《用初等方法研究数论文选集》连载 024.回答数论中的四个问题|合数|定理|整数|用初等方法研究数论文选集|素数

024.回答数论中的四个问题

这篇文章详细地回答了数论领域中四个非常关键且核心的问题。需要注意的是，其前提是著名的哥德巴赫猜想已经被成功解决，在这一前提条件之下展开相关论述。在解答这些问题的时候，采用了一个特定的公式N = (q + p) / 2来进行回应。我们把这个特殊的公式命名为正整数的中值定理，这是一个具有重要意义的命名。至于这个公式的来源，涉及较为复杂的内容，在这里我们就不再进行详细的介绍和推导过程的阐述了。

看下图，

1、对于第n个素数pn，是否有一般性的简单公式？

回答：没有。

看Ltg-空间理论的N+1空间，

它有合数项公式：

Nh=a(b+1)+b a,b≥1

A,b可连续取区间[0，∞) 全部正整数，而得到的合数项的值不是连续的。

素数项的值是项数N中剥离合数项Nh 剩下的那些数值，它也不是连续的，所以素数就不会有一般性的简单公式。

进一步解释，素数在数论中占据着极为特殊的地位，它们是只能被 1 和自身整除的正整数。由于其分布的不规则性和独特的性质，导致很难找到一个统一且简单的公式来直接表示第 n 个素数 pn。尽管数学家们长期以来一直在不懈探索，尝试从各个角度去寻找这样的公式，但目前仍未取得成功。而且从合数项公式以及素数项与合数项的关系来看，也进一步印证了素数不存在一般性简单公式这一结论。

2、从一个给定的素数得到下一个素数是否存在一般行的简单公式？既是否存在像Pn+1=Pn^2+2这样的递推公式？

回答：从一个给定的素数获取下一个素数，存在一种普遍适用的简单公式，例如：q = 2N - p。其中，q代表一个未知的素数，2N是一个正整数，而p必须是一个已知的、与素数q满足“中值定理”条件的素数。这类公式并不具备递推关系。

这里需要特别说明的是，虽然存在如q = 2N - p这样能从一个给定素数获取另一个素数的公式，但它并非像Pn + 1 = Pn^2 + 2这种形式的递推公式。因为递推公式意味着可以通过前一项直接推导出后一项，有着固定的运算模式和规律。然而素数分布的复杂性和独特性，使得无法构建出这样简单且具有普遍递推性的公式。素数在数论中就像是一群特立独行的“个体”，它们之间没有那种简单、规律可循的递推联系，所以不能存在像Pn + 1 = Pn^2 + 2这样简单的递推公式来从一个给定素数得到下一个素数。

3、有没有这样一个法则存在，使得对于任何给定的素数p，都可以得到一个更大的素数q ？

回答：当然可以。在公式 q = 2N - p) 中，只需将 p 取为中值定理的前端素数即可。

具体来说，在运用这个公式的时候，我们先确定一个正整数 2N，再选取一个满足中值定理条件的已知素数 p 作为前端素数，将其代入公式q = 2N - p 中，计算得出的结果 q 就有很大可能是我们要找的那个更大的素数。

不过需要注意的是，虽然按照这个方法操作，在很多情况下能够得到素数 q，但这并不意味着每次计算得出的 q 一定就是素数，还需要进一步对q 进行素性检验，只有通过检验确认 q 只能被 1 和自身整除时，才能确定 q 是符合要求的更大素数。而且由于素数分布的复杂特性，目前还没有一个绝对万能、无需检验就能确保得到更大素数的法则，但这个公式为我们寻找更大素数提供了一种可行且有效的方法和思路。

4、小于一个给定的数x的素数有多少？

回答：设定一个区间[0, N]，使用合数项公式：

Nh = a(b+1) + b 其中 a, b ≥ 1

可以求出该区间内的所有合数项 Nh。而素数项 Ns 则可以通过 Ns = N - Nh 计算得出，这个项数即为区间内的素数总数。

具体来讲，在区间 [0, N] 里，我们依据合数项公式 Nh = a(b + 1) + b（a, b ≥ 1），通过让 a 和 b 在满足条件的范围内取值，就能依次算出该区间内所有的合数项 Nh。由于正整数要么是素数要么是合数（1 除外，在讨论素数相关问题时一般不考虑 1），那么用区间内正整数的总数N 减去算出的合数项总数 Nh，剩下的就是素数项 Ns 的数量，这个 Ns 的值也就是小于等于给定数 N 的素数的个数。

如果给定的是小于 x 的素数个数，我们可以先确定一个包含 x 的合适区间 [0, N]（N 大于等于 x），按照上述方法算出小于等于N 的素数个数后，再根据具体情况判断是否需要进一步调整以准确得到小于 x 的素数个数。

通过上述方法，我们不仅能确定小于给定数x的素数数量，还能对素数的分布规律有更直观的认识。具体操作时，先根据合数项公式Nh =a(b+1)+b（a,b≥1）列举出区间[0，N]内所有可能的合数，再通过计算N与这些合数数量的差值Ns=N- Nh，就能准确得到该区间内素数的总数。这一过程不仅体现了数学逻辑的严谨性，也展示了如何将复杂问题转化为可操作的步骤，为深入研究素数性质提供了有力工具。

对全文的总结如下：

本文围绕数论中的四个关键问题展开了深入探讨，在哥德巴赫猜想成功解决这一前提下，借助正整数的中值定理及相关公式给出了详细解答。对于第n个素数pn是否存在一般性简单公式，答案是否定的，这源于素数分布的不规则性与独特性质，以及合数项和素数项的关系。

从一个给定素数获取下一个素数虽存在如q = 2N - p的公式，但不存在像Pn + 1 = Pn^2 + 2这样简单的递推公式，因为素数间缺乏简单规律的递推联系。对于能否从给定素数p得到更大素数q，利用q = 2N - p公式，选取满足条件的素数p代入计算，虽结果不一定是素数，但为寻找更大素数提供了可行方法。

而要确定小于给定数x的素数数量，可通过设定区间[0,N]，用合数项公式求出合数项，再用总数减去合数项得到素数项数量，进而了解素数分布规律。

这些研究成果为数论领域进一步探索素数性质提供了重要思路和方法。