【解题研究】巧用重心“性质”——2026年上海中考数学第24题
在人教版数学八年级上册，我们在学习三角形中线之后，得到重心概念，如下图：
请注意，教材上并没有标注三条中线的交点名称，我们在课堂上是通过学生作图去发现这个结论的，也没有严格证明三条中线交于一点；
2022版新课标中，对于三角形重心的概念，提出的要求是“了解”，其同类词是知道，初步认识。
这个点的地位，确实不太高，所以也很容易被忽视，而它的“兄弟姐妹们”如内心、外心，在中考题的上镜率远高于它，但这并不妨碍我们稍微深入研究一下，在三角形重心这节课后，进行适当的拓展。
我们很容易证明图中△AGF、△AGE、△BGF、△BGD、△CGD、△CGF面积相等，借助面积法可知AG=2DG，BG=2EG，CG=2FG，这便是所谓“重心性质”，本质上是个二级结论，以此为突破口，学生确实不容易想到。
题目
半圆AOQ中，O为圆心，AQ为直径，弦AB、CD相交于点P，且AB=CD.
(1)如图1，连接OP
①求证：∠APO=∠CPO；
②如图2，连接OB交弦CD于点H，若AQ=4，PB=1，PO=HO，求PH的长；
(2)连接PQ、AC相交于点E，线段AP上有一点F，PF=4AF，若PE=QE，∠PEA=∠PFQ，求PE:AE的值.
解析：
01
(1)①虽然本小题比较简单，但对于初学圆的九年级学生来讲，思维到位了，才会觉得简单，否则仍然一筹莫展，圆中的解题思维最重要的便是“五合一”，即弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距的一体化，基于这个思路，第1小题可以秒掉；
要证明∠APO=∠CPO，即证明PO是∠APC的角平分线，由角平分线的判定可作OE⊥AB，OF⊥CD，证明点O到∠APC两边距离相等即可，而在圆中，OE和OF是弦AB，CD的弦心距，所以OE=OF，从而证明∠APO=∠CPO；
但要注意的是，弦心距纳入“五合一”也属于二级结论，教材上只有前四个，要严格证明，还需要证明连接OC证一次全等；
②我们从PO=HO这个条件出发，首先它可以得到一个等腰△POH，所以∠POB=180°-2∠CPO，如下图：
而在前一小题中我们知道∠APO=∠CPO，于是∠BPH=180°-2∠CPO，得到了∠BPH=∠POB，所以△BPH∽△BOP，由AQ=4得半径OB=2，所以BP²=BH·BO，可求出BH=1/2，则OH=3/2；
结合前面的结论，可知OE=OF，OP=OH，由三线合一知道PF=HF，又PE=PF，不妨设PF=x，则BE=x+1，分别在Rt△BOE和Rt△POF中，由勾股定理列方程4-(x+1)²=9/4-x²，解得x=3/8，所以PH=3/4；
02
(2)题目条件中的∠PEA=∠PFQ可迅速得到△PFQ∽△PEA，可得比例式PE:PF=PA:PQ，可设AF=x，则PF=4x，PA=5x，而且PQ=2PE，所以可求出PE=√10x，普通学生到这一步之后，再难以为继了；
我们从点E的性质出发，它是PQ中点，也是△APQ的中线，同样这个三角形的边AQ上也有中点O，将OP连接起来，又得到一条中线OP，如下图：
这条中线身份可不简单，还记得我们前面利用等弦得到的角平分线吗？弦AB=弦CD，进而弧AB=弧CD，再得到弧AD=弧BC，于是本小题中， 当我们连接了AC之后，∠PAC=∠PCA，这是一个等腰三角形，PG既是顶角平分线，也是底边上的中线和底边上的高；
所以在Rt△APG和Rt△EPG中，我们能有效利用前面相似比例式中的线段，AP²-AG²=PE²-EG²，但这个式子中的AG和EG又是另一个令学生为难的地方，此时就需要观察出点G的特殊性了，它是△APQ的重心，是中线AE和PO的交点，由重心“性质”AG=2EG，前面这个式子就可以处理了，求出EG=√5x，现在可表示出AE=3√5x，PE=√10x，所以PE:AE=√2/3.
解题思考
本题解法并不唯一，只是针对本文中的解法进行一些教学上的思考。解析中出现了一些二级结论，在思考或讲思路的过程中，有利于理清思路，但真正落实到书写规范上，仍然要注意，教材上没有的结论，需要先证明。
整个过程梳理完，会发现相交的两条等弦是构成本图的基本几何元素，我们在使用绘图工具画教学用图的时候，画等弦前先画弦心距，这其实就是利用了“五合一”的性质，但教材中只有弦、弧、圆心角和圆周角，并没有弦心距，这需要留意，别把它当成定理教给学生了，这是二级结论。
在进行圆相关内容教学的时候，一定要培养学生看弧的习惯，正如我们经常用到两弧的和差倍分，对应圆心角的数量关系，没有这种习惯的学生，会相当不适应圆的相关证明和计算，事实上这五者是一体的，所以我们才通俗地称之“五合一”。实际学生在解题过程中，有一部分怎么也看不出来△APC是等腰三角形，所以不理解为什么连接OP之后，会与AC垂直，不少学生习惯用垂径定理去解读，但OP的条件中只有角平分线是已证的，并不符合垂径定理使用条件，所以等腰三角形这个关键点没有突破，后面自然会卡住。
这道几何压轴题对学生而言算比较难了，对于圆相关的教学也有很大的启示，是一道优秀压轴题。
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