数论问题研究探讨004
我对数学是很谨慎的，不敢轻易的说会什么，要研究什么。当发现一个问题有价值后，即兴奋，又紧张，还恐怖。为什么？因为感觉到一个数学问题有研究的价值，就像自己预感可以挖到宝藏一样，所以才兴奋。但是为何又恐怖呢？因为我知道一旦陷入数学思考，你会日夜兼程的思考这个问题，甚至做梦都是这个问题，你很难从思考这个问题中摆脱出来。就是这样几天、几个星期、几个月都有可能会一无所获。
一些理论问题的研究可不是我们中学、大学的思维方式。中学和大学很大一部就是做习题，就是应付考试，而日常工作和业余爱好研究问题就不一样。就像是爬雪山，确定脚下的每一步都是扎实的，都是可靠的，才能迈出第二步。否则到了一定的高度，地基不稳就会摔下去。研究问题就是这样，必须基础扎实，大方向正确。如果大方向就错了，你越努力越背道而驰，不但不能成功，反而会滑向深渊。
我研究数学问题就是这样，一旦感到有“发现的价值”后，总是小心的求证，感觉不行就毫不犹豫的撤出，避免陷入泥潭。这篇文章就是这样，开始感觉有价值，“是不是可以用《自然数原理》的方法解决‘代数无理数的一些问题’？ 研究中很快感到太复杂了，不要再深入研究了，自己没有那个精力和时间，于是就不继续思考了。”而把自己一些简单的感受写下来，作为总结。
这个问题的参考书籍是《哈代数论》第六版，第4章 无理数。看下图
证明根号下2是无理数，本质就是方程 a² = 2b² 有没有整数解的问题。从这个问题推广到了定理 44。
地理44 m√N 是无理数，除非N是一个整数n的m次幂。
a∧m = Nb∧m，
其中，（a,b）= 1 .
我们先看是如何证明√2 是无理数的，方法有两个。
第一种方法。
必须理解“有理数都可以用分数来表示”意思是说，分数和无限循环小数都是有理数。
即，有理数N可以用分数来表示，a/b 。
如何理解2、3、5、7……这些素数如何写成分数？
只有7/1，14/2 , 21/3……
这个必须理解。还要知道
（a,b）= 1 是什么意思？最大公约数是 1 ，就是（5、7）=1等。
数论上叫互素，a⊥b 。
还有一个符号要明白，∣。比如，a ∣b就是a 是的一个因子。或者说b可以被a整除。这些基本的概念、符号都清楚了，我们才能进行数学的逻辑思维。
开始证明如下：
√2= a/b a,b都是整数
a² =2b² 若 √2 是有理数，方程必有解 （a,b）。
因，（a,b）= 1 则 b∣a² ， 素因子p∣a² 从而 有p∣a。这显然与前提矛盾。
有，b不可能是1（是1方程不成立） ，所以√2 是无理数。
书上有第二种方法，是教科书中常用的，很简单我就不写了。
问题是定理44
m√N 是无理数，除非N是一个整数n的m次幂。
a∧m = Nb∧m，
其中，（a,b）= 1 .
《哈代数论》中是固定m而探讨N取不同的数值研究证明代数无理数的问题，出现了一些“等差数列”数。这个给了我启发，我想如果把N固定，而研究m取不同的值会如何？结果更复杂，我感觉没必要研究了。
比如，N=2 m=1、2、3……
使用 数列组 Kn+a 就是2n+1 、2n+2 。
这两个数列为一组代表了全部自然数，那么2n+2就是2和它的全部合数，而与2n+1无关。
2、4、6、8…… 这里面除了2的平方数、立方数等等以外为有理数，其它数都是无理数。
这样推下去，N=3、4、5、、6、7…… 这里面的偶数和合数可以不考虑，就是用那些素数等差数列组就行了。
比如，2、3、5、7、11、13、17、19……
这种方法局部使用还可以，作为理论研究就太复杂了，而数列组有无限多。但是似乎可以是一个定理：
空间K数列组里面的KN+K数列，有理数√N是一个整数n的m次幂。这个不需要证明，直接可以看出来，就是公理。
一看不行，我赶紧“打住”，不再研究了！
研究数学有点冒险，是一个很坑爹的东西！弄不好就会被它陷进去，无法自拔。
不是不是能研究，要看自己的实力和时间是否允许？
2024年1月6日星期六
热门跟贴