1月11日周日开讲：审其阴阳、以别柔刚 |《拓扑学的思维革命：从空间直觉到系统科学》第七课|别柔刚|定理|微分|高斯

导语

在完成了对“洞的结构化刻画”之后，拓扑学进一步提出了一个更深的问题：局部的信息，究竟如何在整体尺度上积累、转化并显现其宏观效应？拓扑学与同调群又如何与分析学和几何学更紧密地结合起来，并更好地定量计算？这一追问，正是上同调理论的出发点。回顾微积分的发展历史，当人们开始思考“一个空间中的量如何沿着路径、曲面乃至高维区域整体地流动与守恒”时，便已经踏入了上同调的思想世界。此外，如果时间允许，本讲还将介绍曲率的一些基本概念和应用。

注：本节标题语出《黄帝内经素问·阴阳应象大论篇第五》，原文为：“……审其阴阳，以别柔刚，阳病治阴，阴病治阳；定其血气，各守其乡……”

主题：同调与上同调、曲率与整体性）

课程简介

目标：理解上同调与庞加莱对偶的意义，掌握曲率与拓扑的联系。

上同调不仅是同调的对偶，更与几何/拓扑对象的整体结构关系密切。它或直接定义，或以微分形式为语言，将局部可测的微分几何量与整体不变量联系起来，这使拓扑结构能够与积分、物理中的可积性/守恒律及场论等深刻理论自然衔接。本讲将多角度介绍上同调的基本思想，并通过庞加莱对偶等定理等揭示同调与上同调之间深刻而优美的对称结构——恰如“阴阳互补”的整体观。

课程将从大学微积分中的几个基本定理——微积分基本定理、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式谈起，引入外微分形式、De Rham上同调，再从对偶的角度定义上同调群。之后通过De Rham 定理与Stokes 定理，展示同调与上同调、连续分析如何与离散拓扑精确对应。最后将引入上同调中的乘积概念，从而将上同调群升级为上同调环。而“曲率”则是微分几何中用外微分形式刻画的一个重要概念，它首先标定了几何上的弯曲程度；。而通过高斯–博内–陈省身定理，曲率则成为连接局部微分信息与全局拓扑不变量的关键桥梁。我们将看到：空间的整体“柔性”拓扑性质，竟由“刚性”的几何给出的曲率积分所编码。

最后，本讲将讲解微分形式、上同调、微分形式和曲率的一些应用，从而将其放入更广阔的科学图景中理解。微分形式不仅可用于积分，还在各基础数学分支和工程中有根本性地位；，而上同调则可分类用于拓扑对象数学中的分类问题，并且在数学和物理的诸多领域中应用广泛。而刻画“弯曲”的曲率在各尺度中也广泛存在：在宇观层次，曲率刻画时空的弯曲，构成广义相对论的核心要素；在微观尺度上，粒子物理的规范场与相互作用由纤维丛的曲率来刻画；而在宏观世界的工程与力学系统中，曲率与上同调思想揭示约束、守恒与整体行为之间的内在联系。由此，拓扑、几何与物理在“整体性”“局部-整体关系”和“对偶性”等核心概念下深刻地统一起来。

课程大纲

梯度、散度、旋度；
从微积分到微分形式：微积分基本定理、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式；梯度、散度、旋度；麦克斯韦方程
De Rham上同调与Stokes定理
上同调群的定义与De Rham 定理，
上同调中的乘法
庞加莱对偶
外微分的应用：积分、几何、工程、生物
和上同调理论的应用：数学中的拓扑分类问题（流形与纤维丛）、其他领域中的应用（数论与代数几何、表示论、动力系统）、物理中的应用（场论、弦论、凝聚态中的拓扑序）、其他潜在应用（生物、化学、拓扑数据分析）
曲率的概念与高斯–博内–陈省身定理
曲率的应用（选讲）：宇观：时空曲率（广义相对论）、微观：纤维丛曲率（规范场理论）、宏观：力学系统

关键词

上同调、麦克斯韦方程、微积分基本定理、格林公式、高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式、斯托克斯公式、de Rham上同调、庞加莱引理、Stokes定理、de Rham定理、上同调环、上积、庞加莱对偶、辛几何、哈密顿力学、有限元、示性类、拓扑序、霍奇猜想、计算机图形学、拓扑数据分析、曲率、高斯绝妙定理、高斯–博内–陈定理、广义相对论、规范场、复杂网络。

课程信息

课程主题：审其阴阳、以别柔刚——同调与上同调、曲率与整体性

课程时间：1月11日（周日）晚19:00-21:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

金威，北京大学基础数学博士，博士后。主要研究方向为拓扑学和数学物理。现从事人工智能的基础理论和算法研发，并致力于数学和系统科学方面的教育/科研和科普活动。《基本粒子：数学、物理学和哲学》一书中文版译者，《返朴》公众号作者。研究兴趣：属性论和属性数学、拓扑学和数学物理、系统科学和复杂网络、中医等。

课程适用对象

理工科领域研究者及高年级学生：适合具备基础数学背景（微积分、线性代数、复变函数、常微分方程）的理工科高年级本科生、研究生及科研人员。尤其适合关注复杂系统、非线性动力学、统计物理、信息科学等方向，或希望将数学思想应用于物理、工程、生命与智能/认知系统的学习者。
喜爱探索和创新学习者：面向对抽象思维、系统建模与跨学科分析有兴趣的学生与研究者。鼓励具备问题意识、善于逻辑推理与思维开放的学习者，通过拓扑学培养结构化与整体化的科学思维。

报名须知