扭结理论历史上有一个有趣的反例：

有将近100年间，人们认为以上两个是不同的扭结，但它们其实是相同的！

首先，数学中的扭结都是首尾相接的。

1900年，美国的查尔斯·牛顿·利特（Charles Newton Little，1858–1923）在对扭结编制图表时，曾经认为以下结论是一个“定理”：

两个最简(reduced)扭结，如果有不同的“绞拧数”（Writh），则必然是不同的扭结。

“绞拧数”是一个扭结不变量，它的计算方式如下。把一个扭结定向，然后观察每个交叉点的交叉方式：

左侧的方式为记作“正交叉”，右侧的方式记作“负交叉”。可以使用“右手原则”记忆以上计算方式：

用右手四值指向从上方穿越交叉点的箭头方向，然后让四指转向从下方穿过箭头的方向。此时，如果大拇指指向自己，则这个交叉为“正”；如果大拇指背向自己，则这个交叉点为“负“。

正交叉数减去负交叉数，即为该扭结的“绞拧数”。对扭结来说，两种定向方式，交叉点的正负性不变，因此定向方式不会影响”绞拧数“。

以下是一些扭结的交叉点正负性和绞拧数(w)：

”最简扭结“就是把一个扭结进行简化，使得其交叉点数变为最少。当某扭结化为最简扭结时，其交叉点数就是它的一个特征量。交叉点数不同的扭结肯定是不同的扭结。但交叉点相同的扭结，不一定能互相转化。

一开始的扭结理论研究者，在编制扭结列表时，自然得根据交叉点数，从小到大编制列表。这张表的开头部分是这样的：

早期的表格编制者发现，具有不同”绞拧数“的扭结，总是不同的扭结。因此，人们认为“绞拧数”是一个区分扭结得很不错的不变量。直到1970年，一位纽约的律师Kenneth Perko，同时也是业余扭结理论爱好者，发现了如下两个具有10个交叉点的扭结：

它们具有不同的绞拧数，但是它们却是可以互相转化的！

关于绞拧数，我做了两张图并计算验证了一下：

上图的扭结的10个交叉点全为“负”，绞拧数为-10。

这个转化如此难以发现，以至于著名数学家,也是扭结理论专家的约翰·霍顿·康威（John Horton Conway，1937年12月26日－2020年4月11日），在1960年代早期编制的扭结列表中，仍误认为以上两个扭结是不同的扭结。

现在以上两个扭结被称为“Perko Pair”，Perko转换这两个扭结的一个关键操作，被称为Perko操作（Perko move）：

个人感想：

在扭结理论中，希望一个好的不变量有以下两个特性：

  1. 对拓扑等价的扭结，总是给出同样的不变量值。

  2. 对拓扑不等价的扭结，总是给出不同的不变量值。

一般来说第一条比较容易满足，而很多不变量只能满足第一条，而不满足第二条。而“绞拧数”作为不变量，竟然第一条都不满足，第二条却满足得不错，这实在是意外！