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一、（3*5=15分）设三维空间中四点 所形成的三个向量为 , , , 其中 . 已知 作为相邻两边所成的平行四边形的面积为 ， , , 作为共顶点三条棱所成的平行六面体的体积为 .

(1) 求 的值.

(2) 求平行于向量 且过点 的平面的方程.

(3) 求函数 在点 的梯度以及在该点沿 方向的方向导数.

二、（3*5=15分）设函数 在闭区间 上连续，在开区间 上可导且导数大于 0，极限 存在. 证明：

(1) 在区间 上取值大于 0；

(2) 存在 ，使得

(3) 对上述 ，存在 ， ，使得

三、（5+10=15分）解答下列各题.

(1) 写出 在 处的 阶带佩亚诺 (Peano) 余项的泰勒公式.

(2) 计算极限

四、（5+10=15分）设二元函数 有连续偏导数， ， ，且对任意实数 都满足 .

(1)计算 ；

(2) 计算极限

五、（3*5=15分）设 .

(1) 若定义在 上的二元函数 具有连续的二阶偏导数且满足

证明： , ，其中 , 是二阶连续可导的函数.

(2) 若定义在区域 上的二元正值函数 具有连续的二阶偏导数且满足

验证 满足

(3) 设二元正值函数 具有连续的二阶偏导数且满足

试给出 的表达式.

六、（15分）设 具有二阶连续偏导数，且当 时,

记 证明： 在 处取到极值，计算这个极值并判断是极大值还是极小值.

七、（10分）设定义域为 、值域为区间 的二元函数 具有二阶连续偏导数且处处 。证明：对任意实数 ，曲线 为直线的充分必要条件是

据说这是2025-2026学年北京大学第一学期的高等数学A试题，是否正确，请学友直接文后留言反馈！

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