小乐数学科普：数学史有什么用？——译自Ben Orlin本·奥尔林的《数学和烂插画》博客|代数|奥尔林|小乐|微积分|数学史|数学和烂插画|数学科普

我的朋友们，欢迎阅读本集《BASAL - 本对学术文献的业余合成》（BASAL -Ben’sAmateurishSynthesis of theAcademicLiterature）！

作者：Ben Orlin（本·奥尔林，英国数学教师、科普书作家）2024-11-19

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-11-22

图源：Ben Orlin | mathwithbaddrawings.com

在本集中，我们将探讨：

1. 历史上的数学家是如何努力构想代数的

2. 历史上的数学家是如何努力理解概率的

3. 学习数学基本上就是快速应对同样的历史挑战

4. 谁关心，为什么

海伦娜·佩西奥（Helena Pycior）和符号的怪异之处

根据Jim Propp（即James Propp教授，译者注）的热门提示（试着快速讲十遍），我一直很欣赏历史学家Helena Pycior（海伦娜·佩西奥，1947 -，历史学家，美国）的工作，以及她有关19世纪转向“符号代数”的著作。

这种数学，现在在“代数 1”的主办下讲授，对我们来说并不陌生或不熟悉（这里的“我们”是指“数学博客的读者”）。但佩西奥揭示了它的极度怪异。

不只是13岁的孩子觉得这些东西难以接受。直到19世纪中期，一些英国数学家还不得不被拖入这个噩梦般的世界，彼时数学符号脱离了它们所象征的事物而自由飘荡。

以威廉·汉密尔顿（William Hamilton，1805 - 1865，因提出四元数quaternion而闻名）写给同事的一封信中的话为例：

我们属于代数的对立两极；因为你……似乎认为代数是一种“符号及其组合的系统”，有点类似于用字母表达的三段论；而我永远不会满足，除非我认为我可以超越或透过符号来看到所表示的事物。

你明白了吗？威廉·汉密尔顿为我们提供了奇异的复数的非交换推广，并不希望代数仅仅是一门符号科学。

他想确切地知道这些符号象征着什么。

没有人反对一种更为温和的代数形式，即所谓的“广义算术”。诸如 2x+3x=5x 这样的陈述可以理解为具体算术模式的精辟总结：任何数字的两倍加上该数字的三倍，得出该数字的五倍。

这种代数得到了一致认可。

但像将两个负数相乘得到一个正数这样的事情……嗯，这已经不再是算术了。这是纯粹的符号化，没有明确的东西被象征。它是有效的，因为它给出了一致的结果，并被证明在解决数学和科学问题方面很有用……但它没有实际的具体意义。

信奉“负数乘以负数等于正数”就是失去了数学纯真性。就是放弃具有明确而具体的现实世界意义的符号。就是接受19世纪和20世纪数学作为自洽逻辑系统的观点。正如希尔伯特所说，就是接受数学是“一种按照某些简单规则进行的游戏，在纸上做无意义的标记。”

简而言之：代数不仅对脾气暴躁的青少年来说很难。对于任何致力于理解符号含义的人来说，代数都是很难的。

伊恩·哈金（Ian Hacking）与概率的出现

Twitter上有人开玩笑（这是个玩笑吗？）说他们要求入门统计学的学生阅读Ian Hacking（伊恩·哈金，1936 - 2023，哲学家，加拿大）的《概率的出现》（The Emergence of Probability）¹ 。考虑到学生发现阅读教学大纲有多困难，这似乎是一项相当艰巨的任务。不过，我还是很好奇。

这本书奇怪地引人入胜。我了解到概率的出现是……

1. 突然的。它明显发生在1650年至1670年之间。

2. 广泛的。数十位思想家同时探讨此同一主题。

3. 令人惊讶的晚。人们已经赌博了数千年。显然，1660年并不是第一次有人想在赌博中获胜。那么，为什么要等这么久才知道概率呢？

毫无疑问，概率的出现是因为在17世纪中期，某种东西“悬而未决”。卡尔达诺等先行者只是证明了这一点：他在一个世纪前就提出了概率的起源，但没有人理解其中的道理。有什么比有人给他们发信息，而他们却在多年后仍将其置于“未读”状态，更能证明人们还没有准备好接受概率呢？

现在，我很容易曲解哈金的精妙论证，但简而言之，他通过分析知识形式解决了这个谜团。到1600年，知识有两种基本形式。

首先（对我们来说更容易辨认）的是确定的知识：我们毫无疑问知道的东西，因为它已经通过欧几里得式的无可辩驳的论证被证明了。这不仅包括数学，还包括天文学、光学等。（今天，我们倾向于认为这一类别实际上是空洞的，因为我们认为经验真理从根本上来说是偶然和不确定的。但那是因为我们用后验概率的眼光来看问题。）

第二种（也是更奇怪的）知识是证词或意见：我们知道某些东西是因为权威宣称它是真的。

这就是“可能”一词的由来。它的含义并不是我们所想的那样。

当时，概率指的是我们对作证权威的尊重程度。它的意思类似于“值得认可”。一个“可能”的事实来自像李维（Livy，Titus Livius，公元前59年 - 公元17年，历史学家，古罗马）或波利比乌斯（Polybius，公元前200年 - 前118年，历史学家，古希腊）这样受人尊敬的人；一个“不可能”的事实来自某个不知名的抄写员。哈金引用了这样的话：“这个说法极有可能，但已知是错误的”——这在我们听来似乎自相矛盾，但在当时却是一个非常明智的说法。

无论如何，这种二分法明显缺少了物证的概念。

云朵是暴风雨的证据。咳嗽是发烧的证据。雪地上的脚印是附近有兔子的证据。这些迹象并不完全是原因，因为它们不能保证结果，而只是以不同程度暗示结果。这些迹象被归入第二类知识，被归类为“自然的证词”。根据哈金的说法（在这里他有点让我困惑），这不是一个比喻：人们确实认为这些是证词，是大自然的记录。

概率就是从第二种知识中产生的。

我很快会写更多有关此内容的文章。（这本书值得一篇长达5000字的ACX博客风格的评论。²）但有一点值得注意：我们对概率和统计的理解方式背负着巨大的负担。就像数英里看不见的大气层总是压在我们头上一样，数英里被遗忘的信念和迷失的神学也压在我们轻率的主张上，例如“正面的概率”或“赢得选举的概率”是50%。

简而言之：概率不只是对脾气暴躁的青少年来说很难。这种数学不可避免地与你的整个世界观纠缠在一起。

安娜·斯法德（Anna Sfard）和“方式成为样貌”（a How Becoming a What）的奇迹

博学多识的迈克尔·珀尚（Michael Pershan）博览群书，几年前就建议我读一读斯法德（Anna Sfard，1949 -，数学教育心理学家，以色列）的《论数学概念的二象对偶性》（On the Dual Nature of Mathematical Conceptions）。我真是个傻瓜，直到2024年才读完。

她的论点简要如下：我们首先将数学视为一个过程来学习。然后，在一次神秘而又近乎奇迹般的顿悟中，我们将这个过程重新解释为一种结构，即它本身。

以学前数学为例：计数。向学龄前儿童展示5个物体，他们会数数：“一、二、三、四、五”。然后，添加另一个物体，并说：“现在有多少个？”

大多数孩子不会从五开始。他们会从头开始：“一、二、三、四、五、六”。对他们来说，“五”只有在计数过程中才有意义。它本身还不是一个对象。还不是我们所说的数字。

要做算术运算（比如，将五加五），你需要获取这个计数过程的结果，并开始将其视为一个对象本身，斯法德将此称为物化（reification）。

这种学习循环不仅适用于计数。除法过程（4块披萨分给7个人）产生了我们称之为“分数”的对象（4/7，这是除法过程的结果，但本身也是一个对象）。

计算过程（加倍，然后加五）产生代数表达式（2x+5，这是计算过程的结果，但也是一个独立的对象）并最终产生函数。

顺便说一句，函数花了几个世纪才确定下来。我教给16岁学生的定义是：函数是一组有序对（x,y），x在定义域中，y在值域中，每个x只出现在一个有序对中。这是物化理论的巴洛克式胜利，是布尔巴基和20世纪的产物。

这让我们看到了斯法德的要点：物化既是一个教学过程，也是一个历史过程。就像发育生物学家曾经说过的：个体发生重演了系统发生（ontogeny recapitulates phylogeny胚胎重演律）。

历史上数学家的奋斗历程预示着我们的学生将经历这些。

关于数学史的两种矛盾思想

似乎每个人都觉得数学课缺少人性化元素。这些规则是怎么回事？谁想出了这些东西？我们为什么要做这些？在寻找意义时，人们通常会援引历史。如果我们能解释谁想出了这些东西，以及为什么，那么也许它就会给这个主题一个人类面孔，一个有意义的背景。

这就带来

想法＃1：希望历史能够将数学从晦涩和抽象中拯救出来。

想法＃2：这实际上不起作用。

我是根据自己的经验来讲述的，就像查理·布朗是根据踢足球的经验来讲述的一样。例如，在后来成为《唯一不变的是变化：疯狂世界中的微积分智慧》（Change is the Only Constant）这本书的早期草稿中，我解说了很多微积分的历史，认为这非常聪明且引人入胜。³

“嗯……”我的编辑贝基说。“这可真是一段不小的历史啊。”

这是她说“为什么，本，为什么？！！”的礼貌方式。

对数学感到厌烦和疏远的人可能会认为他们想要历史。但历史并没有简化问题。它使问题变得非常复杂。当你追溯祖先的世代时，你的家谱就会成倍增长。思想也是如此。血统不断增加。过去也许可以解释现在，但解释过去却很难。

当人们说他们想要“历史”时，他们真正想要的是故事。他们想要的是轶事。这些轶事不一定是真实的，也不一定是历史严谨的。天才神话很容易让人接受，混乱的偶然事件则不然。

因此，历史的价值并不在于学习者。

历史的价值在于教师。

数学教育充满了深刻、奇妙和充满疑问的思想。它们诞生于数个世纪的喧嚣，诞生于令人惊讶的合作和激烈的斗争。我们的符号、我们的概念、我们的教学顺序——总的来说，这些都不是不可避免的。回顾我们身后的道路，你会发现被击败的对手、失败的竞争对手和被遗忘的替代方案。和当今世界上的其他一切一样，我们称之为“数学”的学科带有产生它的几千年的印记和伤痕。要知道它是什么——以及知道它在未来几十年的发展方向——你需要对它的起源有丰富的了解。

历史无法将数学从默默无闻中拯救出来。历史无法说服学生接受“负负得正”的观念。历史无法将僵化、教条的思想者变成灵活、概率论的思想者。

但是如果老师既懂历史，又懂数学，还了解学生的话，那么他们也许有机会。

译者注

#1 The Emergence of Probability，Ian Hacking著

http://www.andreasaltelli.eu/file/repository/Jan_Hacking_Emergence_Probability.pdf

#2 书评博客Astral Codex Ten https://www.astralcodexten.com/about

#3 本文作者是Math with Bad Drawings（数学和烂插画）博客主：本·奥尔林（Ben Orlin），已出版多部畅销书籍《欢乐数学》，《疯狂微积分》等，列举如下：

参考资料

https://mathwithbaddrawings.com/2024/11/19/whats-the-use-of-math-history/

http://www.andreasaltelli.eu/file/repository/Jan_Hacking_Emergence_Probability.pdf

https://www.astralcodexten.com/about

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