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《量子力学：巨匠与脚手架》

作者：曹则贤

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本书特色

百年量子传奇，一次溯源之旅。拆解巨匠的思维“脚手架”，让量子力学的诞生过程，重塑理解量子力学的方式。

★量子力学百年纪念

为纪念量子力学诞生百年而著，深度还原量子力学从1924年概念提出至公理化历程中的思想脉络与文献细节。

★回归德语原始文献

以原始文献证明量子力学非海森堡或薛定谔的“灵光一闪”，而是玻恩、约当、外尔、维格纳等哥廷恩学者协作的成果。

★厘清量子力学概念本源

深入剖析“量子力学”“量子论”“矩阵”等核心概念的形成过程与真实含义，有助于读者走出二手转述带来的误解，建立扎实的理解基础。

★为被遗忘的天才正名

对于量子力学“消失的奠基人”约当，本书还原其对量子力学、量子场论的开创性贡献；解析为何他被排除在诺贝尔奖之外，沦为“无人提及的英雄”。

作者简介

曹则贤

中国科学院物理研究所研究员、博士生导师，中国科学技术大学科技传播系主任，科技部973纳米材料项目首席科学家，2018中国科学年度新闻人物之科技传播者，京津冀物理科普教育基地联盟“科普大使”。1966年生，1987年毕业于中国科学技术大学物理系，1997年在德国凯撒斯劳滕大学获物理学博士学位，自1998年起在中国科学院物理研究所从事研究工作，曾著有《物理学咬文嚼字》（四卷），《至美无相》，《一念非凡》，《得一见机》，《惊艳一击》，《磅礴为一》，《量子力学：少年版》，《相对论：少年版》，《云端脚下：从一元二次方程到规范场论》，《军事物理学》，《黑体辐射：一只会下物理金蛋的鹅》，《物理视角读唐诗》等书。

曹则贤老师长期活跃于科学普及一线，还担任中央电视台著名科学实验节目“加油！向未来”的科学家解题人，《物理》杂志专栏撰稿人，2019年12月30日首次在中国科学院的大型公众活动中做连续数小时的跨年科学演讲，至今已连续七年，每年都有千万人次观看。2022年2月12日，参加中国科学院科学传播局主办的“科学公开课”第8期，主讲课题“物质的形态”；8月，参加聊天真人秀节目《圆桌派第六季》。2023年1月15日，参加央视新闻联合总台北京总站举办的活动“酷啊未来中国科技创新之夜”。

内容介绍

量子力学是人类智慧的结晶，被誉为近代物理两大支柱之一。量子力学是由玻恩、约当、海森堡、狄拉克、泡利、薛定谔、福克、冯·诺伊曼等人在1924—1928 年的短短几年间就大致建立起来了的。量子力学是经典力学的转义，是经典物理的自然延续，是数学物理的典范。量子力学建立后不久，物理学就经历了研究中心和工作语言的转移，一些科学后发国家大体上是从二手文本的翻译转述中接触量子力学的，很难一窥量子力学的真实全貌，遑论品味其精髓。本书基于对量子力学创立期间原始文献尽可能全面的梳理与逐篇解读，力争为我国广大的量子力学爱好者提供一个接触真正量子力学的友好途径。

作者序

一百年前的1924年6月13日，德国哥廷恩大学的教授玻恩向Zeitschrift für Physik杂志提交了一篇题为“Über Quantenmechanik (论量子力学)”的论文，世界上从此有了“量子力学”一词。正如1824年卡诺的 Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance（关于火的驱动能力以及发挥此一能力之适当机械的思考）一文一出才算有了热力学，此前只是关于热现象与热机械的探索而非热力学，在玻恩1924年的论文之前以普朗克1900年提出的光能量量子假说以及玻尔/索末菲的原子模型为标志的物理理论，那是量子论（Quantentheorie）而非量子力学。实际上，更早的把能量予以量子化的做法见于玻尔兹曼1872年和1877年关于热的力学理论的论文。量子力学诞生至今一百年，给人类文明带来了不可磨灭的烙印，有人学习和研究量子力学是一个先进国家不可或缺的标志。

值量子力学诞生一百周年之际，笔者在《物理》杂志上开设专栏，系统介绍量子力学创立时期的关键奠基性论文，并对量子力学创立者如玻恩、约当、海森堡、狄拉克、薛定谔、泡利、福克、冯•诺伊曼等人就其与量子力学有关的学术成就做简单的评述，一来向创立量子力学的先辈巨擘致敬，二来试图展现物理学发展的连续性（从没有什么量子力学与经典力学的割裂，在科学中看见革命那是因为知道的太少），三来也是想提供原始文献供我国学者澄清一些关于量子力学的误解。在2024—2025长达两年的时间里，笔者在《物理》杂志53卷第2期至54卷第12期上共发表文章14篇（其中一半篇幅占两期），这让笔者受益匪浅，对相关的人与事又增添了许多的了解与理解。在本专栏收尾之际，笔者将这些文章从头重新审读增补，聚拢成册，遂得此书。

世界上只有一门量子力学，但世界各国研究和教授量子力学的努力与水平却有天渊之别。其实，就连量子力学的名字各地都有差讹，德语的Quantenmechanik里的量子是名词，法语mécanique quantique里的量子则是形容词，至于英语的quantum mechanics和中文量子力学里的量子，估计两种理解都有。容笔者斗胆胡言，对于科学后发地区而言，所谓的量子力学不易理解，不过是对经典力学毫不知情的别样表达。笔者当年在大三上学期第一次上量子力学课，可以说就是在对经典物理毫不理解（知情）的情况下猝然接触到量子力学的。多年后有幸读到那些量子力学创立者的著作原文，虽然依然不懂量子力学，但笔者好在明白了是因为自己不懂经典物理（还有数学、科学方法等）的缘故。藉此纪念量子力学诞生一百周年的契机，笔者想借机系统地阅读一遍量子力学创立时期的原始文献，这就是我2023年决定撰写这个专栏的动机。

回顾一下我本人学习量子力学的经历有助于理解这几篇谈论量子力学的专栏文章的风格，如果有所谓的风格的话。笔者是在1984 年秋开始学习量子力学的，那一年是量子力学一词诞生的第60个年头。量子力学课给我的冲击很大，课本里提供的公式给我留下了深深的陌生感和距离感。不管是书本内容还是老师的课堂讲解，我的印象都是不知所云。那年的10月20日，量子力学的创立者之一狄拉克辞世。懵懂的我没有从任何渠道感知到狄拉克辞世的消息。我甚至想不起来那时候我是否见过狄拉克这个名字，虽然我后来知道狄拉克是第四个发表关于量子力学文章的人，是人类的第一个量子力学博士，而且是一个Eigentutor。Eigentutor 是笔者参照Eigenwertproblem（本征值问题）这个量子力学代称和狄拉克的事迹造的一个新词，意思是自教者——狄拉克把自己教导成了人类第一个量子力学博士。

在相当长的一段时间里，我印象中的量子力学仿佛是薛定谔的创造，一个叫玻恩的人给了一个不知对错的概率诠释。我承认，这些印象是因为我学习不努力、理解不到位造成的。及至为了考研做准备，不得已钻研了一些往年的量子力学试题，也是不明所以。以我如今的眼光看来，那些试题除了简单的矩阵变换和求本征值、本征矢量以外，便是二阶微分算符在特殊空间里在特殊边界条件或者初始条件下的求解，与量子力学这种mechanics（与唯象理论相对的关注自然运行机理的学问，汉译为“力学”极具误导性）其实并没有多少联系。读研究生期间笔者学了点高等量子力学课，只记得里面有Banach空间和Borel集，其他的都想不起来了。及至1990年考上理论物理博士研究生后的那个暑假，我兴致勃勃地带回家一本Claude Itzykson，Jean-Bernard Zuber合著的Quantum field theory（量子场论），接下来上课时用的课本是John W. Negele，Henri Orland合著的Quantum many-particle systems（量子多粒子系统），也是都学了个寂寞。一言以蔽之，我是学过量子力学的，但是一点儿也没学懂；或者换个说法，量子力学对于我来说难以学懂。

然而毕竟我是要混个物理学博士学位的，而且很较真。在德国攻读实验物理博士期间，因为可以随时自己开图书馆的门，这让我浏览了不少书，特别是可以比对不同作者关于同一主题的论述。这期间，我注意到所谓海森堡不确定性原理不仅表述夸张、应用勉强，其证明也是漏洞百出，这让我开启了量子力学原始文献的阅读之旅，也是对量子力学的祛魅之旅。渐渐地，我的阅读习惯转向了各种物理的原始文献，特别是创造者们亲撰的原始文献，一路读来颇有收获。阅读原始文献是一个欣赏和学习创造过程的过程，令人愉悦。最重要的是，这种学习方式高效且富有启发性。在过去的20多年的时间里，我几乎过目了（不是阅读了）全部的热力学、电磁学与电动力学、量子力学和经典力学的原始文献。感谢这个可以远程获取文献电子版的时代。

这个过程让我得到的结论是，我学不会量子力学这事儿只能一半怪我的愚笨与懒惰，另一半要归功于我周围的空间里缺少量子力学的气息。于是，我决定把我的感受写出来，在传递量子力学知识的同时，也希望安抚一些在理解量子力学的努力中挣扎的灵魂。

本书讲述量子力学初创的过程，着力于量子力学这门学问，同时也关注那些创立量子力学的人们。我常常想，那些创造了量子力学的人们是怎样获得那些创立量子力学所需要的学问以及方法的？是谁给了他们指点这抽象江山的勇气与技能的？以这些量子力学的创造者为参照，本书的内容应该是作者40年前在大学时代就应该学会或者被教会的，但在今天我依然不得不为我在撰写本书时的吃力感而羞愧。我期望未来的青年们能在他们是青年的时候学会量子力学这门Knabenphysik（大男孩物理）。

不同于经典力学与电动力学蓄势百年以上方得以成型，量子力学在这个概念问世（1924年）之后短短几年的工夫即进入了公理化阶段（1927 年）。这个知识的集中爆发事件突出了物理学巨匠的集中迸发。大匠者稀，世界终究是我们庸人的世界。在一代物理学巨匠退出舞台后，诠释与传播量子力学逐渐庸俗化为普通学者之寻常事，故代大匠斫之事层出不穷。笔者深信，庸者代大匠斫，事出有因，于理当赞；然技有不逮，虽可为之，终不似大匠之从容，亦难得大匠之杰作也。故欲得量子力学之三分精髓者，阅读足够多的量子力学缔造者之原始文献就有必要了。本书的宗旨之一是尽可能全面地向读者介绍量子力学创造过程中的原始文献，并会给出一些关键内容的介绍。欲深入研习者可根据本书中给出的文献出处按图索骥。我必须强调，本书只是转述一些量子力学的原始文献，它不保真，虽然我努力让它保真，但它终究是经过我的卷积后的结果。我这是在委婉地提醒，如果你看到的本就是二手的材料，那就请记住它是二手材料，你在严肃的场合使用时最好查证一下。

量子力学创立过程中创造者们所表现出来的聪明才智，对于一些别的参与者、当时的看客以及后来的学习者都是一种伤害。这种伤害的一个具体表现就是对量子力学成就归属之表述的有意无意歪曲。如今整整一个世纪过去了，量子力学之创立于当代人来说不过是个冰冷的事实而非利害关系，我们完全可以仅以论文为依据客观地述说量子力学的创造过程，且仅以更好地理解量子力学及其创造过程为目的。基于原始文献为读者构建一个量子力学的真实面目是本书的主旨之一。

在阅读这些量子力学创造者们的原著时，我有一种感觉，就是他们真是在努力理解自然，在创造物理学。当他们的理论出现不易理解之处时，他们想到的是理论的自恰、实在之有无这些有助于理论之辩护或者修正的内容。我常常想，若他们知道后来有人把量子力学（物理）理解为经典力学（物理）的对立面，把量子力学同相对论剥离了以后再讲解，会不会感到一丝丝的悲哀？

笔者撰写本书时，总想着如何能够瞥见量子力学这座物理学大厦构建时的脚手架。带着“想象曾经的脚手架的习惯” 学习，甚至能够凭思想穿越回去参与半道上的建设过程更有助于科学家的成长。当我们想培养科学家时，让他们看到完工的大厦还连着全套的脚手架要比只看到一座华美的大厦要有效得多。我更想努力再现的，是那个思考过程（Gedankengang），这是一个培养科学家的教程里应该选取的关键内容。为了一般意义上的教学对学问的筛选，和为了培养科学家对学问的筛选，是不一样的。当然，为了人类智慧的保存，不做筛选全面掌握才是合适的做法。

在1911年第一次索尔未会议上的报告中，普朗克言道 “通过引入大胆但是简单的观念（par l'introduction de conceptions audacieuses, mais simples）构建了量子论”。愚以为，“大胆但是简单”确实是量子力学的气质 [这让我想起了高斯的学问的Pauca sed matura（少但是成熟）气质]。其实，这种气质根植于原子论（atomistics）、量子论（quantum theory）和原子力学（Atommechanik）这些量子力学的前身。关于原子论，有句云：“它（原子论）涉及多方面的或多或少随意的假设、猜想与编造，其深入研究，为了所处理的对象起见，绝对不可能得到令人满意的结果 [Es handle sich hier um eine Mannigfaltigkeit von mehr oder minder willkürlichen Hypothesen, Vermuthungen und Erdichtungen, deren Durchforschung schon um des behandelten Gegenstandes selbst willen zu einem befriedigenden Resultate überhaupt nicht führen könne. Kurd Lasswitz, Atomistik und Kriticismus (原子论及其批判), Vieweg (1878), p.9]”。我们学量子力学时遭遇的一个大坑，就是误以为它是一门逻辑严谨的学问。

坊间对拙著早有批评，谓其太难。对于这样的指责，我想指出，实际的学问其实比我所能表达的还要难得多，是我水平之不足让读者们看到了一种难度淡化了的学问。一本书有点儿难度，会吓走一部分读者，这是出版社，还有我本人，所不愿见到的。对于我本人来说，物理学以及如数学那样的学问是神圣的，它的简化、低俗化是不可接受的。我顽强地坚持着自己的原则，这些原则中包含着对知识和学知识的我自己的尊重。量子力学是一座冰山；大学教科书里的量子力学是量子力学冰山之水面以上部分的一角上的一团冰晶。量子力学本就需要投入感情和努力才能学会。我希望凭借我的书能让读者有机会一瞥创造者的思维深处，包括那些思想、那些方法，还有那些哲学信条。如果不敢直面学问本身的难度，那面对量子力学这般的广大智慧，如何能做到颖悟圆觉？笔者学习量子力学多年以后，茫然不知其旨，某一日恍然大悟此盖因吾之经典力学、原子力学以及相关数学基础皆若空白也。那一刻，笔者内心五味杂陈。自古圣贤作书，悲悯后世；则贤作书，只为怜悯自己。读者诸君，各自读之，各自习之。

本书的目的是介绍量子力学的具体创立过程，实现这一目的所指望的手段是对创立者所发表论文的解读与引用。当然，由于篇幅与笔者能力所限，我的引用是片面的，解读也是片面的，还会包含一些错误。本书会尽可能地提供原文、译文的出处，还提供一些参考文献作为补充，敬请读者拨冗亲自阅读以形成自己的判断。在转述、摘录原文的部分，笔者添加的自己的评论、注解会用{ }括上，以免被误解为原文作者的意思。文中在关键部分会或多或少地引用原文，一来方便读者引用，二来证明作者自己确实读过。本书涉及英文以外的西文内容都会被翻译，但部分英文引文未作翻译。本书不是教科书，不存在内容上由浅入深、循序渐进的问题，读者在阅读本书时大可选择感兴趣的章节跳跃着进行。笔者的建议是先囫囵吞枣大致浏览一遍，此过程中可对公式略过不理，在获得了对量子力学创立时期的人与事的大致了解之后，再择关键处认真研读。

我希望这本书能够鼓励和方便朋友们走上探索（不止是学习）量子力学之旅。若有三两朋友因了阅读此书而对量子力学洞然有意得心解处，善莫大焉。

是为序！

2025年8月16日于北京

章节试读

量子力学初创时期创造者们的量子力学专著

学习一门学问，如果还意在学习该学问是如何创造的话，那么学问创造者亲撰的著作当然是资料的首选。因为这些著作是来自那些创造者本人，所以里面有真知，或许还可见曾经的脚手架。在量子力学初创时期就有能力对量子力学系统地予以表述的，那才见真功夫。何为量子力学的初创时期？以下几个事件可作为评价的时间参照， 1924年玻恩造了量子力学一词， 1925年构造了矩阵力学(玻恩-约当，玻恩-海森堡-约当)，1925年薛定谔提出气体的概念 (Gaskörper, 对应固体，Festkörper)，1926年薛定谔构造了波力学，此时可以认定量子力学问世。第一波对量子力学的表述，暂且截止到1933年，笔者知道的有：

Hermann Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (外尔，群论与量子力学), S. Hirzel (1928). 作者时年43岁。有英译本The Group Theory and Quantum Mechanics。
Louis de Broglie, La Mécanique Ondulatoire (德布罗意，波力学), Gauthier-Villars (1928). 作者时年36岁。
Arnold Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien, Wellenmechanischer Ergänzungsband (索末菲，原子构造与谱线之波力学增补卷), Vieweg (1929). 作者时年61岁。这其实是独立于《原子构造与谱线》一书的关于波力学的表述。笔者就是从这本书弄懂原子中电子之量子数的来路细节的。
P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics (狄拉克，量子力学原理), The Clarendon Press (1930). 作者时年28岁。
Max Born, Pascual Jordan, Elementare Quantenmechanik (玻恩，约当，基础量子力学), Springer (1930). 作者时年分别为48岁和28岁。
Eugene Wigner, Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspektren (维格纳，群论及其在原子谱之量子力学上的应用), Vieweg (1931). 有英译本Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra. 作者时年29岁。
Влади́мир Алекса́ндрович Фок, Начала квантовой механики (福克，量子力学基础), Ленингра́д (1932); 有英译本 Vladimir Fock, Fundamentals of Quantum Mechanics. 作者时年34岁。
John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (冯•诺伊曼，量子力学的数学基础), Springer (1932). 作者时年29岁。
Bartel L. van der Waerden, Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik (沃顿，量子力学中的群论方法), Springer (1932).
Wolfgang Pauli, Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik (泡利，波力学的一般原理), 1933. 作者时年33岁。这原是发表在Handbuch der Physik上的综述性文章，有单行本以及基于此而来的General Principles of Quantum Mechanics。泡利还有1926年在Handbuch der Physik上的综述性文章Quantentheorie (量子论)，可一起研读。

至于海森堡的The Physical Principles of the Quantum Theory (量子论的物理原理)，Dover (1930)，那是他人将其1929年访美时的讲座从德语译成英文结集出版的；薛定谔的The Interpretation of Quantum Mechanics (量子力学诠释), Ox Bow Press (1995)，那是其1949-1955年间几个讲座的结集，都算不上量子力学专著。海森堡、薛定谔这两个量子力学标志性人物都没有对量子力学的系统阐述，想来令人唏嘘，不知道是因为没时间、没兴趣或者有时间、有兴趣却力有不逮，或者干脆是不屑为之。各位仔细看看这些书的内容与面世时间，可能会多有感触。笔者的一个感触是，就所需数学而言，量子力学是薛定谔这个维也纳大学的数学物理教授、波力学奠基人理解起来都吃力的一门学问 (他1926年的论文致谢了外尔在解氢原子问题上的帮助)。以泡利数学之强，其在构造泡利矩阵时也致谢了约当，说约当提请他注意四元数的虚部构成他在寻找的自旋需满足的代数。爱因斯坦对量子论的贡献是多方面的、基础性的，但终究是庞加莱在1912年给了量子论一锤定音, 其间的差距自然是出在数学能力上。当然，从不喜欢数学的人可以认为构建量子力学时没用到过数学 (颂扬海森堡的物理直觉却忽视海森堡的数学能力即是例证), 学懂量子力学也用不着数学。

在量子力学教学领域比较有名的著作有弗吕格 (Siegfried Flügge, 1912-1997)的习题集。弗吕格1933年在玻恩处获得博士学位，1956-1984年间编辑了Handbuch der Physik共54卷，足见其理论物理功底之深厚。流行的弗吕格习题集指的是Siegfried Flügge, Practical Quantum Mechanics, Vols. 1-2, Springer (1971), 此为Siegfried Flügge，Rechenmethoden der Quantentheorie：Elementare Quantenmechanik - Dargestellt in Aufgaben und Lösungen (量子理论的计算方法：用习题与解所表达的基础量子力学), Springer (1965) 一书的英文版。实际上，早在1952年弗吕格就有合著Siegfried Flügge, Hans Marschall, Rechenmethoden der Quantentheorie (量子理论的计算方法), Springer (1952)。把这样的一本量子力学经典单纯理解成习题集，实在有些不够严肃。Practical Quantum Mechanics被汉译为《实用量子力学》。

有趣的是，在几位量子力学创造者之外也有人在第一时间就写出了量子力学著作，且可能是世界上第一本量子力学著作。George Birtwistle (1877-1929) , a quite-unknown Cambridge don (一位岌岌无名的剑桥老师), 1928年就出版了The New Quantum Mechanics (Cambridge University Press) 一书，序言所署日期为1927年10月1日。与此相对，外尔1928年书中的序言所署日期为1928年8月，可见Birtwistle的《新量子力学》成书时间更早，笔者几乎可以认定它是第一本量子力学著作。这是剑桥大学在物理教学方面对新生的量子力学的响应。考虑到Birtwistle在剑桥大学教授过原子物理与量子论，出版过 The Quantum Theory of the Atom (原子的量子论), Cambridge University Press (1926), 这一切就好理解了。如果再考虑到是剑桥大学的金斯1914年出版了第一本量子论的书 [Report on Radiation and the Quantum-theory, “The Electrician” Printing & Publishing (1914)]，就更好理解了。

本书章节目录

作者序

关键人物姓名年表

德语区学术制度简介

量子力学初创时期创造者们的量子力学专著

预备篇之一普朗克常数h的四个来处

预备篇之二量子力学——哥廷恩出品

第0章第一篇量子力学论文

0.0 引言

0.1 玻恩论文译文

0.2 补充说明

第1章玻恩——连接经典时代物理与近代物理的思想桥梁