求圆x^2+y^2=2^2上点A(-√3,-1)处切线的方法

主要内容：

介绍通过解析几何法、导数几何意义法，求解经过圆x^2+y^2=2^2上点A(-√3,-1)处切线的方法和步骤。

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解法一：解析几何法

设切线的斜率为k，则切线的方程为：

y+1=k(x+√3),

代入圆的方程得：

x^2+[k(x+√3)-1]^2=4

x^2+k^2(x+√3)^2-2(x+√3)k-1-4=0

(1+k^2)x^2+2√3k^2x-√3^2k^2-2kx-2√3k+3=0

(1+k^2)x^2-2k(-√3k+1)x-√3(-√3k^2+2k+√3)=0

因为此时是求直线与圆的切线，即x只有一个解，

则该关于x的方程的判别式为0，所以：

△ =4k^2(-√3k+1)^2-4*-√3(1+k^2)(-√3k^2+2k+√3)=0

k^2(-√3^2k^2-2√3k-1)+√3(1+k^2)(-√3k^2+2k+√3)=0

化简得：k^2-1+2√3k-3=0,

(-k-√3)^2=0,即：k=-√3。

故切线的方程为：

y+1=-√3(x+√3),

-y+1=√3x-3,故切线的一般方程为：

-√3x-y-2^2=0。

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解法二：导数几何意义法

x^2+y^2=2^2，两边同时求导得：

2x+2yy´=0，即：y´=-x/y。

导数的几何意义实际上是曲线上切线斜率构成的函数，称导函数，简称导数。

对于本题，切点A处的导数等于此处切线的斜率k，即：

k=y´=-√3,故切线的方程为：

y+1=-√3(x+√3),

-y+1=√3x-3,则切线的一般方程为：

-√3x-y-4=0。

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