1月4日周日开讲：勘玄府众窍由辨，布算谱诸群序列|《拓扑学的思维革命：从空间直觉到系统科学》第六课|代数|同伦|定理|数学

导语

当我们从“形状的变形”和“洞的计数”转入其中的代数结构，拓扑学就进入了代数时代。本讲承接上一讲，介绍同调的核心思想——用代数对象（如群与正合列）去描述空间的结构。通过MV序列等例子，我们学习如何计算同调群，并理解欧拉数的代数拓扑意义和范畴论内涵。更重要的是，我们将从哲学与系统科学角度，探讨“拓扑的层级结构”：一个系统的“洞”与“约束”，往往正是其结构的灵魂。

主题：同伦与同调简介（二）

课程简介

目标：掌握同调的基本概念与计算方法，进一步理解代数结构如何表达空间特征。

本讲承接上一讲的同伦思想，引入同调论的核心观念：用一系列代数对象（群、链复形与长正合序列）来系统刻画空间的结构。同调不再仅仅关心“是否存在某种绕行”，而是将空间拆解为由点、边、面及其高维类似物构成的整体，通过“边界”与“循环”的代数关系，精确描述不同维度上的洞与结构层级。

课程首先会将以上的拓扑对象代数化，构建必要的代数工具：单纯同调、奇异同调和胞腔同调群。之后将系统地展示同调论中的几个核心要素：第一，以Mayer–Vietoris（MV）序列为例，展示拓扑学如何通过“分解—拼合”的方式计算同调群；第二，从范畴论视角看待同调论，并由此理解欧拉示性数的代数拓扑意义，以及为什么同调理论可以看作欧拉示性数的范畴化；第三，讲解Hurewicz定理，说明同调理论与同伦理论的深刻联系。在这一过程中，大家将体会到：拓扑不变量并非零散的数值，而是被组织在一整套相互制约、彼此关联的代数结构之中。

更进一步，本讲将从哲学与系统科学的视角审视同调思想。并展示其在基础数学（曲面分类与映射度）、拓扑数据分析/机器学习和精神分析中的应用。我们将看到，“洞”并不仅是缺失，更是一种约束与可能性的来源：在复杂系统中，正是这些不可消除的结构，刻画了系统的稳定性、演化路径与可达性边界。从这一意义上说，同调论不仅是拓扑学的技术工具，也是理解复杂结构层级与组织方式的重要思想模型。

课程大纲

同调概述：洞的数量与空间的代数结构

同调思想：洞的数量与结构，“边缘”的代数刻画
同调群与正合列
同调论的基本计算方法：Mayer-Vietoris(MV)序列及例子
同伦与同调的关系——Hurewicz定理简介
代数拓扑的基本思想（用代数结构研究拓扑空间）；范畴化思想（续，同调群作为欧拉数的范畴化）
持续同调及其应用简介
曲面分类与拉康的精神分析（主体）拓扑学

关键词

同调、亏格、正合列、单纯同调、奇异同调、胞腔同调、MV序列、Hurewicz定理、欧拉示性数、代数拓扑、范畴化、庞加莱同调球、映射度、结构层级

课程信息

课程主题：勘玄府众窍由辨，布算谱诸群序列——同伦与同调简介（二）

课程时间：1月4日（周日）晚19:00-21:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

金威，北京大学基础数学博士，博士后。主要研究方向为拓扑学和数学物理。现从事人工智能的基础理论和算法研发，并致力于数学和系统科学方面的教育/科研和科普活动。《基本粒子：数学、物理学和哲学》一书中文版译者，《返朴》公众号作者。研究兴趣：属性论和属性数学、拓扑学和数学物理、系统科学和复杂网络、中医等。

课程适用对象

理工科领域研究者及高年级学生：适合具备基础数学背景（微积分、线性代数、复变函数、常微分方程）的理工科高年级本科生、研究生及科研人员。尤其适合关注复杂系统、非线性动力学、统计物理、信息科学等方向，或希望将数学思想应用于物理、工程、生命与智能/认知系统的学习者。
喜爱探索和创新学习者：面向对抽象思维、系统建模与跨学科分析有兴趣的学生与研究者。鼓励具备问题意识、善于逻辑推理与思维开放的学习者，通过拓扑学培养结构化与整体化的科学思维。

报名须知