林家翘出生于民国五年北京市，伯父是戊戌六君子的林旭，母亲是厦门大学的第一任校长，从小接受良好的教育。17岁的时候以第一名的成绩入读于清华大学，大一跟随萨本栋学习大物，大二转入物理系，四年后同样以第一名的成绩毕业，并选择留校任教。两年后又同郭永怀等人考取庚子赔款公费留学，本要去英国留学，由于二战在欧洲爆发，便转去加拿大，途中要经过日本，他们便选择放弃出国，直到第二年才到达加拿大。

1940年他赴多伦多大学学习，仅用一年的时间就获得了硕士学位，随后转到美国跟随冯·卡门深造。在这里导师给他的研究课题是海森堡遗留的具有争论性的问题，他通过自己的研究证明了海森堡遗留问题，并在1944年获得博士学位，而诺依曼又用计算方法证明了他的研究，也得到海森堡的认同。1947年转到麻省理工学院任职，1962年他被列入美国科学名人录，1966年成为麻省理工学院第一位华人教授。

1972年作为首批回国访问学者，之后一直致力于我国人才的培养，帮助他们到麻省理工深造，也积极推荐有名学者到我国访学。1979年被清华大学聘为名誉教授，知道2001年被聘为清华教授，次年他选择回国定居。2007年的时候把自己在美国的资产卖掉捐给清华大学教育基金会，为我国人才培养做贡献。2013年在北京病逝。

他在应用数学领域有极高的造诣，被美国称为“应用数学之父”。在流体力学方面他发展了平行流动稳定性理论，确认流动失稳是引发湍流的机理，在此领域的研究上还和瑞典力学家起了争执，但他以包容的姿态看待问题的复杂性。在天体物理领域他创立了星系螺旋结构的密度波理论，克服了困扰天文界数十年的“缠卷疑难”，并进而发展了星系旋臂长期维持的动力学理论。同时也推动了我国在应用数学与流体力学新领域的发展。

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