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导语

集智学园联合东京都市大学贾伊阳老师共同开设了「」课程，本系列课程将以严谨的理论推导为核心，逐步建立泛函分析的基础架构。第一阶段将探讨从有限维跨越到无限维的动机与基础；第二阶段将重点建立度量与完备性，掌握 Banach 空间与不动点定理的精髓；第三阶段将深入探讨 Hilbert 空间的几何结构与对偶空间的映射体系。最终，在第四阶段，将梳理完整的结构总览与应用地图，透视这些纯粹的数学工具如何作为底层基石，广泛应用于现代物理、复杂系统模拟与前沿计算科学中。

作为系列课程的第二讲，贾伊阳老师将以「函数空间作为向量空间」为主题，将探讨函数空间作为线性空间的代数结构，涵盖连续函数空间C[a,b]与多项式空间。通过傅里叶级数及基展开失败的经典案例，剖析无限维与有限维的本质差异，建立“无限维绝非简单ℝⁿ延伸”的认知。正式分享将于4月12日（周日）19:00-20:30进行。

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主题：函数空间作为向量空间

课程简介

NeRF 用正弦特征让神经网络学到高频细节，FNO 在 Fourier 域直接学 PDE 解算子，FNet 用无参数 Fourier 变换替代 Transformer 的 self-attention，这些近几年落地的方法，背后都依赖同一个数学结构：函数空间。本讲作为系列课程的第二讲，来进一步回答：函数为什么能成为向量空间的元素？函数空间与普通向量空间的关系是什么？

课程从直觉出发，以混音（加法）和调音量（数乘）说明函数的向量结构，再引入连续函数空间与函数集合是否构成向量空间的判别条件。主线随后转向 Fourier 正交基：从正则归一化到傅里叶系数，再到随机 Fourier 特征、坐标型 MLP 的 spectral bias 修正，以及 FNO 算子学习与 FNet 的频域 token mixing。核方法与 RKHS 作为函数空间优化的另一条线索并行展开：训练等价于在函数空间中最小化损失加范数惩罚。最后讲解范畴论视角下有限维与无限维空间及基的结构对比，供有兴趣的学员延伸。

学完本讲，能建立“函数即向量”的操作性直觉，理解 Fourier 基在机器学习中的具体用途，并对 RKHS 框架在核方法中的角色有清晰认识。

课程大纲

  1. 函数空间的向量结构

    1. 函数加法与数乘的实例：混音与调音量

    2. 函数集合构成向量空间的判别条件

    3. 连续函数空间 C[a,b] 的基本性质

  2. Fourier 正交基

    1. 正则归一化与傅里叶系数

    2. 复指数形式与 Hilbert 空间的预告

    3. Fourier 基的核心启发：任意函数分解为振荡基函数的线性组合

  3. Fourier 基在机器学习中的四类应用

    1. 随机 Fourier 特征：平移不变核的显式近似，大规模核学习的可行化

    2. Fourier feature mapping：克服 MLP 的 spectral bias，改善 NeRF 等隐式表示的高频学习

    3. FNO（Fourier 神经算子）：在 Fourier 域学习 PDE 解算子，全局耦合与频率截断

    4. FNet：用无参数 Fourier 变换替代 self-attention 的 token mixing，同等精度下训练提速 70–80%

  4. 核方法与 RKHS

    1. 核函数的邻近权重结构（以指数衰减为例）

    2. 再生核 Hilbert 空间（RKHS）中的范数与正则化

    3. 机器学习训练的函数空间解释：最小化损失加范数惩罚

  5. 范畴论补充：有限维与无限维的结构对比

    1. 有限维向量空间的基与坐标同构

    2. 无限维空间中基的收敛性问题

    3. 范畴论视角下两类空间的结构差异

课程信息

课程主题：函数空间作为向量空间

课程时间：2026年4月12日（周日） 19:00-20:30

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

贾伊阳，东京都市大学讲师、前日本女子大学助理教授，前日本成蹊大学助理教授。研究重点是计算复杂性，算法，以及范畴相关理论。集智学园《》课程讲师。

课程适用对象

  • 做微分方程、数值算法、反问题、信号处理、控制的学习者与研究者

  • 做优化、机器学习、统计推断，希望理解正则化与泛化的结构来源的研究者

  • 读量子/数学物理文献，希望把 Hilbert 空间与算子语言用顺手的研究者

  • 更广义地：经常处理“函数作为未知量”的问题、并且想要一套可迁移框架的研究者


你会获得

  1. 面对一个新问题，你能先问对问题：该在哪个空间里解？该用哪个范数衡量误差？需要什么完备性？算子是否有界？

  2. 你能理解常见方法背后的统一逻辑：迭代为何收敛、正则化为何稳定、最小二乘为何等价于投影、弱解为何成立。

  3. 你会获得一套“抽象但可落地”的语言：写证明、读论文、做建模时，能把碎片化技巧收束到结构层面。


报名须知

  1. 课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。

  2. 课程周期：2026年3月29日-2026年6月14日，每周日晚19点-21点进行。

  3. 课程定价：原价499

    1. 早早鸟价299，截止时间：2026年3月22日中午12点

    2. 早鸟价399，截止时间：2026年3月30日中午12点

课程链接：https://campus.swarma.org/v3/course/5700?from=wechat

付费流程：

  2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

  3. 课程可开发票。

课程共创任务：课程字幕

为鼓励学员深度参与、积极探索，我们致力于形成系列化知识传播成果，并构建课程知识共建社群。为此，我们特别设立激励机制，让您的学习之旅满载收获与成就感。

课程以老师讲授为主，每期结束后，助教会于课程群内发布字幕共创任务。学员通过参与这些任务，不仅能加深对内容的理解，还可获得积分奖励。积分可兑换其他读书会课程或实物奖品，助力您的持续成长。