欧几里得与《几何原本》
欧几里得(约公元前330～前275)是亚历山大前期的第一个大数学家。亚历山大前期是指从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，这一时期，希腊数学发展达到了鼎盛时期。欧几里得生于雅典，曾就学于柏拉图学派。大约在公元前300年左右，在托勒密一世王的邀请下，欧几里得来到亚历山大城传授数学。在此，欧几里得完成了他的代表作，也是希腊数学的百科全书——《几何原本》。
古希腊几何学从泰勒斯开始，经毕达哥拉斯学派到柏拉图学派，发展为建立在定义和公理基础上演绎而成的一套严密体系。欧几里得的《几何原本》是集大成之作，充分地体现了古希腊几何学的发展结果，成为标志古代希腊几何学形成完整体系的里程碑。欧几里得不仅在选择公理和编排定理次序上下了一番功夫，而且他还增补了一些定理，给出了一些证明；特别是体系的严谨与论证的严密更使后人赞叹不已。
《几何原本》的论述结构是以少量原始概念和不需证明的几何学命题作为定义、公理与公设，由此出发通过逻辑推理证明一系列的几何定理，形成一个由简至繁的体系。这种公理化方法，至今仍是构造科学理论体系的重要方法。
《几何原本》的内容共计有13篇，有的版本列出15篇，其中第14篇和第15篇非欧几里德所作，而是后人补上去的。
第1篇首先给出了23个定义，涉及到点、线、面、圆和平行线等一批原始概念；然后提出了5个公设和5个公理：
公设1.从任一点到任一点作直线(是可能的）。
公设2.把有限直线不断循直线延长(是可能的）。
公设3.以任一点为中心和任一距离(为半径）作一圆(是可能的）。
公设4.所有直角彼此相等。
公设5.若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
公理1.跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
公理2.等量加等量，总量仍相等。
公理3.等量减等量，余量仍相等。
公理4.彼此重合的东西是相等的。
公理5.整体大于部分。
欧几里得同意亚里士多德的观点，即认为公理是适用于一切科学的真理，而公设则只适用于几何学。其中第5公设是欧几里得的杰作，他可能认为为了避免出现无限远空间的问题，这一公设是必要的。但是，这个公设由于不如前4个公设那么一望而知，人们不容易一下子接受，甚至有人认为欧几里得之所以把它作为公设，是因为他无法证明它。这成为《几何原本》的一个"污点"，为洗刷这一污点，在欧几里得提出这一公设之后，不断引起人们用其它公理和公设予以证明的努力以及对它的种种怀疑。在此后的两千年间，对它证明的努力终于失败，而对它的怀疑则产生了非欧几何。1826年，俄罗斯数学家罗巴契夫斯基(1792～1856）宣读了他的关于非欧几何的论文《简要叙述平行线定理的一个严格证明》，这标志着几何学的新革命。非欧几何的发展不仅为相对论的产生准备了条件，更为重要的是它所引入的新思想，从根本上更新了古老的几何观念。这一结果是欧几里得无法预料的。
第1篇在公设和公理之后，还给出了48个命题。这48个命题的内容可以分为3类，第一类是从命题1到命题26，主要讨论了三角形和垂直(垂线）问题，包括三角形的三个全等定理；第二类是从命题27到命题32，主要讨论了平行线问题，并证明了三角形的三个内角之和等于两个直角；第三类是从命题33到命题48，主要讨论了平行边四形、三角形和正方形，特别注意面积问题，最后的两个命题分别证明了毕达哥拉斯定理及其逆定理。关于毕达哥拉斯定理的证明是通过面积做出的，先证出△ABD△FBC，矩形BL＝2△ABD，正方形GB＝2△FBC，于是得到：矩形BL＝正方形GB，同样有矩形CL＝正方形AK。所以，正方形BE＝正方形GB＋正方形AK，即BC2＝AB2＋AC2。
第2篇有14个命题，主要讨论了面积的变换和几何代数法，特别是几何代数法，反映了希腊数学发展的特点。从毕达哥拉斯学派开始，希腊人不承认存在无理数，所以他们用线段来代替数，处理长度、角度、面积和体积。这样，两数的乘积为两边长等于两数的矩形的面积；三数的乘积为棱长、宽和高分别等于三数的长方体体积；两数相加减则用把一线段延长或对一线段截割来表示；两数相除则为两线段之比。
第3篇有37个命题，这些命题全部与圆有关。它首先给出了与圆有关的一些定义，然后讨论了弦、切线、割线、圆心角及圆周角等问题。
第4篇有16个命题，主要讨论了圆内接和圆外切图形。在圆内接正多边形中，除了正方形、正五边形和正六边形之外，最后的命题还指出了正十五边形的建立。据说，圆内接正十五边形产生于天文学。
第5篇先给出了18个定义，涉及几个量之比的相互关系；然后用25个定理证明了比例的一些基本性质。这一篇被认为是对欧多克斯的比例理论的阐述。
第6篇有33个命题，主要是利用第5篇的比例理论讨论了相似形问题。
第7篇至第9篇共有102个命题，主要讨论了数论，即整数和整数之比的性质问题。《几何原本》中只有这3篇讨论了算术问题，不过，关于比例的定义和定理，有很多是重复了第5篇的内容。那么为什么欧几里德仍然要把数论列为独立的篇章呢？有两种看法，推测了欧几里得的出发点：一种看法认为欧几里得认为在他前几篇中所用的量的概念中并不包括数；因此需要把关于数的比的命题重新证一遍；另一种看法是关于整数和可公度比的理论是欧多克斯以前就有的，欧里得很可能是按传统方式对独立发展的毕达哥拉斯的理论和欧多克斯的理论分别加以介绍。
第10篇有115个命题，主要是对无理量(即与给定量不可公度的量）进行分类。
第11篇首先给出了关于立体、立体的边界、直线与平面的垂直、两平面的垂直、平面与平面的夹角等的定义，另外还定义了平行平面、相似立体形、立体角、棱锥、棱柱、球、圆锥、圆柱、立方体、正八面体、正十二面体等立体形。这一篇的39个定理，证明了直角和平面的性质以及多面体的一些特殊情形。
第12篇有18个命题，主要证明了关于面积和体积的定理，特别是关于曲线和曲面所围成的面积和体积。欧几里得的证明体现了穷竭法的思想。
第13篇有18个命题，讨论了正多边形的性质及其内接于圆时的性质，并论述了怎样把5种正多面体内接于一个球的问题。
《几何原本》全书这467个命题，涉及初等几何的各个方面，反映了古希腊几何学的成就。全书内容是由少数定义、公设、公理演绎而得，足见欧几里得选择公理、编排体系之出色。当然，这部巨著也并非没有缺点：有个别证明证错了，也有些定义含糊而不明晰；有的内容前后重复，也有些内容带有前人著作堆砌的痕迹。然而，暇不掩瑜，这些缺点同这部巨著的成就相比是微不足道的，《几何原本》的成功使它对数学发展的影响超过任何一本书。
《几何原本》起初以手抄本形式流传，在欧几里得死后700年，《几何原本》出版。1120年被译成拉丁文，1570年出现英译本，到19世纪末，已有1000多种版本。中国最早的译本是1607年(明朝万历丁未年），由利玛窦和徐光启合译的《几何原本》前6卷，1857年(清朝咸丰7年）由伟烈亚力和李善兰合译了后9卷。还应特别指出的是，《几何原本》在数学教育上的不容忽视的价值。直到19世纪末，《几何原本》一直是几何学的教学课本；就是在当代，《几何原本》的一些内容仍是中学几何教材所不可缺的。它作为学生接受严格的逻辑训练和数学训练的工具，曾经训练出一代又一代的数学家和科学家。
欧几里得在数学研究上还做了其它一些工作，保存下来的有他的两本数学著作——《数据》和《论图形的剖分》，《数据》中的材料与《几何原本》基本相同，只是某些特殊定理有所不同，它可能是供学习《几何原本》用的习题集；《论图形的剖分》则主要讨论了如何把所给图形分成其它图形。欧几里得还有几部已失传的数学著作，根据后人记载的情况看，有一本《二次曲线》，据说这本书成为阿波罗尼乌斯的《圆锥曲线》中头3篇的主要内容；还有《衍论》和《曲面-轨迹》，这两本书的大部分内容和性质已无人知道，据后人的零散记载推测，前一部书可能是和几何做图有关，后一部书可能是讨论曲面的轨迹问题；另外还有一本《辨伪术》，可能是书中包含有故意给出的错误证明，以达训练学生的目的。在欧几里得的天文学教本《现象》中，涉及到球面几何的问题。
【更多精彩文章，请关注微信公众号“地球生物与人类文明”】
热门跟贴