西亚、北非和南亚的古代数学知识
1.巴比伦的数学成就
19世纪前期以来，考古学家在美索不达米亚所进行的系统的发掘工作，发现了大约50万块刻有古楔形文字的泥版，其制作年代有些是公元前2000年左右，而大部分是公元前600年到公元300年间的。其中约有300块已被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学泥版。这使我们大大丰富了关于古代巴比伦数学发展状况的了解。
巴比伦人很早就有了自然数和分数的记法，不过还不够完善；他们既使用十进位制，又使用六十进位制。苏美尔的数字是用芦管划在泥版上的刻痕来表示的。在十进制记数中，10以内的数用斜划的刻痕数目表示，十位数和十的倍数则用竖划的痕迹表示。在以六十为基数的记数法中，用细芦管来划个位数和十位数，再用粗芦管斜划来记六十的个数，竖划则代表六百的个数。大约到公元前2500年左右，十进位记数法已被废弃，并用楔形笔尖来代替芦管；用单独一个竖划表示60的幂次，即1、60、3600等，用两个竖划形成的一个箭头表示10、600、36000等。到公元前2000年左右，巴比伦设立了附属于寺庙的学校，在那里数学得到了进一步的发展，采用了苏美尔人表示整数的方法来记分数。尖笔写的竖划既表示1、60、3600等，也表示1／60、1／3600等；箭头记号既表示10、600等，也表示1／10、1／600等；其它的分数则分解为以60为基数的几个分数单位表达。
由于整数和分数的记法混同，而且没有什么记号表示某一位上没有数，即使到了塞琉西德时期(始自公元前323年），虽然引入一种分开记号表示某位上没有数，也仍然不能辨明最右端还有没有数。所以他们写的数是意义不定的，常常要根据内容来揣猜它的确切数值。
巴比伦人大体上已经能够进行整数的四则运算了。由于从1到59这些数都是用若干个基本记号组合而成的，所以加减法只需加上或去掉这些记号就成了。整数乘法如乘以47，其法是先乘以40，再乘以7，然后二者相加。他们也进数整数除以整数的运算，由于除一个整数a就是乘以它的倒数1／a，这就涉及到分数的运算。巴比伦人把倒数化成60进制的小数，制定了倒数的数字表，供使用者查出1／a形式的数所写成的60进制的小数。而对于1／7、1／11、1／13等数值，其60进制的小数是无限循环的，则只给出近似值。
巴比伦还制定了表示平方、平方根、立方和立方根的数表。他们给出的2的近似值是1.414243……，而不是1.414214……，看来他们还没有"无理数"的概念。总的看来，他们的许多算术程序都是借助于各种数表进行的。这种情况表明，古代巴比伦人具有高度的计算技巧，他们是数表的辛勤制作者。
大约在公元前2000年，巴比伦算术已推进到一种高度发展的用文字叙述的代数学。早期巴比伦代数的一个基本问题，是求出一个数，使它和它的倒数之和等于已给数。这是一个解二次方程的问题；其它还有给定两数之和与两数之积而求出这两数，也可化为上述问题。巴比伦人还会用变量转换法把复杂的代数问题化成较简单的问题。他们能用某些特殊方法解出含五个未知量的五个方程这类个别的问题，还会用配方法来解二次方程，并讨论了某些三次方程和双二次(四次）方程。他们的代数方程是用语文叙述并以语文叙述其解法的。他们常用长、宽和面积这些字来表示未知量，虽然这些量并不一定就是这些几何量。
巴比伦人偶而也用记号表示未知量，不过他们解代数问题时只指出解题的步骤，而并不说明每步解法的理由。
在公元前300年左右的一块泥版上，记下了两个有趣的级数问题人们不知道他们是否已经掌握了有关级数求和的公式，因为在处理这类特殊问题时，他们没有给出推导。
几何在古巴比伦人的心目中并不是很重要的，也未成为一门独立的学科。他们的几何学是与实际测量密切联系着的，主要特征是它的代数性质。一些较复杂的问题虽然是以几何术语表述的，但实质上还是一些特殊的代数问题。早在公元前2000年至前1600年，他们就已经掌握了计算长方形、直角三角形、等腰三角形和一边垂直于底边的梯形的面积，长方形的体积以及以特殊梯形为底的直棱柱体积的一般规则，不过，他们所用的公式可能并不完全正确。可以肯定的是，他们已经掌握了毕达哥拉斯定理，知道三角形的相似以及相似三角形对应边成比例，知道过等腰三角形顶点所作的底边的垂直线平分底边，知道内接于半圆的角是直角。他们曾用A＝C2／12(C为圆周长）这个法则计算圆面积，这实际上是用了π＝3；在近期发现的一块泥版上，在给出正六边形及其外接圆周长之比时，其结果表明他们是用3又1/8作为π的近似值。
古巴比伦的数学具有明显的实用性质，重在具体计算，而缺少抽象的数学问题。频繁的商业活动需要他们用算术和简单代数知识计算长度、重量、单利、复利、税额，国家和社会之间粮食的分配，划分土地和处理遗产引出的代数问题等。另外，制订历书，预测天象，挖运河，修堤坝，建谷仓和房屋等，都会引出大量的数字计算和几何问题。这使他们把算术推进到相当高的水平并出现了代数的开端。但总的说来，他们的算术、代数和几何学法则，都是根据物理事实摸索积累或直观得出的。而关于证明、解题的逻辑步骤和结构，以及各种问题求解的条件等，在巴比伦的数学里是找不到的。
2.埃及的数学知识
古代埃及的数学没有达到巴比伦数学那样的水平，这很可能是由于巴比伦的经济发展速度较快，贸易更为活跃所致。
直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及之前，埃及文明一直按照它自己的道路延续着。现存的埃及古代数学资料主要是产生于公元前1700年左右的两批纸草书。一批保存在莫斯科，被称为"莫斯科纸草书"；一批是1858年英国人HenryRhind发现的，保存在英国博物馆，称为"Rhind纸草书"。前者包含有25个数学问题，后者包含有85个数学问题。这些问题大概是埃及人早在公元前三千年前已经知道的典型问题和典型解法的范例。从那时以后，埃及的数学知识和技巧很少有新的发展，甚至可能还有所退步。
埃及僧侣文的整数写法由于书写方式是自右而左的，所以｜｜｜nn表示23。
埃及的算术主要用迭加法，加减法就是用添上或划掉一些记号而得出结果，乘除法也具有加法的特征。由于任何一个数都可以组成2的各次幂的和，所以乘法和除法通常可用连续加倍的运算来完成。
埃及数系中也有分数的记法，但比较复杂。
在Rhind纸草书中，包含有求一个未知量的问题，相当于现在所说的一元一次方程。对于此类问题，埃及人是用纯粹算术方法求解的。有些问题是用"试位法则"求出的，纸草书中只涉及到最简单的二次方程(如ax2＝b)，也出现一些算术数列和几何数的问题；不过他们所用的方法都纯粹是算术的，他们还未把解方程看作是一门独特的学科，也只用文字说出解题步骤，而不说明其理由。
在两份纸草书的110个问题中，有26个是几何问题，但仍然只用算术和代数方法来求解这些几何性质的问题。他们有计算长方形、三角形和梯形面积的固定方法，如用一个数乘以另一个数的一半来计算三角形的面积，但无法肯定这两个数是代表两个边还是代表底和高。他们计算圆面积的公式是A＝(8d／9)2，d为直径，这等于取π＝3.1605。古埃及人也有了计算立方体、箱体、柱体和其他规则形体体积的法则，不过有一些只是近似的。最令人惊奇的是他们已有了计算方棱锥平头截体体积的正确公式，这在古代东方其他地区的数学中尚未见到。不过，至今还未发现古埃及人掌握毕达哥拉斯定理的证据。
总之，古埃及人已经把数学广泛应用到国家和社会事务的管理，应用到计算田地面积和谷仓容积，应用到征税、单位换算和工程用材等方面；特别是应用数学去制订历法，确定节日，测定庙宇和金字塔的方位等。不过，他们的数学还没有成套的记号，更没有证明、逻辑推理等抽象思维和一般方法论，大多只是一些无联系的简单法则和经验公式，还没有超过一般计算工具的水平。
3.古印度的数学知识
古代印度的数学成就，没有达到古巴比伦和埃及的高度，不过在受到希腊数学的影响之前，也有他们自具特色的一些成就。
由于缺少可靠的记录，对公元前800年之前印度数学的发展，目前知之甚少，只是从一些早期城市遗迹和灌溉工程可知，古印度人早已有了书写、计算和度量衡体系，并且有了很基本的数学和工程知识。
公元前800年到公元前200年，是印度产生"绳法经"的年代。"绳法经"是一类宗教经文，包含有修筑祭坛的法则。在这些宗教作品以及一些钱币和铭文中，都包含着一些有关数学的内容。
在亚历山大大帝于公元前326年征服西北印度后，建立了莫尔雅帝国，并很快扩展到全印度。莫尔雅最著名的统治者阿索库(公元前272-前232)在印度的每个重要城市立了大石柱，保存下了当时的数字符号。这些符号后来不断发生变化，最典型的是Brahmi式记号。这一组记号从1到9的每一个数都有一个特殊的符号，这是它的优越之处；缺陷是没有零，也没有进位记法。
在公元前5或4世纪出现的一部"绳法经"里，在讲到拉绳设计祭坛时，包含了一些古印度时期所知的几何法则。这些法则规定了祭坛的形状和尺寸所应满足的条件，最常用的是正方形、圆形和半圆形三种形状；但不管何种形状，祭坛的面积必须相等。他们掌握了怎样求等于两个正方形之和或差的一个正方形，或等于一个给定矩形的正方形；他们还能作出与正方形等面积的圆。或两倍于正方形面积的圆以便采用半圆形的祭坛。他们实际上用到了解圆方问题的法则：
在关于祭坛形状的设计中，印度人也懂得了毕达哥拉斯定理，他们说："矩形对角线生成的面积，等于矩形二边各自生成的两块面积之和"。但是，总的说来，古代印度的几何学只不过是一些无关联的简单法则，而且都是用文字叙述的；它们都是经验性的，没有任何证明的思想。
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