2026.4.1纪念索菲・热尔曼诞辰250周年系列科普讲座《素数与共振》全文第2场——by 安娜・卡拉亚尼（Ana Caraiani）|安娜・卡拉亚尼|定理|科普讲座|素数与共振|索菲・热尔曼

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2026年4月1日是索菲・热尔曼诞辰250周年，4位著名英国数学家（卢卡斯・布兰特纳（主办方）、安娜・卡拉亚尼、詹姆斯・梅纳德（2022年菲尔兹奖得主）、劳拉・蒙克）于当天下午在英国皇家研究院法拉第剧场开展了面向大众的科普讲座。内容涵盖历史、费马大定理、振动薄板上的沙纹图案，以及关于素数的开放性问题，从深刻的理论延伸到直观可见的几何图案。本文为安娜・卡拉亚尼（Ana Caraiani）带来的第二场演讲：“索菲・热尔曼最钟爱的难题——费马大定理”。

作者：安娜・卡拉亚尼（ Ana Caraiani ）2026-4-1

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-5-14

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第二场演讲主题：索菲・热尔曼最钟爱的难题——费马大定理

费马大定理是索菲·热尔曼最倾心的未解难题，她将大量研究精力都投入其中。这一困扰学界数百年的谜题，推动了现代数论的发展，最终在二十世纪末，由安德鲁·怀尔斯爵士取得惊人突破，彻底得以解决。本次讲座将由浅入深，介绍围绕费马大定理衍生出的经典与近代数学理论。

演讲人简介：

安娜·卡拉亚尼（ Ana Caraiani ）现任伦敦帝国理工学院英国皇家学会大学研究员、教授。她的研究领域为代数数论，重点研究朗兰兹纲领与算术几何。安娜于2012年在哈佛大学取得数学博士学位。2017年入职帝国理工学院之前，她曾先后在芝加哥大学、普林斯顿大学与高等研究院、波恩大学担任临时学术职位。她斩获过多项学术大奖，包括2018年怀特海德奖、2020年EMS欧洲数学会奖与利弗休姆奖、2023年数学新视野奖，以及2025年露丝·利特尔·萨特数学奖，详情参阅：她面向各类数学学术群体已做过二百余场学术报告，并受邀在2022年国际数学家大会的数论与代数几何分会场上作特邀报告。

嗯，好的。非常感谢卢卡斯的介绍，也十分感谢各位前来聆听我今天的演讲。今天能在索菲・热尔曼诞辰250周年之际做这场分享，我感到十分荣幸。

索菲・热尔曼无疑是我心中的数学偶像之一，她的很多研究方向也恰好是我格外感兴趣的领域。所以今天我想聊聊索菲・热尔曼与素数。我会先简单介绍素数，再讲讲索菲・热尔曼和素数之间的关联，之后再谈谈素数与索菲・热尔曼的研究如何在现实世界中影响我们，既包括对我这名职业数学研究者的意义，也包含更广泛的现实应用价值。

首先我们先来认识素数，以及素数与费马大定理的关联。费马大定理或许是数学界最著名的定理，同时也是索菲・热尔曼重点研究、也是她最偏爱钻研的数学难题。

素数（质数）

素数是全体整数的基本构成单元。如果你去查素数的定义，会看到：素数是大于 1 的整数，且无法拆成两个更小的整数相乘。也就是说，它不能写成 a 乘 b 的形式，其中 a 和 b 都是比它小的整数。

举个例子，15 不是素数，因为它可以拆成两个更小整数相乘，也就是 3 乘 5。而 7 是素数，把 7 写成两个整数相乘，只有 7 乘 1 这一种方式，并不满足两个乘数都小于 7 的条件。

初次看到这个定义，你可能会觉得这只是数学里一个古怪的小众性质，没有任何实际价值。或许在常人眼里，数学家只是在研究数字的奇特性质而已，看似没有什么实际意义。

但素数真正的重要性在于，它相当于算术世界里的原子，是算术体系的基本积木。任意一个整数，都可以分解为若干素数相乘，这就是算术基本定理，而且这种分解方式在不改变相乘顺序的前提下是唯一的。

比如 135 可以写成 5 乘 3 乘 3 乘 3。不管调换 5 和 3 的相乘顺序，最终都只能分解成一个 5 和三个 3。

我有时会把整数想象成化学里的分子，分子由原子构成，而素数就是构成整数的原子。

这种分解思路非常实用：只要一个整数问题涉及乘法运算，借助素数是算术原子这一性质，我们就能把复杂的整数难题，拆解成只和素数相关的简单问题。

这和化学家研究化合物的逻辑完全一样：只要弄清构成分子的原子，就能掌握化合物大部分化学性质。原子无法解释分子的所有性质，但能提供大量关键信息，还能把复杂问题简化。

所以数学里有一个基本思路：只要问题牵扯乘法，就可以把复杂的整数难题，化简为更简单的素数相关问题。

我用一个例子来解释这个思路，这个例子也是索菲・热尔曼一生最喜爱的数学难题 —— 费马大定理。

费马大定理

费马曾提出著名论断：当整数 n 大于 2 时，方程 aⁿ + bⁿ = cⁿ不存在非平凡整数解 a、b、c。当然存在一些平凡解，比如令 a、b、c 其中一个为 0，就会出现类似 a 等于 c、b 等于 0 这类解。抛开这些平凡解，只要 n 大于 2，方程就没有其他整数解。

当 n 等于 2 时，方程就是勾股方程 a² + b² = c²，而这个方程存在无穷多组整数解。

这个猜想由皮埃尔・德・费马提出，后来由我的牛津大学同事安德鲁・怀尔斯完成证明，也是纯数学领域的巅峰成就之一。

费马大定理是典型的整数方程问题，且包含乘方运算，而 aⁿ本质就是 a 自乘 n 次。既然涉及乘法，我们自然可以尝试把它化简为素数相关的简单问题。

事实上确实可以做到：只需证明指数 n 为素数的情况，就能推导出整个费马大定理成立。这个结论理解起来并不难，我简单给你推导一下。

假设费马大定理不成立，存在一个合数指数 n 等于 15 时的反例，也就是存在整数 a、b、c 满足 a¹⁵ + b¹⁵ = c¹⁵。

a¹⁵就是 a 连乘 15 次，我们可以把这 15 个 a 分成三组，每组 5 个 a 相乘，也就是 (a⁵)³。同理 b¹⁵等于 (b⁵)³，c¹⁵等于 (c⁵)³。

于是原式就变成 (a⁵)³ + (b⁵)³ = (c⁵)³。这就意味着，指数为 3 时也出现了费马大定理的反例。

由此可以推出一个通用结论：如果某个合数指数 n 存在费马大定理的反例，那么 n 的任意一个素因子，也一定存在反例。

反过来就能得到：如果所有素数指数 n 都没有反例，那么所有合数指数 n 也必然没有反例。因为合数指数一旦有反例，就会对应出一个素数指数的反例，形成矛盾。

所以我们只需要证明n 取素数时费马大定理成立即可。

或许后排有些听众不完全认同这个推导，有一处细节需要补充：如果 n 是 2 的幂次，比如 8，按上面的逻辑会归约到 n 等于 2 的情况，但我们知道 n 等于 2 时勾股方程本身就有无穷多解。

不过费马本人早已证明 n 等于 4 时费马大定理无解，因此最终只需考虑奇素数的情况就足够了。

就这样，数学界把这个全世界最著名的整数乘方方程难题，化简为只需证明素数指数的情形，把复杂问题落到了素数研究上，大大降低了求解难度。这也是安德鲁・怀尔斯证明费马大定理的第一步核心思路。

接下来我再解释一下，为什么素数指数的情形，会比合数指数更容易处理。我刚才说化简成了素数相关的简单问题，但这点并不直观，背后源于素数独有的优美规律。

费马小定理

素数拥有很多奇妙性质，我小时候也很喜欢琢磨数字和素数的规律。我们来看一个和乘方余数相关的规律：把整数做乘方后，除以某个数所得的余数有什么特点。

先看三次方和除以 3 的余数：1³ 等于 1，除以 3 余 1；2³ 等于 8，除以 3 余 2；3³ 等于 27，除以 3 余 3；4³ 等于 64，除以 3 余 4；5³ 等于 125，除以 3 余 5。

你能明显看出规律：任意整数 x，都满足 x³ 除以 3 的余数恰好等于 x 本身。

但这个规律并不是对所有数都成立。我们再看四次方和除以 4 的余数：1⁴除以 4 余 1，符合规律；2⁴等于 16，能被 4 整除，余数是 0，不等于 2；3⁴等于 81，除以 4 余 1，不等于 3；4⁴除以 4 余 0，等于 4；5⁴除以 4 余 1，等于 5。

规律完全被打破了。

再看五次方和除以 5 的余数：1⁵除以 5 余 1；2⁵等于 32，除以 5 余 2；3⁵等于 243，除以 5 余 3；4⁵等于 1024，除以 5 余 4；5⁵等于 3125，除以 5 余 5。

规律完美成立：任意整数 x，x⁵除以 5 的余数都等于 x 本身。

能发现 3 和 5 满足这个规律，4 却不满足，核心原因就是 3、5 是素数，4 是合数。

这个规律对应的就是费马小定理，由费马严格证明：对任意素数 p 和任意整数 x，xᵖ除以 p 的余数一定等于 x。

这个优美性质几乎只对素数成立。如今计算机判定一个大数是不是素数，最主流的方法之一，就是验证是否满足费马小定理这类同余性质。计算机可以极速完成这类运算，这也是现代素数检测的核心手段。

换一种更便于后续讲解的表述：如果 x 不是素数 p 的倍数，那么xᵖ⁻¹除以 p 的余数一定是 1。

借助这个性质，素数和整数乘法之间就产生了精妙关联。

回到费马大定理，如果存在整数 x、y、z 满足 xᵖ + yᵖ = zᵖ，根据费马小定理：xᵖ除以 p 余 x，yᵖ除以 p 余 y，zᵖ除以 p 余 z。

代入方程就能推出 x + y − z 一定是素数 p 的倍数。

仅仅依靠费马小定理，我们就能给费马大定理的解加上一个非平凡约束，这也是为什么素数指数的情形，在数学上远比合数指数更容易分析的核心原因。

我们把这个全世界最难的整数难题，有效化简成了素数相关的简化问题，得以利用素数的特有性质开展研究。

讲到这里，就要说说索菲・热尔曼在其中扮演的角色了。

索菲・热尔曼对费马大定理的贡献

十九世纪初，人们只零星证明了费马大定理的少数特例。费马本人证出 n 等于 4 的情形，欧拉在费马基础上证出 n 等于 3 的情形，除此之外，其余指数都没有突破。当时所有人的研究思路，都是固定某个小整数 n，逐个单独攻坚。

而索菲・热尔曼的伟大之处在于，她敢于跳出逐个特例的局限，直接从一般性的素数指数 p 入手，整体攻克费马大定理。

她曾与高斯通信，阐述了自己证明费马大定理的初步构想。虽然这套构想最终存在漏洞无法落地，但思路本身极具美感，我还是想和大家分享一下她的构想。

这是索菲・热尔曼心中想要一般性证明费马大定理的理想路径：只需考虑素数指数 p，先假设方程 xᵖ + yᵖ = zᵖ存在非平凡整数解。

她的核心洞见是：研究这类方程，可以引入辅助素数。p 本身是素数，而素数深度嵌入算术体系，如果某个素数可以写成 k 乘 p 加 1 的形式，这类辅助素数能帮我们极大简化分析。

她的构想是：若 k 乘 p 加 1 也是素数，那么这个辅助素数必然整除 x、y、z 其中的某一个数。

她进一步设想，满足 k 乘 p 加 1 为素数的正整数 k 有无穷多个，也就意味着存在无穷多个这类辅助素数。

那么 x 乘 y 乘 z 这个有限整数，就必须被无穷多个不同的素数整除。但一个有限正整数，不可能拥有无穷多个素因子。

唯一的例外只有数字 0，因为 0 可以被任意素数整除。

由此就能推出，唯一可能的解只能是平凡解，也就是 x、y、z 中至少有一个为 0，从而完成该素数 p 下费马大定理的证明。

这套思路原则上可以适配任意素数 p，构想本身极具数学美感。如果能够落地，会成为数论史上极具深度的开创性思想。这类著名数学难题往往无法正面硬解，只能依靠这种迂回间接的思路突破，索菲・热尔曼正是走了这条迂回路径：不直接证明 x、y、z 只能取平凡解，而是借助无穷多辅助素数的性质，倒逼出只能是平凡解。

可惜的是，这个美好构想过于理想化，无法真正成立。关键漏洞在于：不能一般性保证 k 乘 p 加 1 型辅助素数一定整除 x、y、z 中的某一个，整个论证就此失效。

但索菲・热尔曼的思考并非毫无价值，当 k 取较小数值时，这个结论是成立的。最经典的就是 k 等于 2 的情形：若 p 是素数，且 2p+1 也为素数，那么 2p+1 必然整除 x、y、z 其中之一。

这是索菲・热尔曼的核心成果之一。我简单梳理一下背后的推导逻辑，不难理解，也能体现出她研究的核心思想 —— 借助辅助素数，搭建素数与算术方程的关联。

设 xᵖ + yᵖ = zᵖ，显然 xᵖ + yᵖ − zᵖ等于 0，自然能被辅助素数 q=2p+1 整除。

通过分类讨论可以发现：如果 xᵖ、yᵖ、zᵖ除以 q 的余数都为 1，那么三者相加相减后的结果，除以 q 只能余 1 或余 3，不可能余 0，和原式矛盾。

这就说明，xᵖ、yᵖ、zᵖ中至少有一个除以 q 的余数不等于 1。

若一个数除以 q 余 1 或余−1，它的平方除以 q 一定余 1。因此 x²ᵖ、y²ᵖ、z²ᵖ不可能全都除以 q 余 1。

而 q=2p+1 是素数，根据费马小定理，只要 x 不是 q 的倍数，x^(q−1) 除以 q 一定余 1。结合上面的矛盾可以推出：x、y、z 中必有一个是 q 的倍数。

这就是索菲・热尔曼给出的核心论证，也是她攻坚费马大定理宏大构想的第一步完整证明。

这也是数学界首次针对费马大定理得出一般性结论，不再局限于单个小指数。

她的研究并没有止步于 2p+1 型素数，还进一步研究 4p+1 型辅助素数，重点分析指数为 5 的费马大定理，推导出大量整除约束条件。

她证明：指数为 5 时，若存在非平凡解，数值至少有 30 位，不可能存在小数解。

她在写给高斯的信里说道，大意是：

我已然证明这类方程的解必然大到超乎想象，但这还远远不够，真正需要证明的是不存在任何非平凡解，而不只是解的数值极大。

这句话文笔优美，也能看出她纯粹数学家的治学追求，一心执着于费马大定理的完整证明。

后人也曾用 AI 还原过索菲・热尔曼给高斯写信的场景，有趣的是 AI 生成画面里她是倒着书写的。

回到正题，她最初的整体构想虽然失败了，但数学界后续形成了标准研究范式：把费马大定理分成两种情形。第一种情形，x、y、z 都不是素数 p 的倍数；第二种情形，x、y、z 中有一个是 p 的倍数。只需分开攻克两种情形即可。

索菲・热尔曼借助辅助素数的思路，成功证明了费马大定理的第一种情形：若 p 是素数且 2p+1 也为素数，则不存在 x、y、z 均不被 p 整除的非平凡解。

借助这套定理的推广形式，她一口气证明了所有不超过 100 的素数 p，费马大定理第一种情形全部成立。这足以体现她研究方法的强大价值，是真正可行的通用部分解法。

在她的思想基础上，没过几年，勒让德完整证出了指数为 5 的费马大定理。因为 2 乘 5 加 1 等于 11 也是素数，恰好适配索菲・热尔曼定理，先证出第一种情形，后人再补上第二种情形的证明。

如今我们把满足p 为素数、且 2p+1 也为素数的素数 p，命名为索菲・热尔曼素数，正是为了纪念她的贡献。

随之而来的一个经典未解难题：索菲・热尔曼素数有无穷多个吗？一百多年来数学家始终没能证明，但普遍猜想有无穷多个，这个问题和素数分布的现代数论研究深度绑定。

在索菲・热尔曼之后，库默尔等人开辟了代数数论的全新方向，发展出更多攻坚费马大定理的工具，但她的研究始终保有极高价值。

1980年代，在怀尔斯证明费马大定理之前，阿德曼、福维、希思布朗等人取得重要成果：首次证明有无穷多个素数指数 p，费马大定理第一种情形成立。其核心思想，正是推广了索菲・热尔曼的原始思路，结合素数分布的相关结论，虽弱于证明索菲・热尔曼素数无穷多，但已是重大突破。

接下来我们换个角度，跳出十九世纪初的费马大定理研究。素数的价值从来不只体现在纯数论和索菲・热尔曼的研究中，在现实世界同样不可或缺。

素数的现实世界价值

如今互联网通信安全至关重要。网购支付时，我们会传输银行卡信息，绝不能被黑客窃取。电脑会对银行卡信息进行加密，避免明文传输，加密方式要保证黑客难以破解，同时能和正规网站完成安全通信。

日常手机、电脑使用的主流密码学系统，核心都依赖大整数相乘。银行卡号本身可以视作一个大整数，加密过程就是大量整数乘法运算。

只要涉及整数乘法，就可以依托素数是算术原子的思路，把加密破解问题化简为素数分解问题。

现代密码破解的核心难点，本质就是大整数的素因子分解。

前面举过例子，135 可以唯一分解为 5 乘 3 乘 3 乘 3。再比如 449623，分解后是 521 乘 863。小数分解对计算机十分轻松，但超大整数的分解难度会陡增。

历史上有名的 RSA-896（具有896个十进制数位，目前没有被分解）大数分解挑战，悬赏七万五千美元，长期无人破解。即便如今动用巨型算力勉强分解，成本也远远超过奖金。

RSA-896 = 412023436986659543855531365332575948179811699844327982845455626433876445565248426198098870423161841879261420247188869492560931776375033421130982397485150944909106910269861031862704114880866970564902903653658867433731720813104105190864254793282601391257624033946373269391

计算机用这类大数加密轻而易举，但反向做素因子分解要耗费海量时间。软件可以随意选用远大于这个量级的大数，幻灯片不便展示而已。

正因为密码学绕不开乘法和素数分解，研究者也借鉴了索菲・热尔曼研究辅助素数的思想：如果一个大素因子 p 满足 p−1 只有小素因子，就存在波尔拉德提出的高效破解算法。

这也提醒密码软件选型必须谨慎，随便选用大数很容易被黑客分解破解。

为规避这类攻击，OpenSSL 等主流密码软件都会优先选用安全素数：即大素数 p 满足 (p−1)/2 也为素数。

安全素数的数量，直接决定互联网加密体系的安全性。如果安全素数数量稀少，电脑就要耗费极久时间筛选；如果只有有限一百个，黑客可以直接枚举尝试破解。

而安全素数是否有无穷多个，本质等价于索菲・热尔曼素数是否有无穷多个。

由此可见，索菲・热尔曼当年纯粹出于抽象数论兴趣的研究，和现实互联网安全、密码体系的底层问题完全同源，深刻影响着现代日常生活。

总结

总结一下我们今天讲到的内容：素数是算术世界的原子，遇到整数乘法类难题时，都可以拆解为素数相关的简化问题。费马大定理就是典型案例，化简为只需证明素数指数的情形，难度大幅降低。

借助素数的同余规律、辅助素数构造，索菲・热尔曼在费马大定理上取得历史性突破，给出通用研究方法，证明了大量素数下的第一种情形成立。

而素数的规律研究，很快就会碰到大量百年未解难题：索菲・热尔曼素数无穷性、安全素数无穷性、孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等等，全部属于同类型素数分布问题。

数学家普遍认为，只要攻克其中一个问题，配套方法稍作调整，就能顺带解决另外几个难题，相当于一题通三题。