精彩点评一
谭明文老师研究的2022年江苏省扬州市中考数学第28题，是一道以特殊直角三角形为基本图形，融合等腰三角形、三角形全等和相似等核心知识，渗透几何直观、逻辑推理等核心素养的一道几何综合题。
该题图形简洁，题干表述精炼，从学生熟悉的图形出发，第一问要求探索动点在不同位置时两条线段之间的数量关系，题目给出了一种情况下的图形，旨在引导学生在探索另一位置情形时也能够首先动手画图，经历画图、观察、猜想、证明等过程，完成对问题的探究。第二问，聚焦动点D的运动，第一小问研究确定数量关系下线段的长度问题，第二小问则化静为动，探索整个运动过程中，目标线段的最值问题。该题考查知识点丰富，切入口较多，设问方式友好，层层递进，有效引导学生开展思维活动。
谭老师的研题细致，从他的讲解中，我体会到谭老师在日常教学中的“三个注重”：
一是注重题目条件的分析拆解。在解题教学过程中，老师听过的最多的问题可能便是“为什么我没想到？”的确，为什么老师可以轻松想到？我想一方面是老师教学及解题两个方面经验的积累带来的“轻松”，另一方便是老师更娴熟的掌握了分析题目条件的方法。在谭老师的研题中，可以感受到他在教学中一定是对如何将这种“娴熟”教会给学生有过深入研究的。例如在第一问的分析过程中，谭老师一方面从题目条件出发顺向思考，抓特征条件、联想特征模型；另一方面从结论出发逆向思考，先画图再猜想，借助两倍这一特殊的数量关系进行联想，从而搭建了依托截长补短构造倍分线段的思维框架，继而展开形成了多种解法。
二是注重学生画图意识和能力的培养。将文字语言转化为图形语言是几何研究中一道难关，学生通过画图能够将抽象的语言形象化，能够借助几何直观发现特征、找到思考问题的方向等，因而在教学中需要着重培养该能力。谭老师在研题过程中也高度关注这一点，例如在第一问中对于每一种解法的梳理都是从画图出发，尤其是在逆向思考过程中，更是借助图形进行合理猜想，借助特征构造常见模型等。个人认为在第二问第一小问的探究过程中，学生可能会由第一问的解答带来一定的思维惯性，即会进行分类讨论点E在AB延长线上和线段AB上两种情况。而既然是培养学生的画图意识和能力，不如就让学生先画出两种情况对应的图形，然后分析两种情况下是否都满足DE:AD=√3:2的条件，这时学生会发现，当点E在AB延长线上时，∠AED＜45°，故AD＜DE，与已知相矛盾，从而判断此种情况不存在，故只需讨论E在线段AB上这一种情况。
三是注重学生思维误区的归因纠偏。例如在本题最后一小问的探究过程中，谭老师讲到以学生思维容易出现的思维误区是受第一小问运用代数运算求解AE长度的影响，第二小问易从函数思想出发，希望通过建立线段AE长关于某个自变量的函数解析式，借助求函数最值的方法来求AE最小值。但细细分析不难发现，表示AE长度的式子复杂，很难研究它的最值。此时谭老师的纠偏方法非常精彩，即代数方法难以解决时，不妨从几何的角度加以思考，联想几何中关于“最小值”的知识，如“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等，从而打开思路，找到突破口。这既是转化思想的体现，更是数形结合思想的完美演绎。学生思路走偏是常见的现象，遇到这种情况作为教师不要粗鲁打断或者强行灌输正确的思路，而是应该站在学生的立场，体会学生思路走偏的原因，合理引导他们走向正轨，并让学生在一次次纠偏体验中逐步形成自我纠偏的意识和能力。
精彩点评二
感谢谭老师带来的2022年江苏省扬州市中考数学第2 8题精彩分享，本题是一道几何综合题，考查三角形的概念，三角形的基本性质，三角形全等、相似，特殊三角形，三角函数，垂线段最短等，涉及的知识点比较多，综合性比较强。谭老师从解题思路、解题方法、教学启示、解法反思等方面，对这道复杂几何压轴题进行了剖析，对教材的深入解读也促进我们对以后教学的思考。
在解第一小题的过程中，谭老师注重常规常法，在立足学生学情的基础上，对题目进行细致剖析，从读题画图入手，引导学生正向思考，根据已知条件梳理信息，由角到边，挖掘题目已知条件，划归为已学的数学知识和经验来分析和解决问题；同时，也可以先通过作图对边的关系进行合理猜想，再寻找或创造条件进行验证，以上两种思维方式符合学生的认知，有效地培养学生的动手画图、观察、推理能力，提高学生的几何直观、逻辑推理学科素养。
谭老师引导学生通过分析、比较、综合、抽象、概括等逻辑思维方法,把握事物的本质和规律,从而掌握概念，重视知识的生成过程。对于一题多解，我们需要重视的是解题思路及相应思想方法，培养学生的正向思维；或根据题目所需解决的问题，找所需要的条件，引导学生进行合理的猜想，后进行验证或证明，培养学生的逆向思维。
第二小题的第一问求线段长，运用方程思想，将几何问题代数化，利用图形特征，巧用公式概念建构数量关系，合理设元求出未知量。第二小题第二问求运动过程中线段的最小值，谭老师引导学生根据题意作图，在作图的过程中，引导学生观察注意特殊情况，如高线、中线、角分线等。如果在作图过程中不能直接确定动线段的长度最值，就要引导学生将动线段最小值问题划归为“线段最短”或“垂线段最短”问题，从而得到解题思路。
谭老师在教学过程中重视基本知识和基本技能，着重学生画图能力的培养，第一小题的两问要求学生在画出图形的基础上进行研究解答，要画出这些图形，对学生的能力有一定要求，因此在平时要练习作图。第二小题第二问求运动中线段AE的最短距离，通过思考变形，谭老师将求线段AE长度最小值问题，转化为求斜边上中线DF长度最小值问题，接着中线DF最小值转化为“垂线段最短”问题，启发学生寻找解题方法。
谭老师的研题立足于学生基本学情，引导学生发散思维，拓宽解题思路，将解题方法渗入到平时的学习中，感谢谭老师精彩的讲解！感谢张钦博士为我们搭建的学习平台！
精彩点评三
认真学习了谭老师的研题，收获颇多。本题是一道几何综合题，图形简洁、题干精炼，但涉及到的知识范围广，综合性强，谭老师结合题设条件展开理性推理，合理建立知识之间的逻辑关系，从而找到解题的出口，为我们做了非常好的示范。谭老师的讲解有以下三个方面值得我学习：
一、注重知识点的联想，解法自然生成
本题用一个含有30°的特殊直角三角形和一个一般的直角三角形组合，通过改变一般直角三角形直角顶点D的位置，考查学生对三角形的性质、三角形的相似全等以及三角函数等知识点的应用能力，考查学生的几何直观、作图能力、逻辑推理等学科素养。谭老师在讲解的时候用的最多的词语是“联想到”，从已知条件“BE=BD”入手可以联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；从结论猜想入手，可以联想到三角形的中位线，可以联想到构造“8字”全等基本图形等，这一次次的联想就有一种种解题方法的诞生，体现出了思维的自然和顺畅，让教学时“怎样让学生想到”的问题迎刃而解。
二、注重几何直观，培养作图能力
本题还有一大亮点就是考查学生的作图能力和抽象、推理的学科素养。图，就是几何直观，学生只有看到准确的图形，才能展开观察、猜想，才能进行进一步的思考和推理。谭老师再说本题的研题中，特别注重作图能力。第一问的第2小问中，通过读题、审题画图；在第二问的第1小问中，怎样确定点E在线段AB上？为什么不在AB的延长线上？实际上这是由不确定的图形，通过分析画出确定的图形，当DE:AD=√3:2时，即tan∠AED=√3/2，而tan30°=√3/3，√3/2>√3/3，所以∠AED>30°，点E在线段AD上。第二问的第2小问中，再加深一级，从动态的图中寻找AE长度最小时的静态图，谭老师从函数和几何两个方面分析，最后确定从几何方向解决问题，通过D点的运动画出众多的图形，再从几何直观上观察出AE的最小值时，点D所在的特殊位置，从而画出图形。在谭老师的教学反思中提到，我们要想培养学生的作图能力，从七年级学生接触几何知识开始，通过用尺规作图、格点作图，让学生多动手，多思考，培养图形感知能力，提高作图技能。
三、视角站位高，深度学习
在研题中，谭老师从命题视角进行分析，对学生做题遇到的难点进行变式，对利用垂线段最短求最小值进行改编，也让我感受到老师的高站位更有利于学生的数学学科素养提升，更能感受作为一名数学人的学无止境，研有方向。
“数学思维素养的培育”是数学教学的终极目标，通过谭老师的讲解，我也进行了反思。希望自己在今后的课堂教学中，想多一点，想深一点，想透一点，想异一点，让课堂思维内涵丰富，灵动高效。感谢谭老师的精彩讲解，感谢张博士提供的学习、交流的平台。
精彩点评四
认真学习了谭老师对2022年江苏省扬州市中考数学第28题的解题研究，收获很大，谭老师对数学核心素养的把握、对解题方法的教学都展现了很高的水准。
这道题以含30°的直角三角形和顶点在斜边的直角组合的图形为背景，将等腰三角形、直角三角形，全等三角形、相似三角形等知识综合应用，既考察几何直观、逻辑推理，还需要方程思想、化归思想的灵活应用的几何综合题。题目设计了二个问题，每个问题设计了二个小问。问题富有层次性和探究性。
从谭老师的讲解中，以下几点值得我学习并借鉴：
1.从基本尺规作图开始重视，培养学生的几何直观。本题只提供了第一问的第1小问的图。本题要正确解答，需要学生的作图能力和抽象、推理的学科素养。推理之前学生要看到准确的图形，才能展开观察、猜想，才能进行进一步的思考和推理。谭老师在本题的研题中，也特别注重作图能力。怎样读题，怎样分析确定点的位置，画出图形，谭老师都做了详尽的分析。现在的学生在物质条件丰富的情况下，动手操作能力有所下降。几何需要良好的图形感知能力和空间感，作图训练是一个很好的途径，通过尺规作图、格点作图，让学生感知图形变化和相互关联，对分析、探究几何问题必不可少。在教学中要更加重视。
2.正向思考与逆向思考并重。第一问中2个小问结合教材:线段的中点，三角形的中位线，直角三角形斜边中线性质，30°的直角三角形的性质等，再结合题目条件生成一题多解、多角度思考问题，培养和训练学生思维。同时结合图形进行猜想、探究、论证；引导学生不断尝试，体会数学中的思想方法，形成有效的思维能力，为学生以后解决各类问题形成较为完整的逻辑体系和思维体系。
3．动态问题转换的手法高明。本题第二问的第2小问，我尝试了几种方法，设元计算、函数转换等都不能用初中阶段的知识直接得出。谭老师结合运动的直角△ADE构造圆，再研究动圆的最小半径，研究最小半径时联系初中几何的二个 “最短”（两点之间，线段最短和垂线段最短）来进行研究。达到在现有知识情况下踮起脚摘到果子的效果。
我们在双减形式下，每一次教学要更有效，就是要让数学的核心素养渗透更充分。谭老师的研讨让我收获颇多，每一次研题活动，是对自己的一次警醒，让我们不懈怠。感谢研题平台，助力我们终生学习。
个人感言
平实中的精巧
2022年江苏省扬州市中考数学第28题，以含30°的直角三角形和顶点在斜边的直角组合的图形为背景，设计了随动点D的位置变化，另一动点E到定点A、B的距离随之变化的三角形的几何综合题。
初看，这是是一道以特殊直角三角形为基本图形，融合三角形、等腰三角形、直角三角形、三角形全等和相似、三角函数等核心知识，渗透抽象意识、空间观念、几何直观、逻辑推理、模型思想等核心素养的一道几何综合题。第一题，探究动点E到两定点A、B距离的倍分关系；第二题，给出在AB=6条件下，第一问：当DE:AD=√3:2时，求AE的长；第二问：直接写出运动过程中线段 AE长度的最小值。作为中考压轴题，给人感觉平实。
细看，这道几何综合题设计精巧。表现在两方面:
1.尺规作图非常自然衔接其中，非常明确要求学生具备读题画图的能力，既发挥中考命题的导向作用，又就评价了学生尺规作图原理和方法的理解，要求学生能从数学几何语言经过抽象和推理转化为几何图形，检测了学生数学基本功。
2、本题设计围绕一条主线，遵循科学性、层次性、创造性原则设计4个问题，遵循教学规律，颇为精巧。这条主线：直角∠ADE的顶点D过程中形成了∠AED。当∠AED从无穷小（无限接近0°）逐渐增大到60°止，线段AE的长度从无穷大逐渐变小到4个单位长度止。实际上，就是在Rt∆AED中，探究ctg∠AED随∠AED的变化而变化情况。在这个变化过程中，首先探究特殊情况：①当∠AED=15°时，即“点E在线段AB的延长线上且BE=BD”。②当∠AED=60°时，即“点 E在线段AB上且 EB=ED”。推理得到AE=2BE。接着探究一般情况：当ctg∠AED=DE:AD=√3:2时，推理得到AE=21/5。最后探究特殊情况线段AE长度最小值。其实就是∠AED=60°时，线段AE长度有最小值。此题设计，在平实中蕴含着精巧！
解答此题的过程，也能与之呼应：平实中的精巧。
在解答第一题时，应用常规常法解决问题，给人感觉平实。在解答第二题时，第一问，虽用常规常法，但所学三角形相关知识（特别是相似三角形）要“精”；第二问：直接写出运动过程中线段 AE长度的最小值，把线段最小值问题划归为垂线段最短问题体现“巧”。
我个人认为：不管是数学题的设计，还是解答数学题，都是对数学概念深度理解和应用。因此在教学中要重视概念课的教学。紧扣教材和《数学课程标准》，通过数学概念这个载体，培养和提高数学核心素养，让学生成长为有灵魂和思想的人。
在这里，感谢张博士为我们提供的学习交流的平台，同时也要感谢张博士的鼓励，让我树立了信心。感谢黄毅老师给予的指导，让我对数学规律语言表述严谨，体悟了几何图形动态演示的直观形象促进空间观念形成的实效性，也点醒我重视几何画板等画图软件在教学中应用。还要感谢苏畅老师、肖璐露老师、刘金娥老师、曹荣老师的点评，让我对本题和教学又有了新的认识和感悟。最后还要感谢秭归县教研室数学教研员何训光主任和秭归县磨坪中学颜德才、郭道虎等数学组老师，正是有了他们的帮助，才有这次完整的研题。
作为一名农村初中数学老师，深感自身不足，渴望得到这样的学习机会，必将珍惜此次学习，提升数学教学素养，把所学应用到实际教学中，让农村的孩子也能享受此次多位老师研题的果实，促进他们数学核心素养的培养和提升。
谭明文老师简介
谭明文，秭归县磨坪中学数学老师。本是初中语文老师，后因需要成了一名初中数学老师。二十多年来始终在磨坪教学工作第一线，教语文（5年）、数学（21年）及多年班主任工作，像高山柳一样扎根山区，爱岗敬业、无私奉献，用良心教书育人，得到学校、学生家长及社会的认可和好评。先后获得秭归县优秀少先队辅导员、秭归县优秀教师、秭归县优秀班主任等。在这日新月异的时代，深知自身的不足和学习的重要，一直践行:学习，学习，再学习。
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