数学悖论系列之三（芝诺悖论)|亚里士多德|数学悖论|牛顿|芝诺悖论|阿基里斯

数学悖论系列之三（芝诺悖论)

三、芝诺悖论（Zeno's Paradox)

（一）芝诺悖论概述

埃利亚（现在的意大利南部）的芝诺（Zeno of Elea，公元前495－公元前430年）是古希腊哲学家和数学家。芝诺以其悖论而闻名，这些悖论最初是由一个名叫亚里士多德（Aristotle，公元前384 －公元前322年；古希腊人，世界古代史上伟大的哲学家、科学家和教育家之一）的人潦草地写下来的，他试图弄清楚芝诺是怎么回事。

芝诺可能创造了四十个悖论，其中只有十个是已知的。限于篇幅，本文只讲当中最著名的三个，外加一个非芝诺的悖论：亚里士多德的轮子悖论。这些悖论促进了逻辑和数学严谨性的发展，并且在连续性和无限的精确概念发展之前，这些悖论是无法解决的。

芝诺的悖论来自古希腊哲学。它们是聪明的谜题，今天仍然让人摸不着头脑。芝诺以悖论而闻名，为了推荐古希腊哲学家巴门尼德（Parmenides of Elea，约公元前515年－公元前5世纪中叶以后）关于“一”（即不可分割的现实）存在的学说，他试图反驳关于“多”（即可区分的品质和能够运动的事物）存在的常识性信念。

大约在2500年前，芝诺思考了事物是如何运动的，并想出了一些令人费解的故事，这些故事使运动看起来只是一种幻觉，不可能真正发生。芝诺悖论质疑了我们所相信的关于物体从一个地方缩放到另一个地方的一切——他们的主要观点之一是关于无限的，询问你是否真的能够完成具有无穷无尽步骤的事情。

人们经常指出，芝诺没有给我们任何理由认为总和是无限的而不是有限的。他可能有一种直觉，即任何有限数量的无限和，因为它随着每个新项的增加而无限增加，所以一定是无限的，但人们也可能把这种例子视为表明一些无限和毕竟是有限的。因此，与他所想的相反，芝诺没有证明这个荒谬的结论。在人们能够给出一个能够对任何问题给出满意答案的无穷和理论之前，人们不能说芝诺的无穷和显然是有限的。

毕达哥拉斯派认为芝诺的论点是针对毕达哥拉斯派的技术学说的。根据这种解读，他们认为所有事物都是由具有单位数、几何点和物理原子属性的元素组成的：这种观点符合他们的理论，即现实从根本上讲是数学的。然而，在本世纪中叶，一系列评论家指出，芝诺的目标是对多元性和运动的常识性理解——一种基于熟悉的几何概念的理解——事实上，这一学说并不是毕达哥拉斯思想的主要部分。

芝诺的悖论表明，空间和时间并不是一个数学连续统：保持运动真实性的方法是否认空间和时间是由点和瞬间组成的。然而，我们已经清楚地看到，标准现代数学的工具能够解决悖论，因此似乎没有必要得出这样的结论：如果现在确实“变成”了，就没有理由认为这个过程没有被连续统捕获。

（二）解决芝诺悖论的现代数学物理工具

芝诺的悖论被认为在十九世纪由乔治·康托尔（Georg Cantor，1845年—1918年；德国数学家、集合论的创始人）用他自己发明的超限算术方法能够解决——可以在有限的时间间隔内完成无限多的动作，大多数哲学家和数学家也相信这一点。

芝诺的悖论是矛盾的诡辩——它们隐藏着微妙而难以捉摸的极限和无穷大概念，直到19世纪分析基础变得更加严格并且超限数理论得到系统阐述时，这些概念才得以完全解释。

现代数学解决悖论的核心是认识到纯粹的数学解决方案是不够的：悖论不仅质疑抽象数学，还质疑物理现实的本质。因此，我们寻求的是一个论点，不仅芝诺对无穷的数学没有威胁，而且数学正确地描述了物体、时间和空间。如果我们调用的数学框架不能很好地描述实际的空间、时间和运动，它就无法回答芝诺悖论！

我们意识到，数学定律（比如牛顿的万有引力定律）可能正确描述事物，也可能不正确描述事物，这种想法很常见，但无穷数学的某些方面（连续统的性质、无穷和的定义等）似乎非常基础，以至于一开始可能很难看出它们也适用于偶然情况。（由于酒精溶于水，如果你将两者混合，最终得到的体积小于它们的总和，这表明即使是普通的加法也不适用于每种系统。）

我们相信无限的数学理论描述了空间和时间，这种信念在一定程度上是合理的，因为物理定律假设它是这样的，并且这些定律本身被经验所证实。虽然几乎所有的物理理论都假设空间和时间确实具有连续统的结构，但引力的量子理论也可能暗示它们不具有连续统的结构。

通常认为：物体可以在有限的时间内从一个位置移动到另一个位置（即移动一段有限的距离），原因不仅在于它们的速度始终是有限的，还在于它们不会随时间而改变，除非受到外力的作用。这基本上就是牛顿第一定律（静止物体保持静止，运动物体保持恒定运动，除非受到外力作用），适用于恒定运动的特殊情况。如果你将行进距离减半，则只需要一半的时间即可完成。无论空间（和时间）是连续的还是离散的，它都适用；它在经典层面和量子层面都适用；它不依赖于哲学或逻辑假设。

微积分是由艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643—1727年；英国物理学家、数学家、哲学家）和威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716年；德国哲学家、数学家）在17世纪晚期发明的。他们的微积分是一种将连续运动视为由无限多个微小步骤组成的技术。在微积分被接受后，大多数数学家和物理学家认为连续运动应该由一个函数来建模，该函数以表示时间的实数作为其自变量，并以表示空间位置的实数作为其值。这种定位功能应该是连续的或无间隙的。此外，位置函数应该是可微分的，以使速度有意义——速度被视为位置的变化率。

20世纪初，大多数数学家开始相信，为了对运动有严格的理解，数学需要一个充分发展的集合论来严格定义实数、连续性和可微性等关键概念。这样做需要一个定义明确的连续统概念。不幸的是，牛顿和莱布尼茨对连续统没有一个很好的定义，找到一个好的定义需要两百多年的工作。

微积分的发展是芝诺悖论的标准解中最重要的一步，那么为什么在牛顿和莱布尼茨发展了他们的微积分之后，标准解过了这么长时间才被接受呢？这一时期持续了大约200年。原因有四：

1.微积分和其他实分析需要时间来证明它在物理学中的适用性和有效性，尤其是在十八世纪；

2.人们花了一段时间才认识到亚里士多德对芝诺悖论的相对浅薄的处理；

3.科学哲学家们花了一段时间才意识到，物理理论中使用的每个理论概念在我们的经验中不一定有关联；

4.数学基础中的某些问题需要时间来解决，例如找到连续统的更好定义以及避免康托尔朴素集合论的悖论。

实分析基础中的困难直到20世纪初随着策梅洛-弗兰克尔集合论的发展才得到圆满解决，这些困难始于乔治·贝克莱对微积分中使用无穷小的不一致性的批评。公理化的策梅洛-弗兰科尔集合论与选择公理阻止了所有的悖论，使康托尔的超限数理论合法化，并为实分析和其他数学领域提供了适当的基础，并间接解决了芝诺的悖论。但这种标准的实分析缺少无穷小，对于这一点得多亏有了柯西（Augustin Louis Cauchy, 1789—1857年；法国数学家、物理学家、天文学家）和魏尔斯特拉斯（Wilhelm Weierstrass，1815—1897年；德国数学家、“现代分析之父”）。

无穷小的实际应用也是不系统的。1821年，柯西展示了如何通过使用极限而不是无穷小的思想来实现微积分的相同有用定理。19世纪后期，魏尔斯特拉斯解决了柯西叙述中的一些不一致之处，并令人满意地展示了如何根据极限来定义连续性。

关键的是要找出成为一个连续统的必要和充分条件。为了实现这一目标，数学连续统的条件必须是严格的算术条件，并且不依赖于我们对空间、时间和运动的直觉。想法是修改或“调整”定义，直到它不会产生新的悖论，但仍会给出有用的定理。当这一修订完成时，可以宣布实数集是一个实际的无穷大，而不是一个潜在的无穷大，不仅实数的任何区间都是线性连续统，空间路径、持续时间和芝诺悖论中提到的运动也是如此。

此外，弄清楚如何计算一个无穷级数的和也很重要。最后，数学家需要用导数来定义运动。这个新的数学系统需要许多新的定义明确的概念，如连通集、连续性、连续函数、（无穷序列收敛到）极限、导数、维数、函数、积分、测度、参考系、集合和集合的大小等等。正如那些新的数学概念一样，这些物理概念的定义也更加严谨：地点、瞬间、持续时间、距离和瞬时速度。

在标准实分析中，尽管有理数无穷多且无穷密，但它们不是连续的。为了建立微积分的基础，必须对实数的连续性有一个好的定义。但是这需要对无理数有一个好的定义。

戴德金（Richard Dedekind，1831—1916年；德国数学家）在1872年提出的连续性公理和他将实数定义为有理数的某些无限子集，这向康托尔和许多其他数学家提出了建议，即任意大的有理数集最自然地被看作是实际上无限的有理数集的子集；对于实数集也是如此；一个实际上的无限集合就是我们今天所说的“超限集合”。

亚里士多德曾说过，数学家只需要一条有限直线的概念，这条直线可以随心所欲地产生，也可以随心所欲地分割，但康托尔会说，这种思维方式以一个完整的无限连续统为前提，该无限连续统在任何特定时间都可从中抽象出来。当康托尔说潜在无穷大的数学概念以实际无穷大的数学概念为前提时，这并不意味着，如果未来的时间是潜在的无限的，那么未来的时间实际上也是无限的。

戴德金主要贡献是给出了无限集合的第一个严格定义——一个实际的无穷大——表明这个概念是有用的，而不是自相矛盾的。康托尔提供了缺失的成分——数学中的“线”可以有效地被视为无数个点的密集线性排序，他继续发展集合论，并为连续统提供了集合论基础，使数学家相信这个概念是严格定义的。这些想法现在构成了现代实分析的基础。

既然线性连续统的严格定义已到位（在现代实分析中，连续统是由点组成的——存在可分割的连续体、不同大小的无限集和空间填充曲线），而柯西关于如何评估无穷级数值的严格理论也早已成熟。所以，我们可以说微积分在物理科学中的应用是成功的，特别是在处理时间和空间运动方面；芝诺所描述的区间或路径序列也可以最恰当地被视为一个实际无限集合的子集序列。——现代的数学物理知识为解决芝诺悖论提供了标准的工具。

（三）著名的三个芝诺悖论

1.乌龟和阿基里斯悖论（the paradox of the tortoise and Achilles）

芝诺创造了几个著名的悖论，其中最著名的可能是乌龟和阿基里斯的悖论（阿基里斯是荷马史诗《伊利亚特》中的伟大希腊英雄）。它启发了历代许多作家和思想家，特别是刘易斯·卡罗尔和道格拉斯·霍夫施塔特，他们都写了涉及乌龟和阿基里斯的说明性对话。

原文是这样的：

乌龟向阿基里斯挑战赛跑，声称只要阿基里斯让它领先一点点，它就会赢。阿基里斯笑了，因为他当然是一个强壮的战士，脚步也很快，而乌龟又重又慢。

“你需要多大的领先优势？”他笑着问乌龟。

“十米。”后者回答。

阿基里斯笑得更大声了。“我的朋友，在那种情况下，你肯定会输，”他对乌龟说，“但是如果你愿意，让我们比赛吧。”

“恰恰相反，”乌龟说，“我会赢，我可以用一个简单的论证证明给你看。”

“那就继续吧！”阿基里斯回答，他比以前更没有信心了。他知道自己是优秀的运动员，但他也知道乌龟有更敏锐的智慧，在此之前，他已经输了很多场令人困惑的辩论。

“假设，”乌龟开始说，“你让我领先10米。你说你能很快完成我们之间的10米吗？”

“非常快。”阿基里斯肯定地说。

“在这段时间里，我应该走多远，你认为呢？”

“也许一米——不会再多了。”阿基里斯想了一会儿说道。

“很好，”乌龟回答说，“所以现在我们之间有一米了。你能很快赶上这段距离吗？”

“真的很快！”

“不过，在这段时间里，我应该走得更远一点，所以现在你必须赶上这段距离，对吗？”

“是的。”阿基里斯慢慢地说。

“当你这样做的时候，我会走得更远一点，所以你必须赶上新的距离。”乌龟继续平静地说道。

此时的阿基里斯什么也说不出来。

“所以你看，每时每刻你必须赶上我们之间的距离，而我——与此同时——将增加一个新的距离，无论多小，让你再次赶上。”

“的确，必须如此。”阿基里斯疲倦地说。

“所以你永远也追不上！”乌龟同情地总结道。

“你总是对的！”阿基里斯悲伤地说。

就凭这对话，阿基里斯就自认输掉了比赛。

在“比赛”中，脚步飞快的阿基里斯无法追上已经领先的乌龟。因为在阿基里斯追上给定位置的这段时间里，乌龟已经向前移动了一段距离。但这显然是荒谬的，因为阿基里斯显然会超过乌龟！

假设阿基里斯让乌龟领先100米，他们都以某种恒定的速度（一个比较快，另一个慢）跑。然后在他们运行一段时间后，阿基里斯先会跑完 100 米——乌龟开始的地方。在此期间，乌龟跑的距离更短（比如50米）。然后阿基里斯又需要时间来奔跑那50米。当阿基里斯跑完 50米时，乌龟又向前跑了25米……因此，每当阿基里斯到达乌龟去过的地方，他还有一段路要走。因为阿基里斯必须经过乌龟已经去过的地方——无限个点，因此乌龟断言他永远追不上。果真如此吗？

下面来求解(图 17)。

图 16

图 17

图 18

这种形式的悖论最生动地展示了完成一系列没有最终成员的行动的问题——在这种情况下，在阿基里斯抓住乌龟之前，有无限系列的追赶。当然，阿基里斯不会在序列的任何一点与乌龟同时到达，因为序列中的每一次运行都发生在我们预期阿基里斯到达它之前！一系列的追赶并没有完全分解跑步。因此，必须加上最后一点——阿基里斯确实抓住了乌龟。但是，这样一个奇怪的序列——由无限个成员后跟一个成员组成——在数学上有意义吗？如果不是这样，那么我们对跑步的数学描述就不可能是正确的，但什么是正确的呢？幸运的是，康托尔开创的超限数理论让我们确信，这样一个系列是完全值得尊敬的。

超限数理论不仅处理“基数”——它只取决于事物的数量——还处理“序数”，它进一步取决于事物的排列方式。由于序数被标准地认为是数学上合法的数字，而且阿基里斯必须经过的一系列点有一个序数（第n步），因此我们认为这个系列在数学上是合法的。

阿基里斯的论点，如果得到加强，而不是像芝诺时代那样模糊不清，则假定空间和时间是连续的或无限可分的。那样的话，芝诺可能会更谨慎地断言“阿基里斯无法抓住它”。也许，正如一些评论家所猜测的那样，芝诺只使用或应该使用阿基里斯和乌龟悖论来攻击连续空间，而他使用或应该使用他的其他悖论如“飞箭”和“移动行”来攻击离散空间。

2.二分法悖论（the dichotomy paradox)

芝诺的第二个悖论是二分法悖论。问题：你能走路吗，穿过一个房间？当你走路时，必须走过一半的距离；然后走剩余距离的一半；然后再走新剩余距离的一半……房间里会有无限多的中点。所以作为结论：没有一个人可以走过这个房间。

下面来求解(图 19)。

图 19

图 20

二分法悖论：在一个物体能够行进给定的距离之前，它必须行进一段距离。由于这一序列永远持续下去，因此看起来这段距离似乎是走不完的。悖论能够解决有赖微积分以及无限几何级数可以被证明是收敛的，因此所需的无限数量的“半步”被穿越距离所需的越来越短的时间所平衡——无限数量的“半步”只需有限的时间就可穿越。

从现代数学角度来看，芝诺似乎犯了一个错误：他将有限长度的线段（房间长度【单位长度】）等同于无限长度的直线——自然走不完。因为他将线段进行中点分割时产生了无数个点（中点），而他下意识认同“只有无限长度的直线分割时才会产生无数个点”。

严格地说，点不是一条线的一部分（不像一条线的一半、四分之一等等）。在严格意义上，在现代测度论中，一条线上的点与它是不可通约的。柯西表明，任何长度的任何线段（实际上是一条完整的无限长直线）都与我们的单位线段具有完全相同的点数。而康托尔更给出了一个美丽的、令人震惊的和极具影响力的“对角线”证明，即线段中的点数是不可数的无穷大——没有办法用数字1、2、3…来标记线段上的所有点。

所以，知道点的数量并不能决定线的长度，因此没有什么像熟悉的加法那样——整体由部分决定——是可能的。相反，我们必须认为距离属性在逻辑上晚于直线的点组成：首先我们有一组点（以某种方式排序，因此存在一些事实，例如，关于任何三个点中的哪一个在其他点之间），然后我们定义一个点对的函数，该函数指定它们相距多远。根据现代数学，几何线段是不可数的无穷多个点加上一个距离函数。

对于乌龟和阿基里斯悖论以及二分法悖论中的跑步者来说，跑步者的路径是一个物理连续统，通过使用一个正的有限速度来完成。细节以微分学和经典力学为前提。标准解决方案将速度视为距离对时间的导数。它假设物理过程是点事件的集合。它意味着持续时间、距离和线段都是由不可分割的点组成的线性连续统。

3.飞箭悖论（the paradox of the arrow)

芝诺的第三个悖论是关于飞箭悖论：如果所有占据相同空间的物体都是静止的，如果运动的物体总是处于静止状态，那么飞箭就是静止的。芝诺废除了运动，说什么“运动中的东西既不在它所在的地方运动，也不在它不在的地方运动”；为反对运动，他开启了一种特殊的多元假设：时间是由瞬间（时刻）组成的，除此之外别无其他。

在这个悖论中，芝诺认为飞行中的飞箭总是静止的：在任何给定的瞬间，飞箭都在它所在的地方，占据了与它本身相等的一部分空间；在瞬间，它不能移动，因为那将要求瞬间有部分，而瞬间根据定义是最小和不可分割的时间元素；如果飞箭确实在瞬间移动，那么它在瞬间的一部分一定在一个地方，而在瞬间的另一部分一定在不同的地方；此外，飞箭要在这一瞬间移动，就必须在这一瞬间占据比它自身更大的空间，否则它就没有移动的空间。

一个迫在眉睫的问题是为什么芝诺有理由假设飞箭在任何时刻都处于静止状态。如果假设一个瞬间持续0秒，就会立即得出结论：无论飞箭的速度有多快，它都不会到达任何地方。但是，如果有人认为时间的最小部分是有限的（如果很小的话），那么移动的飞箭可能会在一瞬间移动一段距离呢？但我们不支持这种假设——我们假设瞬间是不可分割的。这个论点只是证明了在一个瞬间没有任何东西可以移动，而不是瞬间不能是有限的。

从飞箭没有在瞬间移动任何距离的事实得出它处于静止状态的结论是荒谬的，因它是否在某一瞬间运动取决于它是否在包括该瞬间在内的有限时间间隔内运动了一定距离。这答案虽然是正确的，但它带有反直觉的含义，即运动不是在任何瞬间发生的事情，而是只在有限的时间内发生。正如我们所说，时间只由瞬间组成；在任何瞬间都没有距离。那么飞箭实际上什么时候移动呢？稍后它是如何从一个地方到达另一个地方的呢？答案只有一个：飞箭从点开始。飞箭在一个瞬间不会改变其位置，而只是在由瞬间组成的间隔内通过在不同时间占据不同位置而改变其位置。

飞箭悖论的标准解决方案需要借助微积分中的当代速度理论。这个理论定义了瞬时运动，它采用了所谓的“at-at”运动理论，该理论认为运动在不同的时间处于不同的位置。运动不是某个只在一瞬间才显现出来的特征。与古代的区别相反，现代的静止和运动之间的区别与附近时刻发生的事情有关，而与某一时刻发生的事情无关。

物理学家指出，飞箭可以在瞬间运动，因为在那个瞬间具有正速度（所谓的瞬时速度），前提是飞箭在该瞬间之前或之后占据不同的位置，以便该瞬间是飞箭连续运动的周期的一部分。如果我们不注意附近瞬间发生的事情，就不可能区分瞬时运动和瞬时静止，但区分两者是摆脱飞箭悖论的方法。

让我们重新考虑假设连续运动而不是离散运动的标准解决方案的细节。在微积分中，物体在瞬间的速度（其瞬时速度）是物体位置的时间导数——这意味着物体的速度是其在包含瞬间的越来越小的时间间隔内的一系列平均速度的极限。当我们说物体的速度是其在一个区间内的平均速度的极限时，我们基本上提出了相同的观点，因为区间的长度趋于零。

下面来求解(图 22、23、26)。

图 21

图 22

上述只是一般情形，回到芝诺飞箭悖论本身更简单，飞箭只是上述情形的特例——二维空间（垂直平面内）的平抛运动（图 26)。

图 23

图 24

图 25

图 26

（四）补充（轮子悖论）

亚里士多德的轮子悖论（Aristotle's wheel paradox）是希腊著作《机械原理》中提到的一个悖论，被怀疑是亚里士多德提出的。

考虑下面的图（图 27)，它描绘了一个由两个不同直径的同心圆组成的车轮（车轮中的车轮）。大圆圈上的点与小圆圈上的点之间存在1:1的对应关系，因此无论车轮是在顶部直线上从左向右滚动还是在底部直线上从左向右滚动，车轮都应该行进相同的距离。这似乎意味着不同大小的圆的两个周长相等，但这是不可能的。

图 27

从现代数学角度来说，谬误在于假设点的一一对应意味着两条曲线必须具有相同的长度。事实上，任何长度的线段（甚至无限长的直线、平面、三维空间或无限维欧氏空间）中的点的基数都是相同的（连续统的基数）。因此，其中任何一个点都可以与其他任何点一一对应。

从运动分解的角度来研究这一悖论，我们认为这是一种更为直观的方法。车轮边缘点的运动可以分解为匀速直线运动和匀速圆周运动。通过对小轮边缘点速度的分析，我们得出结论：当以地面为参照系时，小圆（半径为r）上质点A1及其对应的大圆（半径为R）上质点A2在水平轴(x轴)上的运动轨迹(不考虑半周期或一周期内的轨迹)会显示：它们速度相同且朝同一个方向——大轮以恒定的速度滚动而不滑动时，小轮实际上既滚动又滑动（图 28)。