函数y=83/[(x²+31)√(x²-9)]的图像示意图

※.函数的定义域

∵x²+31≥31＞0，

x²-9＞0。

∴x＞3或者x＜-3，

即函数的定义域为：（-∞,-3）∪(3,+∞)。

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※.函数的单调性

∵y=83*[(x²+31)√(x²-9)]⁻¹

∴dy/dx

=-83*[(x²+31)√(x²-9)]⁻²*[2x√(x²-9)+x(x²+31)/√(x²-9)]

=-83*x[(x²+31)√(x²-9)]⁻²*[2√(x²-9)+(x²+31)/√(x²-9)]

=-83*x[(x²+31)√(x²-9)]⁻²*[2(x²-9)+(x²+31)]/√(x²-9)

=-83*x[(x²+31)√(x²-9)]⁻²*(3x²+13)/√(x²-9)

∵x²＞9，∴3x²＞3*9，则：

3x²+13＞3*9+13＞40＞0，

所以函数的单调性与x的符号有直接关系，即：

(1).当x∈(3,+∞)时，dy/dx<0，函数y在定义域上为减函数；

(2).当x∈(-∞，-3)时，dy/dx>0，函数y在定义域上为增函数。

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※.函数的奇偶性

∵f(x)=83/[(x²+31)√(x²-9)]

∴f(-x)=83/{[(-x)²+31]√[(-x)²-9]}

=83/[(x²+31)√(x²-9)]=f(x),

即函数为偶函数，在定义域上关于y轴对称。

※.函数的极限

lim（x→-∞）83/[(x²+31)√(x²-9)]=0，

lim（x→3）83/[(x²+31)√(x²-9)]=+∞，

lim（x→-3）83/[(x²+31)√(x²-9)]=+∞，

lim（x→+∞）83/[(x²+31)√(x²-9)]=0。

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※.函数的五点图

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※.函数的图像

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