大家好，我是船长。

我们习惯用自然数丈量世界，却鲜少追问：为何“1、2、3…”既能描述苹果的数量，又能推导出质数分布的规律？让我们重新审视一个始于古希腊的认知框架——自然数，其具有贯通经验真实与数学真实的双重结构。

金观涛老师通过思想史溯源阐明：自然数是首个自洽的双重结构符号系统。皮亚诺公理体系构建了纯数学的逻辑骨架，而“三个苹果”的经验结构则赋予其现实锚点。两种结构的重合，使数学推理得以穿透经验世界。但这一优势在空间测量中遭遇挑战：古希腊人证明，正方形对角线与边长的比值无法表达为整数比，该发现摧毁了“一切皆可度量”的直觉，却意外催生出科学真实的奠基范式。

欧几里得几何学将作图动作抽象为公理，使定理证明对应于受控实验的符号化组织过程。逻辑推导的本质，是实验可重复性在符号结构中的传递。当公理表征的测量操作被验证为普遍有效，定理的真实性便由符号逻辑与经验结构共同担保——几何学由此成为第一块“拱顶石”，在经验真实与数学真实间建立稳定联结。

自然数静默承载着理性文明的基因符码，几何公理蓦然链接着抽象的数学世界与我们身处的经验世界。重溯这座被现代哲学淡忘的认知桥梁，能帮助我们在虚实交融的时代，重新校准“真实”的尺度。

图：《最后的晚餐》

第一次数学危机的启示

文/金观涛

在数“数”的背后：自然数的双重结构

在《消失的真实》一书中，我就指出现代科学理论就是横跨数学真实和经验真实的拱桥。为了剖析这座拱桥的结构，我首先要指出，从真实性本身的扩展来讲，科学（经验）真实和数学（符号）真实的展开都只能依靠自身的真实性结构。如前所述，纯粹数学围绕提出定义（命题）、公理化、定理的推导和证明猜想展开，其发展必须基于数学真实自身的“逻辑”；科学（经验）真实通过普遍可重复的受控实验确立，其扩展依赖受控实验的自我迭代和组织。

虽然科学（经验）真实和数学真实各自都可以独自发展，但在欧几里得《几何原本》出现之前，数学真实从来没有根据自身的真实性结构顺利地拓展过；同样，现代科学理论尚未形成之时，科学（经验）真实的进展亦是缓慢的，其发现也没有通过受控实验自我迭代和组织呈不断加速的趋势。这时，数学真实和科学（经验）真实的展开大多出于偶然事件。虽然技术与受控实验之间的关系十分密切，但技术的进步所依靠的受控过程之迭代和组织也不是经常发生的。这一切导致传统社会科学和技术发展的缓慢。

科学技术史和数学史都表明，古希腊哲人发现几何学是数学真实和科学（经验）真实在互动中扩张的第一步。随着欧几里得《几何原本》建立了从公理导出所有（几何学）定理的公理化思维模式，几何学就成为横跨数学真实和科学（经验）真实拱桥的第一块拱顶石。从此以后，通过对欧几里得《几何原本》的模仿，在各个领域把科学（经验）真实和数学真实互相联系起来的架桥工程开始了。

17世纪之后，《几何原本》的公理化结构通过数理天文学进入力学，形成了第二块拱顶石，那就是以牛顿命名的经典力学。以实数为符号系统的现代力学理论形成之后，数学真实和科学（经验）真实的扩张开始呈加速发展趋势。我们看到新拱顶石的不断出现与互相整合，其后果是横跨科学（经验）真实和数学真实的拱桥越来越宽。在《消失的真实》中，我已简述过现代科学形成的历史。现在必须从新的视角，再一次检讨这一过程。我先分析拱桥的第一块拱顶石是如何发现的，然后叙述一块块拱顶石如何互相整合，最后形成现代科学理论神奇的整体结构。

图：0-3 符号真实性和经验真实性之间的拱桥

几何学源于经验测量。空间测量是人类最早掌握的受控实验之一，但是在古希腊人发现几何公理之前，它从来没有和数学真实建立真正的联系。横跨科学（经验）真实和数学真实拱桥的最初形态是几何学，其出现是一件令人惊异的事情。几何学一方面联系经验世界，另一方面立足于数学世界（具有真实性结构的纯符号系统）。

数学真实的运行可以通过原始拱桥传递到经验真实，帮助其扩张。经验真实对数学真实的推动亦如此，而传递这种推动力的正是拱顶石。因此分析古希腊几何学出现的各种前提，就成为研究建立横跨符号真实和经验真实拱桥的拱顶石的最佳案例。如前所述，横跨经验真实和符号真实之拱桥必须是具有双重结构的符号系统。不可思议的是，这样的符号系统自从人类学会数“数”以来就已经存在，那就是自然数。

至今我们仍不知道自然数是如何起源的，但只要会用自然数进行各种计算，第一个具有双重结构的符号系统已经摆在人类面前了！我在“皮亚诺公理和科学真实的结构”一节指出，自然数可以视为一个和经验无关的纯符号系统，因为它具有皮亚诺—戴德金公理给出的结构。该结构最大的问题是很难用于数学计算。让我们试想在该纯符号系统中做加、减、乘、除等运算，其过程如下：先在符号系统中定义什么是加、减、乘、除等运算。就纯符号系统本身而言，任何一种运算实为从集合中任意两个元素找到其他一个元素的映射，该映射必须满足一组法则。

用这一组法则来做加、减、乘、除等运算不仅复杂而困难，而且要让这些法则对集合内所有元素有效，自然数集必须进一步拓展。学过初等数学就知道，只有扩大到复数集合，加、减、乘、除等计算才对其所有元素都是有效的。换言之，当自然数作为一个非经验的纯符号系统时，它很难用于进行计算。

表： 早期记数系统

为了计算，必须从另一个角度定义自然数。该定义人人皆知。先定义什么是1，它既是计数的单位，又是起始元素。然后把两个1定义为 2，2是1的后继元素，接着把三个1称为3，3是2的后继元素，如此等等……该定义实际上是把自然数视为其序号等同于大小之集合。请注意，给出计数单位必须立足于经验（计数的单位），对后继元素的定义也离不开经验（计数的单位），故这是自然数的经验定义。

我后面将证明，用经验定义符号（即符号系统符合经验），实际上是用符号关系表达经验对象的结构。比如2是两个1，3是继2之后用单位数目数三次，这些都是数“数”的经验（结构）的符号表达。一旦理解了自然数的经验结构，我们就有一个惊人的发现：在自然数定义中符号系统的经验结构和其作为纯符号之真实性结构完全重合！

图：皮亚诺公理

简而言之，实际上，作为数学起点的自然数本身就具有双重结构：一重结构是皮亚诺—戴德金公理，它具有纯符号的真实性；另一重是和经验对象的结构相同的符号结构，“数”的大小代表数“数”经验的结构。在《消失的真实》和本书“经验的真实性和逻辑的真实性”一节，我指出可以用符号之间一一对应来数“数”，这种表达集合大小的方法是非经验的，而先规定数“数”单位，用单位的倍数表达经验对象的大小，这种数“数”方法是经验的，得到的符号系统的结构是经验对象之间的关系。

“自然数为真”不仅表明其为普遍可重复受控实验之符号结构，还在于它表达了数“数”的经验结构。它是第一个将经验世界和数学世界加以整合的具有双重结构的符号系统！为什么自然数有如此神奇的结构？我们不知道。然而，正因为自然数的双重结构，由自然数纯符号的真实性（自然数的公理）推出的定理在经验上一定是正确的。数论研究的不断拓展就是符号真实和经验真实互相促进的结果。

既然自然数是第一个具有双重结构的符号系统，它为什么不能成为科学真实中横跨符号和经验拱桥最早的拱顶石呢？因为数“数”所表达的经验似乎不是受控实验。下面我将证明：受控实验的基本结构可以包含在自然数中，但发现这一点极为困难。直至把自然数和线段（角度等）测量结果等同，才可能用自然数结构表达受控实验。

理由很清楚，空间测量是最基本的普遍可重复的受控实验，如果我们能用自然数代表测量结果，自然数就能将自己的经验定义给予测量，自然数的双重结构立即转移到空间测量这一类独特的受控实验之符号表达中。

空间测量一旦成为具有双重结构的符号系统，科学真实中受控实验和数学之间的拱桥就有了第一块拱顶石，经验真实和符号真实在互动中的扩张就可以开始了。奇怪的是，每一个文明都知道空间测量可以用自然数来表达，但只有古希腊文明才孕育出了欧几里得公理系统。这又是为什么呢？

关键在于，我们在直觉上感受到每一条线段都有一确定的测量值（两个自然数之比），但这个直觉是错的。只有先认识建立自然数之比和测量结果不可能一一对应，即发现存在着不可测量（比）的线段，我们才能找到第一块拱顶石。在所有轴心文明中，只有古希腊文明发现了不可测量（比）线段 的存在。

图：牛河梁三重圆祭坛（中）直径比例接近根号二

“哲学之死”及其回光返照

测量是求两条线段的比例，如果以a线段作为尺，用它来测量另一个线段b，得到比例是b/a，它的意义是b和多少个a重合。当不能重合时，把a分为n等份，用a/n作为尺来数不重合的部分。通常认为当n相当大时，用其来数b是多少个a/n总是可能的。所谓测量结果，是指b/a=m/n。这里，n和m是自然数。换言之，测量作为求两条线段a和b的比例，就是去寻找相应的n和m，一旦找到，就建立了测量过程和自然数集的对应关系。这也是用数“数”经验定义了线段的长度。为了分析上述对应是否可能，我们必须对测量过程做出更为细致的描述。

事实上，用数“数”经验结构定义线段的长度，其前提是它可以用数“数”来测量。所谓用自然数来测量是指用如下受控过程（实验）来比较两条已经给出的线段。先将任何一条（可控过程规定的）线段分为n等份，用该线段的1/n作为单位长度（即尺）来数自己和另一个（可控过程规定的）线段，看它们是尺的多少倍。

当尺的m倍做不到和被测长度重合时，选比n更大的整数n+1将第一条线段再做等分，得到更精确的尺，看其若干倍能否和另一条线段相重合。用这样的方法一直做下去，使得到的尺的若干倍和被测量线段重合为止。通常认为，上述方法是可行的，即只要将n一点点变大，总可以找到一种测量单位即尺，使第一根线段是尺的n倍，第二根线段是尺的m倍。

图： 古巴比伦人用六十进制计算根号二

显而易见，n和m不能同时是偶数。为什么？因为如果n和m均为偶数，则可用第一条线段的2/n作为尺再次测量，这两条线段长度分别为n/2和m/2。如果这两个数仍然都是偶数，则用第一条线段的4/n作为尺进行测量，一直到其中一个为奇数为止。因此，整个测量过程如下：我们从1开始增加n的数目，用第一条线段a的1/n当作尺来数第二条线段b，看尺的m倍能否和b重合；当n为偶数时，m必定为奇数。

这里，一个自然数如n首先是指某一种测量方法，其为将第一个线段a分为n等份，得到尺。与此同时，自然数还代表了测量结果，如对第一个线段a数了n次，对第二个线段b数了m次。由此可见，测量结果和自然数一一对应，是指对于任意两个由受控过程得到的线段a和b，都能用上述测量方法找到两个最小的自然数n和m与其对应，这就是线段的可测量（比）性。

表面上看，线段的可测量（比）和线段存在长度等同，因为人在经验上可感知线段的大小即其有长度，故想当然地认为任何线段都是可测量（比）的。然而，这不成立！也就是说，存在着某些可控过程规定的两条线段是不可能用上述方法和自然数n、m对应的。下面就是一个例子。

图2-1是一个正方形，其作图是一个普遍可重复的受控过程。我们可以用正方形作图得到两条线段，一条是正方形的边AB=BC，另一条是正方形两个顶点对角线AC。我们来寻找“尺”测量这两条线段的长度，即将AB分为n等份，用AB/n作为“尺”来数AC。下面可以证明，无论怎么选n，都不可能使尺的m倍和AC重合。为什么？因为作图可以证明：直角三角形ABC斜边之平方是另两条边平方的和。也就是说，AC²=2AB²,如果可以找到自然数n、m和AB及AC对应，必定有m²=2n²。

根据前面测量的定义，n和m不能同为偶数，因为m²是偶数，m必定是偶数。这样，n只能是奇数。然而，基于自然数公理可推知：当m是偶数，n是奇数时，m²=2n²是不可能的。为什么？因为m是偶数，它可以表达为m=2p，于是有m²=4p²=2n²,则有n²=2p²。这样，n只能是偶数，这与线段测量要求n为奇数矛盾。

图：2-1 直角三角形斜边的不可测比性

不可测比线段的存在，表明不能将线段测量这类受控实验和自然数一一对应起来。原来，对那些不可测比的线段，用两个自然数之比来表达测量结果，这只是一种近似，充其量为数学（用自然数来数“数”）的应用，并不是发现了自然数经验结构和线段长短之间存在着必然的联系。这时，数学真实和测量结果之间存在着鸿沟，空间测量和线段及角度关系之研究不可能运用自然数结构所蕴含的数学推理（公理化推导）。这一切表明，即使在空间测量这种最单纯的受控实验中，找到横跨科学（经验）真实和数学真实鸿沟拱桥的第一块拱顶石也并不容易，这正是除古希腊外其他轴心文明没有发现几何学的重要原因。

如何克服不可测比的困难？一个办法是改变数的定义，把每一条线段的长度和一个数对应。这就是把数的定义从自然数扩大到实数集，自然数只是实数集的子集合。从经验上定义实数很容易。这就是把线段等经验对象视为有大小的，其大小就是长度，长度对应着数。定义经验对象的大小如长度，这和自然数的经验定义类似，运用序号等于其大小的原则。

但如何使每一个实数（连续量的序号）在不指涉经验对象时也是真的？这极为困难。自然数的最奇妙之处在于，它既具备数“数”的经验结构，又具备纯符号真实性的皮亚诺—戴德金结构。把实数和线段长度对应，只是其经验结构，如何让实数集具有纯符号的真实性，这涉及引进新的表达符号真实之公理。本章后文会谈到实数的公理化结构，这是19世纪下半叶才确立的。

由此可见，要找到横跨经验世界和数学世界的拱桥的第一块拱顶石，一开始只能用另一个办法，那就是先用逻辑语言陈述测量过程及其结果，它符合经验，使相应符号串具有经验世界的结构，然后再将这些符号串和自然数建立对应关系，使整个符号系统具有纯符号真实的结构。这样一来，测量就成为具有双重结构的符号系统。下面我们来证明这样的符号系统就是几何学。

本文系摘选自《真实与虚拟》一书第二编第一章节1-2两节。为便于阅读，部分段落做了拆分和删减，推文标题为编者所拟，学术讨论请以原文为准。文中部分配图来源于网络，如有侵权请联系公众号后台删除。

扫描上方二维码可购买

内容编校：心怡

内容编排：梦丹

编发 审定：船长

声明

双体实验室出品 如需转载联系后台

欢迎转发朋友圈 一起探索人文科技