普通人眼中的数学，常常意味着计算、公式和标准答案；数学家眼中的数学，却更像一片遍布暗门的世界：一个沉默了两百多年的错误、一种随处可见的对称、一块被切开的正方形、一条永远量不准的海岸线……都可能使他们兴奋不已。
电影《美丽心灵》中
数学家纳什和写满数学公式的黑板
吴振奎在《美妙的数学》中写道，人们对数学中许多美妙概念的探索，正如人们对美的追求一样，“从不间断、从不停歇”。
那么，数学家究竟会为什么鼓掌、惊讶，甚至耗费一生？下面这六个“兴奋点”，你能够“get”到吗？
01
三年的全部星期天，只换来几分钟掌声
1903年，纽约的一次科学报告会上，数学家科尔(S.Cole)走上讲台。他没有发表演说，只是在黑板的一边算出 (267-1)，又在另一边写下并算出：
193707721x761838257287,
两个结果完全相同。随后，科尔一言不发地回到座位，会场上却立刻响起热烈的掌声。据说，这甚至是该会场第一次。
为什么人们如此激动？因为法国人梅森曾在1644年列出一批他认为是质数的 (2p-1) 型数，其中就包括 (267-1)。这个判断在两百多年间几乎未被怀疑。科尔用一行乘法说明，它并不是质数，而是可以分解的合数。
梅森（Marin Mersenne，1588—1648）是法国数学家、神学家，以研究形如（2p-1）的质数闻名，这类质数后来被称为“梅森质数”。
这场报告只有几分钟，背后却是“三年的全部星期天”。在没有电子计算机的年代，科尔靠手工完成漫长、单调而极易出错的计算。
电子计算机问世后，类似计算的速度发生了巨变。1952年，人们只用48秒便找到了另一个梅森数 (2257-1) 的因子。
1963年6月2日，美国数学家唐纳德·吉里斯找到第23个梅森素数，发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系把所有从系里发出的信件都敲上了 “2¹¹²¹³ − 1是个素数” 的邮戳
工具改变了，寻找质数的热情却没有改变。因为每发现一个新质数、每推翻一个旧判断，都是在逼近整数深处尚未显露的秩序。
02
一片雪花，为什么能通往守恒定律？
我们最容易理解的对称，是左右相同：天安门、白宫、五角星、圆，以及六角形的雪花。但在数学家那里，“对称”远不只是好看。它意味着一种变换发生以后，事物的某些性质仍然保持不变。
古希腊人尤其钟爱对称。他们认为圆是最完美的图形，甚至把天体轨道也想象成圆。后来，开普勒发现圆形轨道无法解释观测结果，必须把圆换成椭圆。
开普勒对行星系统结构的解释
这个过程意味深长：对称可以引导发现，也可能因追求得过分而成为限制。数学家真正关心的，不只是“整齐”，而是变化之中究竟有什么没有改变。
这种思想一路延伸到现代物理：氢原子中电子的圆形轨道，可以看成原子核对电子作用力在各方向相同的结果；元素周期表的结构、反粒子的预测，也都与更深层的对称有关。
德国女数学家诺特更证明，“每一条守恒律都可视为某一种对称的结果。”每一守恒律均对应一个对称群，它描述了时空中的每一点的相关对称性，如经典电荷理论中的电荷守恒律，量子物理中的自旋守恒律等。
荷兰美术家埃舍尔的“骑士镶嵌图”中，通过多种对称方式叠加，形成一种更复杂的秩序之美。
自然界似乎巧妙地利用了对称定律的简单的数学表示。数学推理的内在的优美和出色的完善，以及由此而来的用数学推理去揭示物理学结论的复杂性和深度，是鼓舞物理学家的充沛源泉。自然界具有人们所希望了解的规律性。
03
把正方形当作电路，竟然找到了“完美”
什么是“完美正方形”？书中给出的定义是：把一个正方形分割成有限个小正方形，而且所有小正方形的大小彼此不同。
这个要求听起来像一道拼图题，真正做起来却异常困难。1923年，鲁兹维茨提出：一个矩形能否被分割成大小不同的正方形？问题引起学生们的极大兴趣。1925年，莫伦终于给出两个实例，证明“完美矩形”确实存在。
六种10阶完美矩形
1938年，剑桥大学三一学院的四名学生又作出一个令人意外的转向：他们把正方形的边长看成电流，把剖分关系转化为电路网络，并运用基尔霍夫定律和图论寻找答案。一道几何切割题，就这样接通了电学。
完美矩形被找到后，人们又追问：完美正方形存在吗？1930年，鲁金曾猜测它根本不可能存在。1939年，斯普拉格却构造出一个55阶完美正方形，直接推翻了这一猜想；几个月后，剑桥的四名学生又构造出28阶实例。1948年，最低纪录降到24阶。1978年，杜伊维斯廷最终找到一个21阶完美正方形，并证明低于21阶的完美正方形不存在。
左右滑动查看55阶、24阶、21阶完美正方形
从“不知道有没有”，到“找到一个”，再到“证明不可能更少”……解开问题的钥匙并不一定藏在原来的房间里：正方形的秘密，最后竟由电路和图论帮助揭开。
04
海岸线到底有多长？答案可能是无穷大
“英国海岸线有多长？”这似乎是一个查地图就能回答的问题，曼德布鲁特却从中看出了令人吃惊的麻烦。
测量海岸线时，人们总要先选定一个尺度，再用这个尺度沿海岸步测一周。尺子越长，许多细小湾岬就会被略过；尺子越短，测得的曲折越多，所得长度也就越大。
海岸线测量示意图
当测量尺度趋近于零时，海岸线的长度并不会趋近某个确定值，反而可能趋于无穷。问题不在于地图不够精确，而在于传统的“长度”概念未必适合这种不规则曲线。
科赫雪花把这种怪异表现得更加鲜明。先把一条线段三等分，去掉中间一段，再用一个等边三角形的两条边替代；随后对每一小段不断重复。若从一个等边三角形开始操作，就得到越来越精细的“雪花”。每重复一次，边界都会增长。最终，它的周长趋于无穷大，所围面积却趋于一个有限的定值。
科赫雪花无限放大
康托尔集同样挑战直觉：不断从线段中挖去每一段的中间三分之一，最后留下的点与整个 [0,1] 区间中的点“一样多”，其“长度和”却为零。传统几何难以描述这些对象，数学家便从这些被视为“病态”“怪异”的曲线和集合中，提炼出一门新数学——分形。
数学的迷人魅力，常常就藏在常识失效的地方。海岸线量不准，不是问题的失败，而是新概念即将诞生的信号。
05
七座桥走不通，却走出了一门新数学
哥尼斯堡城中有两个河心岛，岛与岛、岛与河岸之间共有七座桥。当地人反复尝试一个游戏：能否从某处出发，每座桥恰好走一次，最后回到起点？
人们不停地走，却没有一个人成功。欧拉听说以后，也产生了兴趣，但他没有亲自去桥上试路，而是把问题抽象、概括、转换、化简了：河岸和岛屿用点表示，桥用线表示。真实城市被抽象成一幅只有四个点、七条线的简单图形，原问题也随之变成：这幅图能否一笔画成？
欧拉发现，能够一笔画出的图形，能够一笔画出的图形奇点(经过该点的线或边的条数为奇数的点)个数只能是0或2；若还要求回到出发点，则必须没有这样的奇点。哥尼斯堡七桥图中却有四个奇点，因此这条路线不是暂时没有找到，而是根本不存在。
旧版10瑞士法郎纸币正面印着欧拉肖像
答案是“不能”，价值却远大于一条成功路线。欧拉于1736年宣读相关论文，这项研究后来促成拓扑学的发展，并在很大程度上推动了图论的创立。河流有多宽、桥有多长、道路弯不弯，全被舍去；真正决定问题的，只是点与线如何连接。
欧拉运用图论的方法还证明了著名的关于多面体顶点数K棱数E、面数F之间的关系式——欧拉公式:
V-E+F=2
由此人们发现了正多面体仅有五种：正四面体、正六面体(立方体)、正八面体、正十二面体和正二十面体。
柏拉图立体。自左至右依次为：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
在这里，数学不是把现实变得空洞，而是剥去无关细节，留下支配问题的骨架。七座桥没有被走通，但欧拉从桥上走进了一个全新的数学世界。
06
一条线，真的装得下一个正方形吗？
有限世界里，部分总比整体少：一条短线段上的点，似乎不可能与长线段一样多；正方形中的点，更不该与一条线段上的点一样多。然而进入无穷世界后，这些直觉会一一失效。
康托尔提出，无限集可以与它的一个真子集建立一一对应。例如，自然数与偶数看似一多一少，只要把每个自然数 (n) 对应到 (2n)，双方就能一个不漏地配对。
左：青年康托尔，右：晚年康托尔
康托尔进而指出，长短不同的两条线段所含的点一样多；从一一对应的观点看，单位正方形乃至更高维空间中的点，也能与一条线段上的点建立对应。面对自己得到的结论，他发出那句著名的惊叹：“我看见了它，但是我不相信它！”
康托尔没有把所有无穷混为一谈，而是创造“基数”或“势”来比较无穷的大小。他证明区间中的实数不可数，超越数比代数数多；又通过幂集构造出一个比一个更大的无穷。无穷从一个模糊的过程，变成可以分类、比较和运算的研究对象。
但新的秩序也带来新的难题。康托尔提出连续统假设：自然数的无穷与实数的无穷之间，是否不存在第三种大小？1900年，希尔伯特把它列为著名的第一个问题；科恩后来证明，在通常采用的集合论公理体系中，无法判定它的对错。
埃舍尔《手画手》是对集合悖论的最好诠释
美国科尼丽亚·凡·罗斯福私人收藏
试想当初人们对康托尔推出集合论时的非难情形，一切皆随时间的推移和数学的进展而烟消云散。
数学家希尔伯特认为“集合论”的产生是“数学思想最惊人万的产物，是纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一。哲人罗素也称康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最宏大工作”。
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