精彩点评一
学习了卢勇老师的直播课，让我收获颇多。
一、紧扣课标，从教材中寻找理论依据。
本题是一道几何相关知识的压轴题，第一问证明∠ACB=90°，第二问求线段的最值，第三问相似三角形的存在性问题。分别考查了学生对基础知识，基本定理的理解和掌握情况。同时还考查了学生对数形结合、归纳概括、分类讨论、函数与方程、函数建模等主要数学思想和方法的理解和运用能力，注重方法与思维的考查、重视一题多解、重视利用解析式与图像的关系来分析和解决问题。
围绕这些问题，卢老师在研读题目中剥茧抽丝，从教材中寻找理论依据，层层深入的研究，让我们感受到解题的水到渠成，让我们对用活教材，用好教材有了更深刻的认识，那就是注重算理，注重理论依据，让问题的解答有章可循，让学生学习数学知其然并知其所以然。
二、夯实基础，从概念教学中寻找契合点。
在本次研题中，卢老师对概念教学研究的非常深入，概念的字里行间有怎样的逻辑关系？怎样有效开展概念教学？对比概念怎样分析等等。卢老师采用课堂实录的方式，让我们观课，其准备充分，提问有效，对学生掌握数学概念很有帮助，也让学生领悟到，要想数学学得好，会解题的关键，而能够解题的关键是对概念是否掌握透彻，是否能够举一反三，只有将基础夯实，任何难题都能够寻到蛛丝马迹，层层攻克，这也让我再次反思自己的教学，是否讲起精髓，是否引导学生知一点而同一片？
三、来源生活，从实践中拓宽视野，尝试解题。
函数作为一个抽象性的概念，需要学生有良好的数形结合的素养，卢老师在突破这个瓶颈时，让学生动手参与确定弹簧的全长与所挂砝码重量之间的关系式实验研究，这样的教学方式，极大地激发了学生的兴趣，更能够让学生感受到两个变量之间的关系，从数与形两个方面直观的认识。反思我的教学，常常抱怨孩子们数形结合的素养太差，简单的函数问题怎么就想不明白，其实根本原因在于概念教学中孩子们缺乏亲身体验，导致学习吃力。
卢老师的直播课，让我学习到更多的解题方式，也让我对课堂教学，对学生引导，对教材研究有了再次的反思。
精彩点评二
认真学习了卢勇老师的研题直播，深受启发，反思我个人的习题课和函数知识教学，对教材的研读和知识脉络的整体把握很不够。
本题是一道函数与几何内容的综合题，入口宽，解法多，能充分体现基本图形和基础知识的紧密联系，卢勇老师在研题时注重挖掘问题和已知条件的联系，解决问题的切口在哪儿？怎么想？然后才是怎么做。第一问证直角，方法较多，首先是函数解析式已知，所以可以求点的坐标转化为线段长，利用勾股定理的逆定理突破，个人的理解是勾股定理（逆定理）巧妙的转化了三角形三边的数量关系与位置关系；当然基于坐标轴本是垂直关系，完全可以用三角函数去转化，即在Rt三角形中等角的三角函数值是相等的（反之亦然），以上两种可以勉强的归纳为几何方法，但在函数题中，证明两条直线垂直当然也可以用斜率用突破。第二问求两条线段和的最值，涉及到最值，敏感的学生可能会想到用函数去打开，这样就易想到设点，将线段长转化为坐标的关系，然后去讨论二次函数的最值；卢勇老师还发现此时EF和FB的倍数关系，这样可以将EF倍长，将DE+FB移到一条直线上去，数形结合的思路就凸显出来，精彩。第三问要让图形相似，要把握对应关系，这样必然是体现分情况讨论的数学思想，其中一个三角形为特殊的等腰三角形，那么与之相似的三角形也必为等腰三角形，因此转化线段相等的问题，这种方法易想到，但正如卢老师所说，计算量太大，所以之后可进一步用数形结合的思路去突破。
在教学反思部分，卢老师用大量的教学实例佐证了函数教学的重要性，要亲近教材感受本质，注重数学思想（如数形结合思想）的渗透，例证丰富，让人印象深刻，启发深刻，让我学习到更多的解题方式。
精彩点评三
认真观看了卢老师的研题视频，感触颇深，收获很大。卢老师是一个有思想、有自己见地的老师，是一个有创新精神的教师。
卢老师的研题，从探究解法到反思，处处可见对学生的理解、对教材的理解、对数学的理解。我这里仅仅选择两个细节谈谈我的想法：
一、深刻理解教材、重视课本研究方法的学习及运用
第二问求最值的几何方法的讲授，我们看到卢老师深刻领悟了我们容易忽视的一个问题：平移、对称图形变换方法的运用。在书本中“将军饮马问题”及“桥址选择”两个问题的学习中，很多时候我们在教学设计中重点仅仅放在了作对称、平移是为了方便运用“两点之间线段最短”来解决问题；这里，还有一个重点是我们容易忽视的，轴对称、平移是得到全等图形的重要方法。平移、对称相关知识的考查很多时候处于一种被动的状态，题目中提到平移、对称，我们就会灵活运用其性质解题，我们自己没有将其作为工具掌控在自己手中，遇到课本一模一样的问题才考虑作轴对称、平移，我们在作业设计时欠缺了对探究知识过程中方法的灵活运用题型的设计，仅仅将很多研究方法固定在某种特定状态，这使研究问题的方法失去了生命力。
二、重视数学思想的教学，充分运用大单元教学设计---贯穿整个初中数学教学
反思中卢老师的“数形结合思想”有关培养的教学设计，看是从定义、定理、习题的研究上来逐渐提高，但是从内容上来看，从七年级到九年级，贯穿整个初中阶段，逐渐渗透，而且如何渗透，具体、可操作性强，可见平时教学“处处铺垫”、“精心设计”，“用心良苦”。“世上本没有路，走的人多了，便成了路”、“众口铄金、积毁销骨”这样的语言，虽然意义不尽一样，但是都有一个相通之处：量变到质变。顿悟是需要知识的渗透及积累的。很多时候我们将“数形结合”思想方法的运用放在了二次函数知识的综合运用中，忽视了前期的渗透，对于学生来说，无疑是在爬“悬崖峭壁”，自然很吃力。
今天有幸学习了卢老师的研题，深感卢老师将深度反思、深度教学做到了一定的高度。所以也萌发了交流的欲望。
这里有一点小小的交流的想法：卢老师反思中提到了第三问三角函数的运用，是否可以将其用到极致，就用tan∠DCE=2，转化为角的存在性问题（以已知点B为直角顶点构造直角三角形CBM,BM交CD于点M,求出点M的坐标，进而用交轨法求出点D坐标）。
精彩点评四
2021年泸州这道题，给自己班的学生做了一遍，在巡视过程中发现，第一问的方法非常多，当然，频率最高的是使用勾股定理逆定理，毕竟抛物线解析式已知，求各交点坐标相对容易想到，再利用坐标求线段长，得到三边。在学生完成第二问之前，多问了一句，是否还存在别的思路，就有部分学生在前面已经求得线段长度的基础上，去找相似三角形或求三角函数值，正是这部分学生，他们经过交流后发现，原来无论三角函数值或相似三角形，都指向其中∠ACO=∠ABC这个结论，即问题转化成为角相等，再加上前面勾股定理逆定理的思路，这三种方法的共同点，就是用坐标、线段长或比值去刻画角度大小，适当给予小结，对学生更深入理解这些方法的内在联系，很有帮助。
在完成第二问的时候，求线段和的最值，大方向基本是统一的，即用含参数的式子表示DE+BF，然后配方，求最值。这是从代数解析角度去求解，然而卢老师给出的从几何角度求解，的确学生们并不太容易想到。当我们看到一个班的学生，多数选择解析法而不是几何角度，其实是很值得反思的，我们平时的教学是否存在偏差？虽然都想着数形结合，给学生尽可能多的思考方向，那为何会出现这样的结果呢？对于我班上的这种现象，问题肯定出在自己身上，在给学生选题进行练习的时候，多数时候选择的题目，解答思路太窄，几乎只有解析法可用，或者在备课过程中，没有过多思考，弄出一种解法便开始匆匆上讲台了，这直接导致学生接触到了解法是单一的；另一个原因则是追求了一种无效的“高效”，把课堂容量和教学进度摆在了学生收获之前，想着赶紧把这道题讲完，还有下一道。无论是哪一种，至少说明在备课的时候，没有把学生摆在主体地位。
第三问是本题难点，看上去是相似三角形存在性，更进一步是等腰三角形存在性，再进一步是直角三角形存在性，再往“后退”变成了角的存在性，这就回归到问题的本源了。而学生在解决这一问题所遇到的第一个障碍，便是作图，这也是不少学生在后来讲解的时候，总会说“这是怎么想到的？”，一旦想到，那必然在脑中有图，最终画到稿纸上，不过是思维的可视化结果，那如何让脑中有图？这又离不开平时的思维训练和操作练习。第二个障碍，是分类，学生知道要分类，但不清楚如何分，如果不能退回到角的存在性本质，以三角形为蓝本较为复杂，直到反复尝试，最终剔除掉多余部分，达成最优解。
卢老师的教学反思是非常值得我学习的地方，函数概念教学一直是难点，难在让学生理解函数，难在让学生想到用函数解决问题，包括图形问题即数形结合。这一数学思想并不是某一节课上完，学生就形成了，而是在长达三年的课堂教学中，由浅至深逐渐形成的，这就要求我们在每一节课中科学设置问题情景，符合学生心理认知特征和教材知识体系，每道例题和习题的选取，要精心准备。例如函数图象这节课当中，自动测温仪记录的图象，教材中为什么要设置这个思考，这个思考前面的环节是什么？这个思考在本节课中的地位又是什么？还能不能有别的情景起到相同的作用？这些情景背后，对函数图象的描述有什么共通之处？诸如此类的思考，都可以继续下去。
卢老师的研题，还带给我另一个思考，我们如何选择研题中教学反思的点？虽然从理论上，反思可以是任何教学中出现的问题，但是这些太多太杂，需要进行梳理，而研压轴题，则提供了很好的方向指引，特别是在给学生完成的过程中，通过观察学生的解题过程，发现解题中的困惑，追根溯源，诊断学生知识体系中的不足，再导向自己平时的课堂教学，基本沿这条主线思考，教学反思的选择就容易多了。
教学反思，并不仅仅局限于一次研题或一次教研活动，它应该是一种教学日常，平时的思考可以基于一节课的课后感，一次批改作业的叹息，一次考试的惊喜……把这些思维点滴积累起来，汇聚起来，就是很好的素材。从卢勇老师的研题中，我深深感受到了他对平时教学的思考，从一次次易稿中，感受到了专业的成长，这都是值得我学习的地方。
个人感言
初次选择的不是这道题，因为与前面一位老师选题重合了，所以临时改选的这道题，选择这道题的理由很简单，看这道题的第一眼觉得它不复杂，于是动笔做了一下，第一遍做并没有遇到太多的阻碍，第一问求∠ACB=90°用勾股定理的逆定理证明，第二问求DE+BF的最大值转化为求二次函数的最值问题，第三问相似三角形的存在性问题，运用两边成比例及夹角相等建立等量关系，整个过程很流畅，我便开始思考这道题作为中考题在这里出现的意义和价值。
于是我开始认真的思考这道题，每思考一次都会对这道题有不一样的理解，第一问证明∠ACB=90°，入口较宽，可以从不同角度入手思考，考查了学生对于初中数学基本定理基本技能的掌握情况。
第二问已知点D是一个动点，求DE+BF的最大值，这一问用函数思想去做难度较低，且不深入思考也很难发现可以直接通过几何方法就能解出此题，所以我在脑海中检索八年级上册数学活动中“最短路径”问题中的常规方法，并尝试用转化，对称，平移的思想来解这道题，思路逐渐清晰，并最终用几何方法解出了此题，最终静下心来思考，学生为什么不能直接用几何方法来做出这道题？而且第三问中相似三角形的存在性问题，很多学生一开始不知道深挖题目中条件，先找出两个三角形中是否隐藏着相等的角或者成比例的线段，拿着题就动笔，导致分类太多，而且又因为逻辑不清晰，导致分类又很杂，最终出错，有的学生能够挖掘出题目中相等的角，但是发现运用相似三角形对应边成比例列方程，计算量又太大，导致出错，同学们种种错误的原因都说明了学生自身数学的核心素养还不行，反观教学，我们在数学教学中该如何培养学生的核心素养？于是就有了我本次的研题反思，我并没有从这道题入手，去讨论如何变形，如何拓展，而是回归课堂，我们该如何教学？当然很多思考都只是个人的意见，还不是很成熟，还希望各位专家多多批评指正。
古有十年寒窗而扬天下，今有30余载研题，将是如何？最终的展示待改进的地方仍然很多，但是一路走来虽然步步艰辛，但也收获满满，在此感谢张博士提供的这个平台，让我能有机会和群里的各位大咖相互讨论和交流。一次研题只是开端，以后每次教学，无论哪个环节，研题的影响都会长远存在，愿与各位同事一起继续研题继续成长。
卢勇老师简介
卢勇，宜都创新实验学校数学老师，从教十余年，一直以最大的热情投身于教育事业中，在教育教学中严谨执教，钻研教材，先后荣获宜都市数学优质课竞赛特等奖，优秀班主任，优秀教师等荣誉称号！
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