三维不等式柯西定理应用举例
(s₁²+s₂²+s₃²)(t₁²+t₂²+t₃²)≥(s₁t₁+s₂t₂+s₃t₃)²。
定理证明：
证明：
定义函数f(x)为:
f(x)=(s₁+t₁x)²+(s₂+t₂x)²,
将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得
f(x)=(t₁²+t₂²)x²+2(s₁t₁+s₂t₂)x+(s₁²+s₂²)
因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即
Δ=4(s₁t₁+s₂t₂)²−4(t₁²+t₂²)(s₁²+s₂²)≤0
所以: (t₁²+t₂²)(s₁²+s₂²)≥(s₁t₁+s₂t₂)².
令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即
s₁+t₁x=0⇒x=−s₁/t₁,
s₂+t₂x=0⇒x=−s₂/t₂;
则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：
s₁/t₁=s₂/t₂,证毕。
※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=298,x²+y²+z²=113,求ax+by+cz的最小值。
解：直接使用上述柯西三维不等式有：
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,
代入数值即可得：
298*113≥(ax+by+cz)²,即：
(ax+by+cz)²≤33674,
由于所有变量均为正数，则：
ax+by+cz≤√33674，
所以ax+by+cz的最小值为：√33674.
※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=299,求x+y+z的最小值。
解：使用柯西三维不等式有：
(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：
(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：
299*3≥(x+y+z)²,进一步有：
(x+y+z)²≤897，
所以正数x+y+z的最小值=√897。
※.若a+b+c=152,求256a²+36b²+36c²的最小值。
解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。
256a²+36b²+36c²=(16a)²+(6b)²+(6c)²
进一步变形为：
[(16a)²+(6b)²+(6c)²][(1/16)²+(1/6)²+(1/6)²]，
≥[(16a/16)+(6b /6)+(6c/6)]²，
=(a+b+c)²=152²，即：
(256a²+36b²+36c²)*(137*12²/576²)≥152²，
所以：256a²+36b²+36c²≥(1/137)*7296²。
※.若24x+3y+14z=121,求x²+y²+z²的最小值。
解：运用三维柯西不等式，有：
(x²+y²+z²)(24²+3²+14²)≥(24x+3y+14z)²,即：
(x²+y²+z²)(24²+3²+14²)≥121²,
(x²+y²+z²)*781≥121²,
x²+y²+z²≥121²/(781),
即：x²+y²+z²≥1331/71,
所以x²+y²+z²的最小值=1331/71。
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