迷茫，挫败，恐慌，不适应：如何练就“数学强心脏”？|哲学|微积分|戴维|数学强心脏|集合论

数学畅销书作家伊恩•斯图尔特 X 数学思维发展和教育家戴维·托尔合力打造的《基础数学讲义》是一部深刻洞察数学学习心理、助力学生跨越从中学到大学这一关键转折期的启发性学习指南。

从高中到大学，你不仅面临知识深度和广度的跃升，还要在学习方式、思维模式和心理适应上完成全面转型。当今大学数学教育，如何有效引导学生从中学数学的直观理解，跨越至量化的、严谨的、深刻的思维，一直是全球各国教育者与学生要共同面临的挑战。

中学数学与大学数学的断层显而易见，却没人告诉咱们该怎么办！

《基础数学讲义：走向真正的数学》

作者：(英) 伊恩·斯图尔特 (Ian Stewart) 、(英) 戴维·托尔

译者：姜喆

中学数学尽管已涉及了一定的抽象思维和逻辑推理，但其内容多侧重于具体问题的解决，如函数、几何、概率等，无论是课堂学习，还是作业或考试，我们往往有明确的学习路线、解题步骤可以遵循。大学数学则更加注重理论的构建和证明，如微积分、线性代数、抽象代数等，这些内容不仅要求我们掌握复杂的理论框架，还需要能灵活运用这些理论去解决问题，甚至探索未知世界。

从具体到抽象、从应用到理论的转变，对于刚踏入大学校门的学生来说，无疑是一次巨大的挑战。数学，咱能不挂吗？

我们为什么有这么大的心理困境？

令人迷茫的定义

大学数学中的许多概念，如极限、连续、可导等，它们的定义往往比高中时遇见的更抽象、严谨。学生可能发现，即便背下定义，也难以真正理解其背后的含义和重要性，迷茫得一塌糊涂。这种心理因素影响了学习数学概念的方法。这种情况下，数学学习从定义出发，往往是不合适的，因为要是没有进一步的解释并提供合适的例子，定义的内容往往难以理解。

证明学习的挫败感

大学数学中，证明是不可或缺的一部分。中学数学也学过证明，但中学生更习惯通过例题和练习来掌握知识点，一上来就面对冗长而复杂的证明过程，往往会感到无从下手，甚至开始自我怀疑：“我之前学了个假数学？”

不适应自主学习

大学的学习环境相对自由，大学教师可不再像中学老师那样，对学生进行“保姆式”的跟踪和指导。学习自主性增加，对于部分学生来说，反而意味着迷茫、不知所措和动力缺失。数学学习尤其明显，很多学生不知道学什么、怎么学，甚至追着老师问：还刷题吗？

数学“小白”并非一无是处

针对上述心理障碍，《基础数学讲义》的两位作者提出了一系列有效的学习策略：

通过实例理解定义：从具体的例子出发，逐步抽象出一般性的概念。比如，在学习极限时，可以先通过直观的图形或数列来感受极限的“逼近”过程，再引入严格的定义。
分阶段解析证明：对于复杂的证明，不要急于求成。将证明分解为若干个小步骤，逐一攻克。同时，要学会从证明的思路和逻辑中寻找规律，而不仅仅记忆具体的步骤。
培养自主学习的能力：制定学习计划，主动参与课堂讨论，利用图书馆和网络资源自我拓展。学会调整心态，面对困难时保持积极和乐观。

更重要的是，在学习过程中保持耐心和自信的重要性。数学学习并非一蹴而就，它需要时间和实践的积累。面对挑战，学生应该学会自我激励，相信自己有能力克服难关，逐步建立起对数学的信心和兴趣。

英美大学推荐给新生的数学学习入门指南

《基础数学讲义》这本书是一本大学数学学习入门指南，更是一本数学进阶路线图。

本书的两位作者是数学教育的行家。伊恩•斯图尔特（Ian Stewart）是英国皇家学会会员，享誉全球的数学科普作者，被人称为“数学魔术师”，但他也是一位资深的大学数学老师，常年奋斗在大学本科教育第一线。戴维·托尔（David Tall）长期研究从孩童到成人乃至数学家的数学思维发展、相关的学习和教育方法，包括如何体现数学思想，如何用语言谈论并阅读数学。

作者对学生心理与认知规律有着深刻的理解，明确指出，很多学校提倡的所谓“忘掉旧知，从零开始”的教学理念不仅挫伤学生积极性，也忽视了学生已有知识结构的价值。其实，基于学生现有的数学知识，通过自然拓展思维模式，就可以逐步深化学生对数学质的理解。这种以学生为中心，注重思维连贯性与直觉培养的教学方法，无疑是对当下数学教育的一次积极探索。

这本书的目的是让学生熟悉数学家解决问题的方式。本书虽然讲述了“标准”的数学基础，但是作者希望通过自然地拓展思维，建立形式化的方法。其实，一名中学生应该已经掌握了大量的数学知识，作者希望能就基于这些知识，打磨学生们的数学直觉，直击数学问题的要害。

本书三大特点

1.直观与形式化的巧妙结合：本书的一大亮点在于不拘泥于纯粹的形式化表述，而是先从直观概念入手，逐步过渡到严格的形式化定义。这种由浅入深的方式，既保留了数学的严谨性，又增强了可读性和可接受度，使读者能够在保持兴趣的同时，逐步掌握复杂的数学概念。

2.强调数学思维的培养：数学不仅是符号和公式的堆砌，更是思维的艺术。书中通过大量实例与分析，展示了数学家在面对问题时如何运用直觉、经验和逻辑进行探索，强调了创造性思维在数学学习中的重要性。这种对数学思维过程的揭示，对于培养学生解决问题的能力至关重要。

3.关注学习过程的心理因素：本书不仅是一部数学教材，也是一本关于如何学习数学的心理指南。作者深入分析学习过程中可能遇到的心理障碍，如定义理解的难度、证明学习的挫败感等，并提出了相应的学习策略，如通过实例理解定义、分阶段解析证明等，体现了深厚的教育智慧。

结构概览

全书编为四个部分，逐步深入，层层递进。

第一部分以学习过程的哲学反思开篇，强调数学学习的曲折性与探索性，随后通过实数概念的深入探讨，为读者打下直观的数学基础。

第二部分则转入集合论与逻辑的基础知识，通过解析证明的概念与结构，让读者初步领略数学推理的魅力。

第三部分全面展开形式化体系的构建，从自然数到实数，再到复数及更广泛的数学结构，逐步揭示数学世界的内在逻辑与统一性。

第四部分聚焦于集合论的形式化，探讨数学基础的最深层问题，如公理选择、连续统假设等，引领读者进入数学哲学的深邃领域。

本书为高等数学学习的一系列难题提供了独到、系统的解决方案。本书不仅针对大学新生和有志于纯数学研究的中学生，也为所有对数学基本概念及思维过程感兴趣的读者，铺设了一条既稳健又富有启发性的学习路径。