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"如果最后没有人类理解，那我们为什么还要研究数学？"
数学家弗朗切斯科·马吉把这个问句，抛在了菲尔兹奖得主陶哲轩的博客上。过去几个月，大语言模型在数学上的突破几乎以周为单位刷新认知：OpenAI 的模型在 Lean 中完成了带外力项的纳维—斯托克斯方程的有限时间爆破解，还拿出了拟黎曼猜想的证明方案。
via https://terrytao.wordpress.com/2026/10/18/will-it-be-a-golden-age-or-a-dark-age-for-mathematics-and-science/
但马吉注意到了一个被兴奋掩盖的细节：这些 Lean 证明动辄几十万行代码，而机器自动翻译成的"自然语言"版本却混乱不堪。
证明越长，译文就越不可靠。
AI 也许是对的，但我们读不懂；它给出的自然语言版本又乱到仍需数学家投入巨大精力，才可能转化为人类理解。
"归根结底它就必须能被理解。"马吉在文章中反复强调。他称，学界在评估 AI 生成证明时不能放弃阐释的责任，因为不能要求数学家在面对机器输出的几十万行密文时，还能保持对数学意义的直觉把握。
马吉警告，我们正站在一个分叉口。一边是"黄金时代"：把 LLM 谨慎整合进 STEM 生态系统，赋能新一代科学家，维护一个开放、协作、智识上独立的科学事业。另一边是"黑暗时代"：科学与技术产出短期内仍会增长，但独立的人类科学活动逐渐衰弱，新知识的生产越来越集中到少数人之手，而这些人也越来越无法理解所生产的知识。
图注：在动漫《小书痴的下克上》中，学习文字和读书是贵族的权、利、力
真正的黑暗在于，知识变得与人类理解相疏离。
这种危险并非假设。OpenAI 发布其 2026 年 10 月 6 日成果时提到，他们尝试过 4000 个问题，经"聚合"和"筛选"后，有数百个获得成功。这意味着存在一大批前沿模型未能解出的问题。
而在数学家群体中，一种不安正在蔓延：一个强有力的数学结果，仅凭自身，已经不能再被当作学生独立数学能力的确凿证据。许多人感到，这种传统的认可机制实际上已在几周内崩塌。
但真正令人兴奋的机会也在于：当证明变得更容易获得，数学家也许能完成比以往多得多的"数学化"。既在数学内部，也横跨自然科学与社会科学的领域。但这需要研究者获得前沿模型的准入，需要可复现性与披露标准，需要投入资源理解与传播模型生成的结果，更需要持续投资公共治理的科学 LLM 基础设施。
"没有什么结果是必然的。"马吉写道。技术的能力不会自动决定结局，结局取决于我们选择怎样发展它们、怎样把它们嵌入既有制度。
以下是弗朗切斯科·马吉文章全文，经Kim翻译整理，有删改。
数学（与科学）将迎来黄金时代，还是黑暗时代？
https://web.ma.utexas.edu/users/maggi/
Francesco Maggi 是一位杰出的数学家，现任德克萨斯大学奥斯汀分校（University of Texas at Austin）数学系教授。他的核心研究领域集中在变分法（Calculus of Variations）与几何测度论（Geometric Measure Theory）
大语言模型以及围绕它们搭建的研究系统（人们通常称之为"人工智能"），在生成数学证明方面已经展现出惊人的能力。这些工具的水平究竟如何、边界在哪里，目前还没有完全弄清楚，但它们在加速科学发现、推动数学乃至整个科学技术领域实现非凡进步方面的潜力，已经清晰可见。
要把这种潜力变成现实，就需要把大语言模型审慎地融入各理工科的生态体系，重点放在三件事上：为新一代科学家赋能，培养新的理工科专业能力，维护一个开放、协作、思想独立的科学共同体。这就是标题中"黄金时代"的样子。
至于"黑暗时代"，大致是这样的图景：科学和技术的产出在短期内依旧爆发式增长，可与此同时，人类的独立科研活动一步步萎缩，新知识的生产日益集中到少数人手里，而这少数人也渐渐失去了理解这些知识的能力。真正的黑暗在于，知识将彻底滑出人类理解的范围。
现实多半是两种情景的交织。下面我用八个要点，梳理那些决定结局走向的选择，从数学谈起，逐步扩展到整个科学，最后给出可以付诸行动的建议。
一、技术突破千真万确，但是……
毋容置疑，大语言模型经成为强大的研究工具。近期出现的几个由大语言模型生成的证明，比如带外力项的纳维—斯托克斯方程有限时间爆破解的构造，又比如拟黎曼猜想的证明提案，都值得数学界高度重视。但要评判它们的分量，需要数学共同体持续不断地进行独立审视、解读和吸收。
大语言模型在用 Lean 写证明时似乎最为自如。而对于那些我们真正渴望大语言模型帮忙攻克的难题，它们给出的 Lean 证明长得惊人，动辄几十万行代码。
（Lean 是一种证明助手，能让计算机检验一个形式化论证在给定的定义和公理之下是否真的成立了所陈述的命题。）
一个正在浮现的趋势值得注意：证明的 Lean 版本越长，机器生成的"自然语言"译文就越混乱、越走样。为什么会这样，谁也说不清楚，但至少眼下，大语言模型在这类翻译上的确力不从心。于是就出现了一个尴尬的局面：面对真正重要的问题，大语言模型交出的 Lean 证明是对的，我们却读不懂；附带的自然语言译文又一团乱麻，数学家得下很大功夫钻研，才能从中提炼出人类能理解的东西。这个翻译难题将来也许会改观，但它直接把我们推到一个根本问题面前：
如果人类完全不理解，那么除了给大语言模型跑分，我们研究数学、获取证明还有什么意义？
数学是一种极其独特的人类造物，它在人类的认知方式中扎着很深的生物学根子。我们会辨认（人、动物、物件），于是我们计数，于是有了数。
我们似乎生来就有空间与时间的概念，并用数去量化和测度它们。某些最基本的算术和几何，几乎像长在人类身上的本能。不同的文明发展出形态各异的数学，即便在数学晚近的历史中，"数学研究什么"这件事本身也经历了巨大的扩张，有时甚至是歪打正着的扩张。
（我们甚至可能已经身处这样一种局面：数学分成了两种，一种属于人类，一种属于大语言模型。这种分裂也许不只发生在语言层面，还可能发生在更深的层次，只是现在下结论为时尚早。）
所以，"机器能证定理了，数学就完了"这类说法，我无法苟同。没有懂数学的人，字面上就没有"人类的数学"，而人类的数学是人类文化根本的组成部分。只要我们认同一件事：不能因为几台人类自己都还没摸透的机器挫伤了我们对数学的人类中心主义想象，就干脆放弃数学，那么这个社会需要的数学家只会更多，绝不会更少。而且要多出很多。
二、健康的科学怀疑精神，以及大语言模型创造力的边界
大语言模型在数学上的表现令人瞩目，人们对其未来能力的期待也随之高涨，兴奋可以理解，但有时候我认为，人们头脑不够冷静，这有负于科学方法。面对超常的表现，正确的态度是把它当作一个有待研究的现象，不能顺手拿来给"智能""创造力"乃至"意识"的种种大胆推断当证据。
后面这些恰恰属于正当科学研究中最难的课题，必须依靠明确的定义、可检验的假设和扎实的经验证据来探讨。同样的道理，也适用于那些伴随着惊叹而来的"社会必将剧变"式预言。我们太容易忘记一件事：这些技术会给社会带来什么，并非单单取决于技术本身的能力，最关键的变量是我们自己的选择，即选择怎样发展这些能力，怎样把它们纳入现有制度。
世上没有注定的结局，但科学和政治层面的领导力确实稀缺，也确实急需。
那么今天，我们对大语言模型的数学能力究竟知道些什么？理论分析和经验观察指向同一个结论：大语言模型极擅长重组已有的知识结构，极擅长在科学文献相隔遥远的角落之间发现没人注意到的联系。而且它做这些事的规模，任何单个研究者都望尘莫及。至于它证定理时那种近乎神异的有效性，到底可以完全解释为登峰造极的语言重组，还是其中另有尚未被描述、尚未被理解的综合推理机制，这在今天仍是一个开放的科学问题。
有一个问题格外难以回答，因为商业公司对自家模型的运作方式既不透明，也不可能完全透明，那就是：大语言模型在某一问题上的表现，和相关数学文献的丰厚程度之间，究竟有没有关系？
拿例子来说，纳维—斯托克斯方程和黎曼猜想都躺着由数百位最杰出的数学家写下的浩瀚文献。这里面或许有些门道。不妨看看 OpenAI 发布"2026年10月6日星期二投放"时的说法：他们尝试了 4000 个问题，其中几百个取得了成功（按"聚合""筛选"之后的口径）。措辞含含糊糊，但还是透露出一点：存在一个规模可能不小的问题群，最前沿的大模型在它们面前一筹莫展。从科学的角度看，弄清这些问题都是些什么，会非常有意思。说不定它们比纳维—斯托克斯和黎曼猜想更有味道？又或者，它们周围的土壤贫瘠些，大模型施展不开？对所有想推动数学前进的人来说，这些都是要紧的问题：怎样才能把大模型摆在最能帮上忙的位置？
三、数学化
数学家们大体上有一个共识：人类数学活动中有一些功能，没法归结成"证明定理"。其中格外重要的一项，我称之为"数学化"：
发明数学语言本身的行为。现实（包括数学结构自身）正是凭借这套语言，才变得可以定量把握、可以理性理解。
牛顿、傅里叶、黎曼、爱因斯坦、香农、格罗滕迪克：他们最伟大的数学贡献，堪称数学化的最高范例。因为这些贡献的核心，正是发明新的数学语言和概念框架，而它们改变了整个知识领域。
大语言模型能不能做数学化，我们不知道。我的猜测是，对数学结构本身做数学化，它们应该做得到，或者迟早做得到，毕竟那只是现实中很特殊的一块。但超出这个范围还能走多远，就很难讲了，至少在"能不能把成果顺畅地译成自然语言"这个意义上很难讲。说到这里，我又回到了人类理解的问题。
依我看，"证明"变得越来越容易获取，这件事带来的最令人兴奋的机会在于：不远的将来，我们能做的数学化也许会比以往任何时候都多得多。自然科学和社会科学里有大片疆域，我们数学化的能力长期被"证明难"拖住了后腿。道理很简单：没有证明，就很难弄清楚一个理论究竟推出了什么，也就没法拿它和观察到的现象对质。不过科学史上常有这样的事：好不容易爬上一座山峰，放眼望去，前方还有大片土地等着探索。
我认为这个想法值得大家为之振奋。道理也简单：每当一个由现象、实验和数据构成的系统被成功数学化，我们对它的认识在精妙程度和深度上都会实现飞跃。
这个论断最辉煌的例证，恐怕非量子力学莫属。把最初的一批实验数据形式化之后，理论推出了许多物理上反直觉、却又可以被检验的预言，并且都被实验证实，这些预言在别的情况下根本无从想象。若不是理论逼着，谁能想到"纠缠"居然是大自然的属性呢？
四、数学的进步，没法用在问题清单上打勾的方式来衡量
数学不是一份有限的问题集。上世纪初，希尔伯特提出了他那著名的二十三个问题（千禧年大奖难题正是脱胎于此），本意是给数学活动指引方向，促成一场"寒武纪大爆发"。可是回望过去一百年，许多最根本的数学贡献，和任何问题清单都沾不上边。
广义相对论的数学基础就是例子。它源自好几代数学家积攒下来的几何思想，从高斯、黎曼起头，经里奇-库尔巴斯托罗和列维-齐维塔之手延续下来。把物理直觉、狭义相对论和黎曼几何熔铸成广义相对论，这件事与任何难题清单、与那些错综复杂的证明都没有关系（它恰恰是"数学化在行动"的教科书范例）。
第二个例子，是一条贯通历史的宽阔脉络：从傅里叶级数的研究，到测度论的建立，再到现代概率论和信息论。香农的洞见，即信源的统计结构决定了信息传输与压缩的根本极限，堪称"数学化开辟全新领域"的绝佳样本。
同样，现代计算和机器学习的某些数学根基，也可以追溯到一连串数学进展，而它们当初既不是为了攻克什么大猜想，也与越来越繁复的证明无关。
不可否认，研究希尔伯特清单以及后来各种清单上的问题，对数学的发展贡献极大。耐人寻味的是，这些工作的价值往往远远溢出了"解决那个具体问题"本身：正如其他评论者指出的，这些问题就像灯塔，照亮了在未知数学海域中的航行。但倘若把数学压缩成"攻克清单上的难题"，那无论对这个领域，还是对"什么算进步"，都是一种简单化的、残缺的理解。
五、署名、功劳归属和同行评议，依然重要！
大语言模型生成的成果，取材于浩瀚的人类数学文献，但这些被汲取的信息究竟怎样被使用，始终没人说得清。这种根本性的不透明牵出一连串问题：一个具体证明，究竟受了哪些数学思想的滋养？谁来担保证明正确，谁来负责修订？
要是大语言模型重新发现了文献里已有的论证，恰当的引用又该如何保证？这些问题都需要站得住脚的答案，也需要我们认真讨论：现有的出版体系应当怎样随之调整。
证明并不是数学发现的终点。一个证明要成为有生命力的思想成果，还得被理解、被阐释、被安放进先前工作的脉络里。其中的关键思想，必须被辨认出来、消化掉，融入共享的数学文化。同行评议的分量正在于此。大语言模型和 Lean 形式化确实能提升同行评议的效率（形式上的对错可能更容易判定了），但要确立意义、掂量分量、讲清来龙去脉，要维护一个有利于数学化、也有利于培养后辈数学家的创造环境，人的参与依然不可或缺。
还有个格外棘手的麻烦，同样源于"人类数据如何流入大模型"这层迷雾：数学界的行事方式，正在从高度开放（人们惯于公开抛出问题和猜想），滑向严防死守（大家在分享想法时已经开始步步设防）。
举个具体的例子。既然 OpenAI 对黎曼猜想虎视眈眈，谁会轻轻松松地把自己关于它的一点原创念头敲进 ChatGPT？要知道，同一个念头可能被另一位数学家或 OpenAI 的员工用更先进的模型拾到，顺手变成证明，而使用者未必知道这念头的来历，自然也谈不上致谢。
于是，迷雾的另一面是：人们最终对大模型的使用意愿，可能会远低于自己原本的期望。我的担忧也不止于已公布的训练数据政策，还牵涉到存放在外的研究资料本身的安全。已经有记录在案的事例：智能体未经授权闯入了第三方系统。这类事件让"对保密措施做独立评估"变得格外要紧。
类似地，数学家们对自己在研究陈述和项目申请书里写下的内容，似乎已经多了一层戒心。道理很直白：某位行政人员或评审人随手把文件丢给大模型帮忙写评审意见，未发表研究的保密性就可能泡汤。
六、培养下一代数学家，已经成了一场生死攸关的挑战
培养后辈，与署名和功劳归属紧密相连。我挑几个有代表性的难题谈谈。
数学历来有一个可贵的特点：凭数学成就本身，就能直接证明一个人的才华。一项针对知名难题的扎实成果，足以为研究者赢得认可和机会，无论他在体制内多么边缘，也无论学术等级秩序如何森严。
但在我聊过的数学家里，普遍的感受是：这套传统的认可机制，实际上已经在几周内土崩瓦解。一项漂亮的数学结果，单独拿出来，再也证明不了学生有独立的数学功力。这种感受有没有被夸大，我说不好，但不确定性实实在在摆在那里：大模型时代，拿什么标准去衡量个人对数学研究的贡献，我们至今没有找到满意的答案。
如果对"提示词怎么写、提示词通过什么机制影响模型表现"缺乏实质性的透明，那么对个人数学能力的评判，恐怕就只能回到人与人的判断上来，而这种判断，多半要建立在更深入的面对面交流之上。
麻烦还远不止这一桩。高强度使用大模型会对人的创造力产生什么影响，我们基本上一无所知。过去一年里重度使用过大模型的一些资深数学家私下谈到，自己的注意力、动力和理解的深度，发生了一些微妙的、有时甚至算不上微妙的变化。
我们怎样才能学会用大模型放大自己的智力，同时又不把"数学功力赖以养成的那些思考活动"本身一步步外包出去？
想让黄金时代成为现实，这就是我们必须回答的核心问题之一。
七、前沿大模型掌握在私人手里，潜藏危险
学术界和企业界的研究合作，几十年来硕果累累。大模型本身就是学界理论与技术洞见加上集中资本投入的产物。
真正的危险，在于一种日益拉大的不对称：少数前沿公司手里的科研能力，和大学及公共机构所能企及的能力，差距越来越大。
这种不对称的后果可能非常严重。一方面，公司用专有系统与学术界赛跑，争夺科学和技术发现；另一方面，学术研究者想作出贡献，又越来越离不开这些专有系统。
数学或许会成为这种不对称的第一个显眼样本，而这种不对称日后可能在整个科学界愈演愈烈。如果听任私人利益来决定：哪些问题配得上最好的工具，谁有资格使用这些工具，能力高低由谁评判，成果何时对外公布，那么科学话语权将被前所未有地集中。
能力的相对均衡，是稳定合作、协调利益的前提。把注定要成为前沿数学与科学底层设施的东西，交给少数公司日益膨胀、甚至可能变成百分之百的控制权，无论如何看都算不得明智。
得出这个结论，并不需要先假设企业领导层居心不良。道理很朴素：商业激励、科学追求和公共利益，三者并不总是自动对齐。健康的科学生态，需要目标各异、权威来源各异的机构之间保持对话，并接受透明与公共问责的约束。
回到数学本身，OpenAI 一直在以多种形式与数学共同体对话。和纳维—斯托克斯事件发生时相比，这场对话确实带来了改进，无论在大模型成果的呈现还是传播上。我认为这些努力值得以建设性的态度对待，也值得肯定，毕竟 OpenAI 在提高透明度、扩大开放方面确有客观而正当的难处，比如巨额投资压着的回报压力，比如系统部署前必须做的安全评估。
这些互动也清楚地表明：即便假定人人满怀善意，协调企业利益与学术利益依然存在骨子里的困难。更要紧的是，这类举措并没有触及那个结构性问题，即前沿大模型能力获取上的不平等。把这个问题交给个别公司的善意和自愿行动去解决，恐怕是远远不够的。
八、在更广阔的研究共同体内，建设科学大模型基础设施
大学、专业学会、资助机构和科学基金会，应当协调行动，共同推进有竞争力的大模型的开发与治理。科学家们需要的东西很具体：够得着前沿能力，了解模型如何运作、研究数据如何被使用，获得强有力的保密保护，以及有能力独立检验和复现各种研究声明。
支撑这样一项事业所需的庞大算力、专业人才、数据基础设施和持续投入，任何一家机构单独都扛不下来。要把"独立研发模型、有保障地使用商业系统、公共算力基础设施、开放研究资源"这几块拼图凑齐，需要付出巨大的领导与组织努力。
这里的关键目标，未必要实现对私营公司的彻底技术独立，而是要守住独立开展科学研究的能力，造出为支持研究共同体而调校的大模型，避免它们反过头来让研究共同体一步步萎缩，甚至最终消失。
一边巧妙地把越来越强大的机器整合进来，一边守住科学文化的思想独立、开放与创造力，这注定会成为我们这个时代决定性的文化课题。数学给了我们一个提早直面这场挑战的机会，而这场挑战很可能很快蔓延到整个科学，给知识、思想力量和社会带来越来越复杂、甚至可能危险的后果。让科学的怀疑精神引路，对每一个相关方都公平相待，这才是我们该走的路。
黄金时代是可以够到的。让研究者用上前沿大模型；为大模型生成的学术成果建立可复现和信息披露的标准；投入资源去理解、去传播大模型生成的结果；投入资源研究大模型对科学教育和科研训练的影响；持续投入由公共治理的大模型基础设施。这些都是我们今天就能迈出的脚步，每一步都让黄金时代更接近最可能的结局。
单就数学而言，我对一套坚实而独立的大模型基础设施怀着这样的期盼：它能给数学家松绑，让他们系统地追逐理论建构，也就是数学化的机会，既在数学内部，也横跨自然科学与社会科学的整个光谱。在我看来，那将是一场真正的革命。
与此同时，我认为数学家肩负着一份沉甸甸的责任：守护数学，让它始终是活的人类文化。眼下，牵扯进来的利益太多，情绪化的反应也太多，把人们往"绝对的、悲观的、毫无建设性的结论"那边拽。
我们必须承认：这是充满不确定的时代，局面并不完全掌握在我们手里。我们必须用上每一件能帮助我们发现新数学的工具。我们必须继续写作、发表、审稿、写项目申请。在做所有这些事时，我们必须比以往更有雄心，也更加好奇。我们还必须确保为下一代数学家立下最好的专业标准，让数学始终是人类文化的中心节点。
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