正方形草坪等分成9个小正方形，如下图：
所以至少安装9个喷洒装置.
解题思考
本题难点在于理解“至少安装”，从数学上理解就是用若干个圆去覆盖正方形，最少需要多少个，当圆的大小和正方形大小确定时，就是我们需要在题目中解决的数学问题.
为了帮助学生理解，题目设置了3个小题，其中第1小题让学生知道如何计算喷洒覆盖率，即分别求正方形及其内切圆的面积；第2小题则通过有规律地增加圆的数量，但不改变覆盖方法，让学生认识到这种覆盖方法的局限性，从而为新的方法创设悬念；第3小题并没有要求学生去设计新方案，而是给出方案，让学生去理解其中的原理，并思考为什么这种方案可以做到喷洒覆盖率为1，在此基础上，习惯于探究的学生会进一步思考，这个最小值是什么含义；第4小题才是最终需要解决的实际问题，通过理解第3小题的结论，并利用这个结论来完成综合与实践活动.
用圆覆盖正方形，或者用正方形覆盖圆，要做到“刚刚好”，其实也是个数学问题，即正方形内切圆或外接圆的问题，并且随着图形位置不同，大小也会发生相应变化，这不仅要求学生平时在进行数学活动时，多动手动脑，也要注重积累这些“数学经验”，而这种经验，是综合与实践课程的精髓，当我们组织教学，在课堂上完成一次综合与实践活动之后，学生最大的收获，应该就是这种数学经验，而命题中，将这种经验作为考查对象，是一种创新.
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