|作者：汪克林1 曹则贤2，†
(1 中国科学技术大学近代物理系)
(2 中国科学院物理研究所)
本文选自《物理》2026年第7期
摘要狄拉克要求相对论量子力学方程是线性的、且满足相对论质能关系从而得到了狄拉克方程，为此引入了4×4矩阵形式的系数，相应的波函数取4-分量的形式。在狄拉克方程的语境中，电子自旋归于相对论效应，从对解的诠释还引出了正电子的概念。然而，为方程中的系数选取4×4矩阵形式及其具体表示并没有原理性的支撑，且把波函数理解为4-分量也值得商榷。文章中，作者通过引入4组独立的产生—湮灭算符{(bk,bk+),k=0,1,2,3}，得到狄拉克方程的新表示。这样做不仅规避了为什么要为系数选择4×4矩阵的问题，也消解了狄拉克原方程中系数不等价的问题。相对论质能方程要求产生—湮灭算符(bk,bk+)满足反对易关系，这直接决定了由此引入的“自旋”是个二值的内部自由度，这解释了为什么狄拉克理论只有S=1/2的情形。新形式下角动量的外部部分和“自旋”具有相同的形式，角动量和哈密顿量都表现出外部自由度(满足对易关系)与内部自由度(满足反对易关系)之间的耦合。新形式的狄拉克方程消除了对4×4矩阵形式的需求，至少会让后续的量子场论计算变得简单。此外，作者注意到狄拉克、薛定谔在1926—1930年这段时期对量子论中的复数共轭、电荷共轭、内部自由度等观念以及它们之间的关联都有深刻、正确的认识。文章还针对相对论量子力学方程诠释所涉及的复共轭、电荷共轭、内部自由度及其与运动变量之间的耦合、方程要素应遵循的代数结构等问题进行简短的讨论，以期有助于正确理解相对论量子力学。
关键词狄拉克方程，相对论质能关系，产生—湮灭算符，对易关系，反对易关系，内部自由度，复共轭，电荷共轭，反粒子
1 引 言
狄拉克方程是量子力学的标志性存在，由狄拉克于1928年推导出来[1]。最初构建的满足相对论变换的量子力学方程是1926年的Klein—Gordon方程[2，3]，但因为有概率不守恒和不能纳入电子自旋等问题，故到1934年才被当作光子的场方程重新得到重视。负概率来自Klein—Gordon方程中含有关于时间的二阶微分。狄拉克认为，Klein—Gordon方程在关于位置诠释时可以回答任意动力学变量在给定时刻处于一定范围内的概率的问题，但在关于动量、角动量或者别的动力学量诠释时却不行。狄拉克在构造相对论波方程时，注意到从前的量子理论的不完备性在于其与相对论，或者说与一般变换理论不符。既然要求量子理论关于p0，即iℏ∂/∂t，是线性的，那么关于p1, p2, p3也应是线性的。我们注意到，这实际上是要求粒子动能具有类光子的色散关系E=pu，其中u是物质波的速度，这恰是物质波概念的内涵[4]，薛定谔在1926年构造他的方程时用到了这一点[5]。
为了让量子力学方程满足一般变换理论，可假设薛定谔方程
中的哈密顿量H具有如下线性形式：
取c=1，哈密顿量可简写为
这里的系数α，β的意义，根据狄拉克，是独立于时空坐标因而与4-动量对易的动力学变量或者算符。接下来的任务是确定α，β的性质与表示。将这种形式的哈密顿量代入薛定谔方程(1)中，取平面波形式的解ψ=ei(p∙x-Et)/ℏ，得到方程：
注意这里已预设α1, α2, α3; β具有乘法不可逆的性质。欲得到相对论质能关系相对应的结果，则要求：
记α4=β，(5)式也可以写为
这表明α，β需满足反对易关系，一些特殊的矩阵可以满足这样的要求。
根据(5)式，拟选取的矩阵α，β应具有如下性质：
(1)因为哈密顿量H是厄米算符，这要求算符α，β也是厄米的，矩阵形式的α，β只能是方阵；
(2)反对易关系要求α，β必是偶数维方阵；
(3)α，β是四个独立的N×N矩阵。
综合上述考虑，必然要求N≥4。考虑最简单的N=4的情形，可做如下选择：
其中σ是泡利矩阵，
，得自角动量代数与四元数的表示[6]，I 是2×2单位矩阵。
不过不妨碍得到(7)式那样的α，β的具体表示。为α，β选择4×4方阵形式的一个后果是，波函数必须是4分量的形式，即：
就选取的α，β矩阵以及波函数ψ的形式而言，这是对泡利1927年得到泡利方程的工作的拓展[6]。
狄拉克的相对论量子力学波方程的一大胜利是由其可自然地导出电子的自旋。电子不只是一个有质量的点电荷，它还有固有磁矩，故被赋予了一个自旋角动量。狄拉克发现在线性的哈密顿量下，自由电子的角动量也不是运动常数，必须要加上一个固有的角动量才构成运动常数。这个固有的角动量便可以解释为自旋角动量。
不考虑相对论，量子力学中的角动量分量算符为
由于空间的各向同性，角动量是守恒量。现在，在相对论哈密顿量(2)下，角动量还守恒吗，或者说角动量和哈密顿量还是对易的吗？狄拉克在海森堡图像下分析这一问题。以分量为例，
可见角动量分量与H不对易，
根据(12)式可以计算自旋角动量的时间变化,
这样，电子具有自旋角动量就成了相对论要求的必然结果。这被看作是狄拉克方程的一大胜利。
2 关于狄拉克方程的思考
狄拉克方程建立至今已近一个世纪，在物理学中扮演着十分重要的角色。量子场论关切微观粒子与光的作用，其中关于粒子量子特性的表述就是建立在狄拉克方程基础之上的。任何量子物理问题在考虑相对论效应时，都依据狄拉克方程。然而，这个理论确实存在一些可訾议之处：
(1)狄拉克在构建方程时，认识到α，β必须是偶数维N×N矩阵，且N≥4。但是，为α，β选取4×4的矩阵以及(7)式那样的具体表示并不是基于严格的物理考量得出的必然结果，而是作为一种带有随意性的合适选择。虽然这样的选择带来了很多正确的内容，但是作为基础性的东西则不是那么令人信服。用狄拉克自己的话说，为什么自然要这样选择(Why nature should have chosen this…)？作为相对论量子力学之出发点的基本方程，按说不应该包含任何仅仅是试探性选择的内容，这让理论缺少坚实的基础。
(2)如此选择系数α，β的后果是要求波函数有四个分量。关于这四个分量，狄拉克将其分为自旋的两个特征值与正能态/负能态的组合。但是，负能态在物理上是令人无法接受的。狄拉克继而又假设负能态被填充，负能状态海中的空穴携带与电子相反的电荷，这个正电荷一度被认为是质子[7—9]。最后，狄拉克提出了正电子诠释[10]，且正电子很快就被观测到。这被理解为负能态对应反粒子。然而，温伯格就提出玻色强子也有反粒子，但它们没有电子那样的负能态，将反粒子与负能态联系起来不是普遍的[11]。其实，所谓的四分量波函数，在具体问题的解中所表现出来的差别是平凡的；那不是4个分量，或许只是反映了量子力学的一些固有对称性，这一点薛定谔在1930年就明确指出来了[12]，讨论见下。
当作自旋角动量是不易令人接受的。如果它不是微观粒子的转动，那么这个角动量又从何而来？把它说成是内禀角动量，是粒子的某种固有属性，只是掩盖了问题。这种固有属性为什么会和角动量(作用量)类似，为什么可以和外部动力学量r×p相加组成总角动量这个运动常数？这个相加操作也值得审视。当自旋被作为4×4矩阵引入以后，与其相加的r×p似乎未见改造为4×4矩阵形式。
(4)对引入的“内禀角动量”或曰自旋取半整数
基于上述考虑以及我们过去发展表示理论过程中的思考[13—15]，我们于是萌生了一个想法，是否可以在狄拉克之深刻思想的基础上，即坚持方程是线性的且符合相对论质能关系的原则，在引入α，β这一环节上对方程进行改造，看看是否能消除狄拉克理论中的一些缺乏坚实基础的问题或者说不协调的地方。我们希望，对狄拉克方程的重新表述可让狄拉克方程建立在更坚实的基础之上，且形式上更显一致、合理，甚至能带来一些新的理解。
3 狄拉克方程的新表述
狄拉克理论的问题集中在α，β上，它们先是作为纯系数引入，后又被赋予矩阵形式以满足加于其上的要求。在改造狄拉克方程时，我们直接把它们明确地设为物理算符，然后去思考它们该是什么样的算符。
将狄拉克方程中的哈密顿量直接改造为如下形式：
暂且看作是四个独立的系数。现在根据狄拉克的推演方式，确定这些算符应该具有什么样的性质。将(15)式代入薛定谔方程，同时寻求平面波解，得：
，得到方程：
容易看出如下条件：
将方程(17)约化为
此方程中作用到波函数上的算符，如狄拉克所要求的那样，符合相对论质能关系。
那么，什么样的算符
关系式(20)与关系式(18)是等价的。我们用四组独立的反对易产生—湮灭算符便可以替换狄拉克理论中的矩阵系数α，β。
狄拉克理论的一个亮点是证实自由电子的角动量在相对论哈密顿量下不再是运动常数，而是必须加上一个半量子数的自旋角动量。有必要证明在新形式的哈密顿量下，角动量也不是运动常数，但加上一个合适的、内禀的量后就变成运动常数了。在哈密顿量(15)式下：
可见角动量不是守恒量。引入一个新矢量S，
满足：
由此可见
我们看到，直接引入四组独立的反对易产生—湮灭算符可以规避为什么要为α，β选择4×4矩阵的疑问，还带来了一些新的认识。一个明显 的优点是解决了狄拉克理论中角动量r×p与自旋角动量形式一致的问题。
在狄拉克的表示中，α分量的不等价也意味着理论有不协调的地方，其与动量的耦合意味着三维物理空间的物理在不同方向上会有所不同。在我们的表示中，动量各分量的系数有形式上的等价，即便是mc2项的系数也具有严格相同的形式。这消除了形式上不协调的问题。
再者，费米型算符的反对易关系从何而来，在过去的量子理论中未被认真论证过。Fetter & Walecka的一书中有阐述[16]，大意是如果服从反对易关系，占据数只能是0或1，必然能保证整个计算过程中都不违背泡利不相容原理。但是，这不说明反对易关系是保证遵守不相容原理的唯一可能。特别地，迄今没有理论指出有什么基本物理原则要求费米子的产生—湮灭算符必须遵守反对易关系。此处的新形式相对论量子力学方程，是从构造满足相对论质能方程的量子理论来要求系数算符必须满足反对易的关系的，且这个反对易关系直接与粒子的内部自由度挂钩。当然，狄拉克的工作一开始就有相对论质能关系要求反对易关系这个内容，但却归于狄拉克矩阵间的反对易关系了。
新表述形式还便于揭示电子的内部结构。把哈密顿量中的动量算符用满足对易关系的产生—湮灭算符{ak+, ak ; k=1, 2, 3}表示：
其中Δ是一个量纲为动量的参数。将(24)式代入哈密顿量表示中：
相应地，总角动量的表示为
这样的描述中既含有满足反对易关系的算符(对应费米子)，也含有满足对易式的算符(对应玻色子)，且它们之间显然存在耦合。由此或可推演一些新的含义，比如：
(1)一般的粒子如质子、中子、μ-子都是具有两种量子统计特征的组合体[17]，这就显得可以理解了；
(2)在1930年的论文中[12]，薛定谔就认为粒子同时具有外部自由度和内部自由度，且两者之间有能量—动量交换。但是，长期以来，内部自由度除了有一个“自旋”的名称以外，并未挖掘任何深刻的内容，甚至没有形式的表述。现在可以说，电子的内部自由度是遵从反对易关系的量子特征，且以具体形式在哈密顿量和角动量中表现出与外部变量间的耦合。
4 关于狄拉克方程及其诠释的更多讨论
在1928年的论文里[1]，狄拉克指出我们必须有坐标和动量之外的动力学变量，使得α，β是它们的函数，波函数则必须涉及坐标之外的变量。狄拉克用ζ笼统地表示坐标以外的动力学变量，把波函数写为ψ(x,t, ζ)。在1930年的文章[12]中，薛定谔也把哈密顿量写成H=α1p1c+α2p2c+α3p3c+α4mc2的形式。薛定谔认为这个哈密顿量的特别之处在于它消解了速度与动量之间的平凡关系(den trivialen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Impuls aufgehoben)。速度概念从动量概念中解放出来了(hat sich der Geschwindigkeitsbegriff vom Impulsbegriff emanzipiert， verselbständigt)。α作用到波函数所依赖之第五个变量ξk上。这个第五维度只有四个分立值，它是个指标。每一个ψ-值以四个不同的指标而存在(jeder Wert existiert noch mit vier verschiedenen Indizes)。我们认为，这正说明波函数不是有四个不同分量，而是那里有个结构，内禀的结构。受Breit把αc理解为速度的启发[18]，薛定谔从狄拉克方程还引出了颤动(Zitterbewegung)的概念，把内部位置统计(innere Lagenstatistik)ξk与自旋关联起来。这样，自旋就成了一种内部运动。更多关于内部自由度的讨论，参见Fock和Schrödinger[19，20]。这些都表明，福克和薛定谔等人认识到狄拉克把波函数写成4-分量形式只是一种选择，背后的物理是粒子存在内部自由度，而描述粒子的相对论量子力学波方程具有某种内部结构。
狄拉克相对论量子力学方程面世以后，其所带来的一个热闹话题是所谓的负能解。负能量的概念是对能量概念的曲解，这一点在作者之一的长篇文章中有论述[21]。一般文献中会讲述狄拉克最终不得不在1931年把正能解/负能解转化成了正能量下的粒子与反粒子的解，从而预言了正电子的存在。然而，我们注意到，狄拉克在其1928年论文[1]的第三页上就注意到了对Gordon方程的波函数取复共轭等价于用-e代替e，他并且断言：“正确的相对论波方程，其解会分裂为两个不组合的集合(non-combining sets)，分别对应电荷-e和电荷e。”分别对应电荷-e和电荷e两个不组合的集合，那么这个集合应该有两个元素。
有趣的是，在1926年的一篇文章中，狄拉克讨论了-1的两个根的等价性问题[22]。在那里他还提及了h→-h替换，而这和他后来所谓的负能解如出一辙。狄拉克认为，从任何(量子力学)方程，当将i换成-i且与此同时把h换成-h；或者颠倒方程中各因子的顺序且与此同时把h换成-h；或者这两个操作都实施，那等价于颠倒各因子的顺序且与此同时把i换成-i，都可以得到另一个方程。奇怪的是，明明在1928年以前狄拉克就注意到了e→-e替换的问题以及量子力学必须用复数而复数表示中有i→-i共轭的问题，这些都是理解他的方程解的正确着力点，但他本人却偏偏纠结于所谓的负能解，令人十分费解。顺便说一句，e→-e替换后来被称为电荷共轭。
关于狄拉克方程负能解所引出的一些不恰当的地方，一开始就有讨论，但似乎不是认识到负能量本身的说法在物理上是错误的。奥本海默在1930年明确反对狄拉克的质子是狄拉克方程负能解所描述粒子的说法[23]。1934年Furry & Oppenheimer[24]以及Pauli & Weisskopf[25]的文章都表明，量子场论自然纳入反物质的思想，可以令人满意地描述粒子和反粒子的产生—湮灭，无需引入未观测到的负能量粒子。粒子—反粒子可看作各种量子场的并存等价量子(coequal quanta)。
再后来，除了认为有正能解—负能解并存的说法以外，1941年Stueckelberg[26]和Feynman[27]把正电子解释为沿负时间方向运动的电子以取代正电子是负能量的电子的说法。这意思是把“e→-e替换理解成E→-E 替换”给改成把“e→-e替换理解成t→-t 替换”。这种不顾物理概念的本义以及整个物理框架的内在自洽性而故弄玄虚的做法，是否合适，见仁见智。我们注意到，在波函数的相因子表示中的eiEt/ℏ，取复共轭i→-i形式上等价于E→-E，或者h→-h (Dirac)，或者t→-t (Stueckelberg，Feynman)，这是电荷共轭这个物理实在被抹上负能量或者负时间污泥的原因(幸亏负普朗克常数的说法属于一眼错)。电荷共轭此一自然奥秘从理论上被揭示，来自量子理论中的复共轭。作为的±i的等价性问题，薛定谔是注意到这个问题的，他在1923年和1926年的两篇重要论文中都是使用或者±i，但是没有深入讨论。在《云端脚下》一书[28]中，本文作者之一指出一个代数方程的所有根都是等价的。将x2=-1的根引入数的表示中，产生了二元数的代数结构。±i的对称性意味着复共轭在复数中起到特殊作用。狄拉克将形为Fψ=0的方程乘上算符F的自伴随算符F+，恰是通过要求F+Fψ=0中的F+F算符满足相对论质能方程，才得出了线性算符F中的系数应为反对易矩阵的，反对易关系导致揭示出一个二值的内部自由度。量子力学的算子与波函数从一开始就遵循二元数代数，算符复共轭加上电荷共轭保方程不变，这就意味着若这样的理论是正确的，自然界中必有反粒子。
5 小 结
我们用四组独立的产生—湮灭算符{(bk, bk+), k=0, 1, 2, 3}取代狄拉克方程中的α，β矩阵，得到了狄拉克方程的一种新的表示形式。这样做不仅规避了为什么要为α，β选择4×4矩阵的问题，还带来了对问题的新的认识。这样得到的狄拉克方程中的系数具有形式等价性。相对论要求算符(bk, bk+)满足反对易关系式，而这决定了由此引入的“自旋”是个二值的内部自由度，这解释了为什么狄拉克理论只有S=1/2的情形。新形式下角动量的外部部分和“自旋”具有相同的形式，角动量和哈密顿量都显示薛定谔曾论及的外部自由度(满足对易关系)与内部自由度(满足反对易关系)之间的耦合。狄拉克方程的新表示形式消除了对4×4矩阵形式的需求，这至少会让后续的量子场论计算变得简单。相对论量子力学方程涉及复共轭、电荷共轭、内部自由度及其与外部运动变量之间的耦合、方程要素应遵循的代数结构等问题，对这些问题本文只是作了初步的探讨。套用薛定谔的话说，自狄拉克方程引出的非常吊诡(strangely-bizarre)的关系，不管我们是否能得到结论性的结果[12]，都值得呈现出来。
在准备本文的过程中，我们还注意到狄拉克、薛定谔在1926—1930年这段时期对量子论中的复数共轭、电荷共轭、内部自由度等观念以及它们之间的关联都有深刻、正确的认识，这让狄拉克纠结于负能解这种错误概念一事显得难以理解，也让费曼的正电子是在时间中逆行的电子的说法显得苍白、无聊。特别地，薛定谔就指出狄拉克方程中的波函数不是有四个分量，而是一个波函数有四个指标。这些对于我们正确地理解相对论量子力学都有所助益。
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