女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
本文讨论一种用于创作一笔画的密铺拼块系统，这类曲线因其美感、文化意义和数学内涵而受到研究。文中探讨了拼块类型及其设计，并分析了单笔性（unicursality）。文中还介绍了创作大尺寸图像的方法，使艺术家能够利用数字计算机的强大功能，并弥补手绘的局限性。本文收录了若干采用该技法创作的艺术图像。虽然本研究主要基于方形拼块，但也考虑将其扩展至其他拼块形状。
本作品受已故的达拉·查维（Darrah Chavey）[4]研究的启发。在2013年Bridges会议上，他展示了受名为“索纳”（sona）的绘画启发的墙纸设计作品。索纳（复数形式，单数为lusona）通常是一笔画（以单一连续笔触绘制），并包含一个点阵网格。图1（a）展示了一个示例，图1（b）则使用本文所讨论的系统，重现了查维作品中的一幅示例插图。从几何学上看，索纳与印度的科拉姆（kolam）图案相似，图1（c）展示了一个科拉姆图案示例[9]，图1（d）为其重现图。笔者的兴趣在于使用拼块以数字方式创作这类图像的单笔版本。关于索纳的开创性著作，很可能是格德斯（Gerdes）的著作[5]。此外，对使用拼块创作图像感兴趣的读者，也可参考博施（Bosch）的作品[3]。
图1：索纳（sona）与科拉姆（kolam）绘图示例。
拼块系统
笔者所开发的拼块系统，是在尽可能还原本土文化作品中创造力的同时，兼顾计算机所提供的精度与自动化能力之间的一种折中方案。因此，笔者使用了Ultra Fractal程序，在该程序中拼块以分形着色公式的形式实现。图2展示了基于查维（Chavey）研究成果所使用的五种方形拼块。拼块边界以蓝色显示。每个拼块的中心均带有一个可选点，以复现非洲和印度绘画中的那种感觉。笔者希望这些拼块能得到最大限度的利用，因此拼块上的曲线段以45°角从边的中点出入，从而使曲线在各拼块之间能够平滑延续。曲线段由圆弧构成，以方便计算并获得更加平滑的图像。
图2：方形拼块：（a）水滴形（drop），（b）透镜形（lens），（c）凸起形（bump），（d）风筝形（kite），（e）菱形（diamond）
单笔性分析
虽然并非普遍要求，但笔者希望笔者的图像具有单笔性，因此笔者需要一种方法来分析待定图像，并判断其曲线是否确实是单笔的。对于小尺寸图像（如图1所示），手工描摹曲线就足够简单了。然而，对于更复杂的图像，这可能是一项相当艰巨的任务，因此需要一种计算方法。为此，笔者首先需要获取拼块的坐标数据。幸运的是，Ultra Fractal允许将图像参数保存为文本文件。笔者将这些数据清洗后载入电子表格，在其中提取每个拼块的类型、在图像中的位置以及旋转角度。然后将这份列表读入另一个独立的程序中，该程序将曲线“构建”为一系列数组。程序选择一个初始点，并追踪每个拼块上的每个线段，直至曲线闭合。如果这条曲线用到了所有拼块上的所有线段，则该图像是单笔的。如果用完所有线段却生成了多于一条的曲线，则该图像不是单笔的。在这种情况下，就需要开始调整拼块布局，以使新的结果满足单笔性，同时又不失原始拼贴的精神。为便于此过程，笔者编写了分析程序，使其输出所找到曲线的路径，以便进行绘图。
举例而言，请观察图1（b）中的曲线，从左上角开始。该水滴形拼块包含一个曲线段，且拼块经过旋转，使得该线段在该拼块右侧边的中点处起始并结束。随后，程序会检索所有15个拼块及其他35个曲线段，以查找哪个入口点与该出口点匹配。除了位置匹配外，曲线还必须保持方向一致，以及曲线的整体走向（在本例中，即逆时针方向穿越左上角拼块，从右侧边向上方穿出）。接下来，程序会将风筝形拼块的曲线元素识别为下一线段，并继续这一过程。实际上，该图像会产生两条曲线，一条在左上角逆时针方向运行，另一条则沿顺时针方向运行，两者使用相同的线段但顺序相反。这两条曲线只是同一曲线的两个不同版本。
创作任意大尺寸的曲线
除了创作如图1（b）那样的小型曲线外，笔者还希望利用这一系统来创作大尺寸曲线，使其适合作为精致的艺术品来展示。幸运的是，有一些简单的技巧可以用来从小型构件出发创作出更大尺寸的曲线。
图3（a）展示了两条单笔曲线。在图3（b）中，两条曲线各自中心处的两个风筝形拼块被替换为菱形（红色），从而将两条曲线合并为一条。这条新曲线是单笔的，因为原来的两个组成部分各自都是单笔的，且两者之间只有一个连接点。你可以先描画上方的曲线，当它离开上方的红色菱形时，它会“绕行”经过下方的曲线。由于下方曲线本身也是单笔的，这段绕行会在起点处结束，然后你可以继续在上方曲线中描画。然而，在合并多条曲线时必须小心。连接点过多可能会破坏单笔性，如图3（c）所示。这里，两个连接点生成了两条独立的曲线。在这种情况下，可以通过设置三个连接点来解决（图3（d）），这样会产生一条单笔曲线，但其给人的感觉与原来的两条曲线（图3（a））有所不同。
图3：示例，展示多条单笔曲线如何合并为一条更大的曲线：（a）两条单笔曲线，（b）在一个点处连接，结果为一条单笔曲线，（c）在两个点处连接，结果为非单笔曲线，（d）在三个点处连接，结果为单笔曲线。
这种技巧可以无限延续下去，只要多个连接点不破坏单笔性即可。例如，图4（a）展示了六条曲线连接在一起（以红色拼块标示），与图3（b）中的方式类似。由此产生的大曲线同样是单笔的。你可以沿着曲线描画，观察它如何从一个组成部分移动到另一个组成部分，再返回。图4（b）则呈现了一条更大的单笔曲线，由四个较小曲线的连接版本组合而成。此外，为了艺术效果，负空间也被着色了。
图4：示例，展示两个层次的连接：（a）六个单元连接成一个方形单笔曲线，（b）四个方形曲线副本连接成一个更大的方形单笔曲线。
准分形曲线
这一思想的延伸是创造自相似的准分形曲线，运用了密铺和几何剖分的思想。图5（a）展示了L形和T形四格骨牌[10]，说明了它们各自如何由四个正方形组成，以及每个四格骨牌如何能用一条由四个拼块构成的单笔曲线来表示。在这两种情况下，四个四格骨牌副本都可以组装成一个更大的正方形（图5（b））。然后，四个更大的正方形可以排列成一个大的四格骨牌副本，依此类推。图5（c）展示了这两种形状的第二次迭代，其中四条由四个拼块构成的单笔曲线被连接起来，形成一条填充正方形的曲线。再将其中四个连接起来，构成一个更大的四格骨牌副本，最后将四个这样的副本连接起来，形成最终的大正方形。彩色叠加层显示了较大的四格骨牌以及它们如何铺满正方形。
图5：使用四格骨牌创建准分形单笔曲线：（a）带有小曲线的L形和T形四格骨牌，（b）将小曲线组合成较大的曲线，（c）用较大的曲线铺满正方形。
基于林德迈尔系统（L-system）分形[7]创作单笔曲线，使用透镜形、凸起形和水滴形拼块的组合尤为便捷。图6（a）和6（c）分别展示了希尔伯特曲线和皮亚诺曲线分形的低迭代版本。图6（b）和6（d）则是它们对应的单笔表示。在这种方法中，透镜形拼块沿着线段的流向布置，凸起形拼块提供转角，水滴形拼块则作为线段的端点并为曲线提供折返点。扩展至更大尺寸的曲线相对直接，只需遵循底层分形的迭代过程即可。
图6：希尔伯特和皮亚诺分形曲线的单笔表示：（a）希尔伯特曲线，（b）单笔版本，（c）皮亚诺曲线，（d）单笔版本。
饰带图案与墙纸图案
由于拼块种类较少，单笔曲线通常会呈现出对称区域和图案重复区域。这就引出一个问题：给定的图案是否可以无限延伸，同时仍然保持单笔性。图7展示了两个可以延伸的方形曲线示例。（在图7和图8中，红色拼块表示可无限复制的基本单元，蓝色拼块表示特定的边界条件，不参与复制。）图7（a）展示了一条内部完全由菱形拼块构成的曲线。然而，通过成对使用凸起形拼块并在边缘处使用单个水滴形拼块，该图案在n为奇数时的n×n方形区域内是单笔的。布置水滴形拼块时需小心，避免过多的对称性。图7（b）展示了一种类似分形的星形图案。其基本单元（曲线顶部的红色拼块）是围绕一个菱形的四个水滴形拼块。然而，当星形相互连接时，内部的水滴形拼块被替换为透镜形拼块，并在每个星形之间增加一个菱形拼块。
图7：可在两个维度上无限延伸的方形曲线：（a）具有不对称边缘的菱形方形曲线，（b）星形曲线。
图8展示了可无限延伸的单笔饰带图案示例。图8（a）是一行由风筝形拼块界定的水滴形拼块。蓝色透镜形和凸起形拼块建立了必要的对称破缺，红色列标示了待复制的组块。对于任意数量的额外列，该曲线均为单笔曲线。图8（b）是一个由两个透镜形和两个风筝形交替出现、再与四个风筝形交替的图案。重复单元是红色四列组块，这与带状图案宽度为四行相对应。如果使用更宽的条带，则重复组块需要更长。图8（c）展示了两个条带，每个条带均由凸起形拼块和一对终止水滴形拼块组成。在上方的条带中，两个水滴形拼块指向同一方向，且内部列数为偶数。下方的条带则有一列边界凸起形拼块（蓝色），且水滴形拼块指向相反方向。在这两种情况下，重复组块均为两列共四个凸起形拼块。
图8：可在一维方向上无限延伸的带状图案示例：（a）风筝形与水滴形，（b）风筝形与透镜形，（c）凸起形拼块。
艺术图像
图9中的“单笔 I”和“单笔 II”是早期尝试，旨在以对称拼块布局创作方形单笔图像。两者均采用基于曲线段的着色方法，便于追踪曲线。实现起来相当繁琐，但在笔者看来效果非常出色。
图9：两幅方形对称艺术图像，均由作者创作：（a）“单笔 I”，（b）“单笔 II”。
图10（a）中的图像“挂毯”令人联想到装饰性挂墙织毯或地毯。在这幅作品中，笔者在顶部和底部边缘使用了水滴形拼块来表现流苏，并将曲线染成金色，以暗示金线刺绣。内部行结构是一项研究，旨在探讨如何在拼块布局中创造足够的不对称性，从而只需最少的调整即可实现单笔性。整幅图像共有三种行类型；从底部开始（位于水滴流苏之上），有一行类型1，两行类型2，接着两行类型3。再往上，则以类型组为单位（三行类型1、三行类型2，以此类推）向上推进。为了确定布局，笔者使用了三元科拉科斯基序列（Kolakoski sequence）[1]。这是一个自指序列，其开头为：1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 2，其中每个元素表示由1、2或3组成的连续段的长度。这些数字编码了每行应使用的拼块组类型。由于该序列不重复，因此相对容易避免对称性，并实现单笔曲线。
与此类似，图10（b）中的“方形波罗米安环”是著名三环[11]的一种单笔表示。尽管颜色暗示了环之间的链接关系（红色压在绿色之上，绿色压在蓝色之上，蓝色压在红色之上），但整幅图像实际上是一条单笔曲线，与颜色无关。创作这幅作品颇具挑战性，因为矩形环通常具有高度对称性，难以进行调整。因此，笔者采用了与“挂毯”相同的序列方法，沿着环带的各行和各列改变拼块布局。尽管图像中包含超过一千个拼块，但只需进行少量调整即可达到单笔性。关键在于知道将这些调整放置在何处！在蓝色环的右上角附近有一处调整，那里的视觉间隙长达四个拼块，而非序列所提供的最大三个拼块。图10（c）为中心部分的放大图，展示了细节。
图10：作者创作的艺术图像，使用非重复序列以实现单笔性：（a）“挂毯”，（b）“方形波罗米安环”，（c）“方形波罗米安环”中心局部。
迄今为止所展示的图像仅突出了曲线和拼块中心处的点。这些点是为了向非洲和印度文化中分别创作的卢索纳（lusona）和科拉姆（kolam）图像致敬。然而，这些点可以移除，而负空间则可以加以突出以增加艺术趣味。图11展示了同一单笔曲线的两个版本。它由16个经过旋转和翻转的组件构成，每个组件按顺序与下一个相连。虽然面板（a）中显示了曲线和点，但视觉上的趣味更多来自于曲线段之间空间的着色。此外，组件曲线以4×4数独方式排列，使得相同的朝向（箭头方向及红色和蓝色菱形的位置）在每行或每列中仅出现一次。第二个版本（面板（b））则省略了这些点，增加了更多颜色，并让单笔曲线在背景中得以隐约呈现。
图11：两幅突出负空间而非曲线的艺术图像（作者创作）：（a）“四乘四 I”，（b）“四乘四 II”。
扩展
迄今为止所讨论的工作基于五种方形拼块。未来的工作可以在这一基础上进行扩展，使用更多的方形拼块和不同形状的拼块。额外的方形拼块可以采用不同的设计标准，例如每个拼块具有更多的曲线段或不同的边界约束条件。此外，由于等边三角形和正六边形同样可以铺满平面，这些形状也可以用作拼块。在图12（a）中，笔者展示了三种三角形（带有蓝色边界）和六种六边形拼块设计（为清晰起见去除了边界）；面板（b）和（c）展示了这些拼块集中的两种铺砌方式。又或者，可以包含其他形状并支持阿基米德铺砌。笔者在之前关于推广特吕谢（Truchet）拼块[6]的工作中曾探索过这些想法。非正多边形拼块也可能值得考虑，例如瘦菱形和胖菱形彭罗斯拼块[8]。
图12：三角形和六边形拼块及单笔曲线示例：（a）三角形网格拼块（上）和六边形网格拼块（下），（b）三角形网格曲线示例，（c）六边形网格图像。
除了拼块集合之外，在创建和分析特定铺砌方面还有更多工作可以做。例如，随机铺砌能否实现单笔性？三维或更高维度可以做出什么样的铺砌？最后，还有哪些艺术渲染方式可以应用？艾哈迈德和多伊森（Ahmed & Deussen）[2]关于使用线条进行半色调图像处理的工作或许在此能有所用武之地。
结论
本文提出了一套使用拼块创作单笔曲线的系统。在数字环境中，这比手绘曲线能够实现更高的精度和更大的规模。文中展示了多种组合和扩展基础曲线的方法，并附带了艺术考量以及作者本人的作品。最后，提出了对未来工作的建议。
参考文献
[1] “A079729 Kolakoski-(1,2,3) sequence: a(n) is the length of the n-th run.” https://oeis.org/A079729.
[2] A. G. M. Ahmed, O. Deussen. “Amplitude Modulated Line-Based Halftoning,” EG UK Computer Graphics & Visual Computing, 2016. https://www.mathemaesthetics.com/HilbertCurves.html.
[3] R. Bosch, I. Snyder. “A New Tile-Based Method for Constructing Single-Line Drawings.” Bridges 2023: Mathematics, Art, Music, Architecture, Culture, pp. 37–44.
https://archive.bridgesmathart.org/2023/bridges2023-37.html
[4] D. Chavey. “Wallpaper Designs of Mirror Curves Inspired by African Sona.” Bridges Conference Proceedings, Enschede, The Netherlands, Aug. 9–13, 2013, pp. 345–352.
https://archive.bridgesmathart.org/2013/bridges2013-345.html.
[5] P. Gerdes. Sona Geometry from Africa, Polimetrica, Milano, Italy, 2006
[6] K. Mitchell. “Generalizations of Truchet Tiles.” Bridges Conference Proceeding, virtual, Aug. 1-5, 2020, pp. 191–198. https://archive.bridgesmathart.org/2020/bridges2020-191.html.
[7] G. Ochoa. “An Introduction to Lindenmayer Systems.” https://www-archiv.fdm.uni-hamburg.de/bonline/e28_3/lsys.html.
[8] “Penrose Rhomb.” Tilings Encyclopedia. https://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution/penroserhomb/
[9] G. Siromoney. “South Indian Kolam Patterns.” Kalakshetra Quaterly, vol. 1, no. 1, 1978.
[10] “Tetromino.” Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Tetromino.
[11] E. W. Weisstein. “Borromean Rings.” https://mathworld.wolfram.com/BorromeanRings.html.
[12] Kerry Mitchell, Creating Unicursal Curves Using Tiles
最后照例放些跟张大少有关的图书链接。
青山 不改，绿水长流，在下告退。
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