女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
在德国哲学中，数学被视作精神科学（Geisteswissenschaften）的一部分，而对这一定位的研究，折射出数学与艺术之间的关系。本研究聚焦于哲学家马克斯·本塞的早期著作，他在这些作品中描绘了与哲学相关的数学思想史轮廓。他指出，数学与人类创造能力的各个领域之间存在着紧密联系。尤为重要的是，他对重要历史阶段中艺术与数学之间关系的考察表明，一个时代的数学会在其艺术风格或艺术理论中得到审美上的反映。他提出论题：数学的高峰与艺术的高峰相对应。此后，本塞在数学、符号学和信息论的基础上发展出了一套美学理论。
引言
马克斯·本塞在其整个学术生涯中始终致力于研究数学与美学的关系。马克斯·本塞（1910–1990），出生于斯特拉斯堡，曾在德国波恩大学攻读物理学、化学、数学、地质学和哲学。第二次世界大战后，他被任命为苏占区耶拿大学的校长，并担任哲学与科学预备学教授。1948年，他逃往西德，随后被任命为德国斯图加特大学哲学与科学理论教授。本塞的哲学基本理念是一种存在主义理性主义。他独特的贡献在于阐明了数学在科学以及人类创造性活动各领域中的作用。早在20世纪50年代和60年代，他就已经开始研究技术哲学和信息论概念。他鼓励学生们在大型计算机上进行最早期的艺术编程实践。首批计算机艺术展览在本塞于斯图加特大学创办的研究美术馆中举行。他的思想与理论的哲学背景在今天比以往任何时候都更具现实意义，并构成了媒体科学和人工智能的理论基础。他的思想和理论具有开创性，其著作也获得了国际认可（参见Leopold 2022b），但其中大部分作品仅以德文出版，因此未得到应有的充分关注。
在早期著作《空间与我》（Raum und Ich，Bense 1997 [1934]）中——该书出版时他还是一位年仅24岁的年轻学生——马克斯·本塞就已经开始探讨数学与美、形态（Gestalt）及精神之间的关系。他认为，形态可以被分解为几何原型。但他也区分了审美现象与数学现象之间的差异：审美现象基于经验，而数学现象则基于思维。
几年后，他撰写了两卷关于数学思想史轮廓的著作（Bense 1946 和 1949）。其中与数学和艺术关系相关的主要有趣主题见于第二卷。在本塞看来，艺术涵盖审美精神的所有表现形式，显现于诗歌、文学、绘画、雕塑、建筑以及舞蹈和音乐的表现之中。他的视野聚焦于欧洲艺术及其在埃及的早期根源。这部著作成为他研究艺术中数学原理的起点，尤其在与具体艺术和文学领域的艺术家紧密关联方面，他还进行了自己的诗歌文本实验（Walther 1998）。在后期的著作中，他在信息论和伯克霍夫关于审美测量的定义基础上，发展出了一门精密美学（Bense 1982 [1965] 和 1998 [1969]）。我们在此聚焦于马克斯·本塞1949年的早期著作，该著作在二手文献中尚未得到广泛关注（Herrmann 2018）。在这部著作中，本塞描述了与哲学相关的数学思想史轮廓，并指出了其在艺术中的对应关系。重要历史阶段的例证展示了这些关系。
本塞提出了艺术与数学之间具有明显关联的四个历史阶段（Bense 1949: 58）：
1对称图形与装饰纹样的构建，尤其是在埃及数学与装饰艺术中，体现了前希腊时期数学与艺术之间的关联。
2在哥特式风格中，非具象的哥特式建筑装饰或窗花格的构成，以及哥特式大教堂中空间群组的组织，构成了主要联系。
3文艺复兴时期的特征在于黄金分割学说的复兴、透视法在文艺复兴建筑与绘画中的形成，以及对欧几里得、阿基米德和维特鲁威的重新接受。
4巴洛克艺术的特殊之处在于无穷小算法与普遍数学（Mathesis universalis）概念的出现之间的对应关系，以及空间曲线的运用，这在建筑中尤为显著。
随着18世纪中叶达朗贝尔和狄德罗编纂《百科全书》的出版，普遍数学（Mathesis universalis）的时代宣告终结，普遍机械学（Mathesis mechanica 或 Mechanica universalis）的时代由此开启。在这一时期，数学与机器、技术及各类应用相关联，形成了一种与数学和力学相关的综合技术性关系。这标志着数学精神开始分化为理论—科学方面与建构—技术方面。
在19世纪最后25年间，印象派风格在绘画中得以发展。本塞将印象派与数学基础危机相类比，这场危机始于集合论和非欧几何的兴起。
从20世纪50年代起，本塞著作中关于数学与美学的关系经历了一次决定性的重新定向，这发生在他接触符号学、信息论和控制论之后，他将这一方向称为信息美学（information aesthetics）。这一转向尤其具有重要意义，因为他曾受乌尔姆设计学院创始校长马克斯·比尔之邀，参与该校的通识哲学教育，并随后担任该校新成立的信息系主任（Walther 2003; Leopold 2013, 2022b）。
前希腊数学中的对称与装饰
在本塞看来，美学与数学之间最早的关系体现在对称性上。艺术的数学化具有形态学上的意图。数学方面决定了形式的创造以及元素的构成。这一点可以从几何排列中看出，例如根据对称规则重复某一元素。这种视觉艺术中最普遍、最古老的数学化过程，结合了几何学与算术学的视角。
“在每一种对称关系中，审美意图的数学化过程都显得完美地得以实现，因为在这里，审美纯粹地显现为数学，数学也纯粹地显现为审美；审美与数学在此成为可以互换的术语。”（Bense 1949: 58）
他引用了保罗·瓦莱里（Paul Valéry）的观点，后者认为装饰对艺术具有根本性的重要意义。“从这个角度来看，装饰性概念之于各门艺术，就如同数学之于其他科学一样。”（Bense 1949: 59；Valéry 1895）。这一起源显示了数学的审美化还原，或者说数学诞生于美学精神之中。前欧几里得时代的数学知识正是通过装饰纹样得以流传的。对称图形的构建和装饰纹样的创作被视为美学与数学结合的最早表达。根据本塞对装饰纹样的研究，希腊数学沿袭了可追溯至公元前1500年的埃及传统。本塞提及了大量关于装饰纹样的文献来源（例如Jones 1856），尤其还有其他关于埃及艺术的资料。开罗伊本·图伦清真寺（图1）中约公元876年的早期装饰纹样，展示了不同类型的对称操作，其中以两个檐壁图案为例，分别呈现了反射和滑移反射。在此，本塞所指的装饰纹样理论分析群，在后来成为对其数学理解的重要一步。
图1 开罗伊本·图伦清真寺的灰泥边框纹饰。图片来源：Bense 1949: 69，
这类装饰纹样和对称图形的构造，可以被视为美学与数学结合的最早表达。
哥特式建筑中的空间群组与窗花格
在哥特式建筑中，数学与艺术之间的关系有着深刻的表现。哥特式大教堂的空间群组和哥特式窗花格便是这些表现之所在，其数学背景可以在其中找到。柏拉图立体和阿基米德立体是这些空间群组的组成部分。一种对形式的审美意识通过其对称性特征而变得显而易见。柏拉图在其著作《蒂迈欧篇》中引入柏拉图立体，主要出于审美价值的考量，而开普勒在《宇宙的秘密》中所作的类似观察，则带有纯粹的科学或认识论视角。柏拉图立体或阿基米德立体并非直接用于哥特式建筑，但它们与空间网格相关联。这些网格构成了哥特式建筑的背景，尤其是在塔楼和尖塔的建造中。本塞以斯特拉斯堡大教堂塔尖中重叠的六角棱柱为例，说明空间群组在建筑中的复杂运用。该塔楼基于八边形结构（图2）。根据德希奥（Dehio 1922: 22）的描述，这一建筑的设计理念可概括如下：八根立柱及其间八扇极为纤细的窗户围合了建筑的主体空间，在方形底座的四个角上，四座楼梯塔楼从主体中独立突出，每座塔楼各有不同的平面图。来自科隆的约翰·许尔茨完成了这座塔楼的建造，而在此之前，乌尔里希·冯·恩辛根（1419年）已将塔楼建至八边形完成。在乌尔里希原本计划设置小尖塔的位置，许尔茨放置了小塔楼，这些塔楼以七重花环的形式环绕核心建筑。这些小塔楼共计52座，每座内部都设有螺旋楼梯，其排列方式使得攀登者从一座塔楼转入另一座时，沿着螺旋线盘旋而上直至塔顶（Dehio 1922: 23）。
图2 斯特拉斯堡大教堂的塔楼，塔楼八边形及楼梯塔的平面图。
在法国哥特式建筑形成的过程中，窗花格应运而生，其名称本身就揭示了审美与数学目标的结合。本塞在此引用了洛特莉萨·贝林（Lottlisa Behling）的著作《窗花格的形式与历史》（Gestalt und Geschichte des Maßwerkes，1944），其中展示了曲线风格基本纹样的实例（图3）。这些实例显示了窗花格的装饰性特征。
图3 哥特时期曲线风格的基本纹样，依据贝林（Behling）所绘。
文艺复兴时期对欧几里得的接受、透视理论与比例理论
对欧几里得的接受在哥特时期已然开始，但在文艺复兴时期获得了重要推动。旨在再现场景或建筑物在眼前所呈现样貌的目标，促成了透视法的舞台布景设计的发展。透视法的探索根源可追溯至欧几里得的《光学》。文艺复兴的特征在于一种艺术理性主义。根据思想史的脉络，本塞认为，文艺复兴时期可以看作是对此前在晚期经院哲学的经验理性主义中已有所发展的倾向的重新接续，尤其是罗杰·培根（Roger Bacon，Bacon 1962 [1267]）的工作。培根通过光学实验来提炼关于自然的真正知识。所有关于世界的真正知识的源泉被认为源于直接经验。文艺复兴时期的透视理论正可追溯至这些根源。布鲁内莱斯基通过将透视画与观众对物体的实际观察进行对比的演示，以及阿尔贝蒂关于如何借助视觉金字塔和画面来制作透视图像的说明，都展现了这些认识论层面的背景。
当时哲学中关于世界的认识论构想，与物体的透视再现方式相对应。主体—客体关系在认识论和透视理论中被预设为主题性的。这一关系首先在美学领域得到了发展；哲学上对主客体关系的处理则相对滞后。在米歇尔·德·蒙田（Michel de Montaigne，1533–1592）的随笔中，我们已经可以找到将主体与客体区分为认知图式的表述，而这正是近代思想的特征。此后很久，康德（Immanuel Kant，1724–1804）才将主客体关系作为认识论的基础加以系统阐述。
本塞认为，文艺复兴运动中艺术理性主义兴起的原因如下：
● 晚期经院哲学理性主义与经验主义的后续影响。
● 社会学层面的变革，拥有工艺技术知识与技能的人逐渐崛起，作为“现代派”（Moderni）与几何学者并立。
● “现代派”和人文主义者（作为作家和语文学家）对修道院学校的超越，他们起初对自然科学并无兴趣，但后来却架起了通往哲学、科学和数学传统的桥梁。
● 艺术家的崛起，他们将中世纪精神与技术工艺相结合，并承接了需要技术和数学研究的世俗建筑委托。
这一背景以及对欧几里得、阿基米德、维特鲁威和普罗克洛斯的接受，促成了对精密科学和艺术的追求。马克斯·本塞提及了乌切洛、皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡、布鲁内莱斯基、阿尔贝蒂、列奥纳多和丢勒（例如图4中的透视绘图机）作为文艺复兴时期透视法与比例理论的伟大理论家和实践者。
图4 丢勒所绘雅各布·凯泽透视绘图机版本的草图。
本塞认为，由瓦萨里创立并于1563年在佛罗伦萨开办的绘画艺术学院（Accademia della arti del disegno），是这些发展进程中最具代表性的精神体现。其课程设置包括解剖学、数学、技术、建筑和透视法等科目。
伽利略·伽利莱对缩放圆规的发明，从思想、历史和技术层面补充了透视法的引入。除了艺术向数学靠拢的路径之外，与技术世界之间的密切接触也随之出现。在本塞看来，自伽利略以后，数学画家同时也是技术画家。关于比例规的发明者之争——巴尔达萨·卡普拉还是伽利略·伽利莱——显示了这一新工具的重要性。此后，该圆规出现了多种改进版本。本塞特别提到了数学家、物理学家兼哲学家约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert，1768年）较晚期的版本及其著作，认为它们尤其体现了自文艺复兴以来艺术、数学与技术之间的紧密联系。
巴洛克时期的普遍数学与空间曲线
普遍数学（Mathesis universalis）这一理念，即以数学的普遍适用性为核心的一门普遍科学，与巴洛克艺术史时期相吻合，该时期大约持续从1600年至1750年。这是一个数学成果丰硕且数学哲学活跃的历史时期。笛卡尔、帕斯卡和莱布尼茨，他们同时是数学家和哲学家，在1630年至1750年这一古典时期奠定了普遍数学的理念。
普遍数学（Mathesis universalis）的理念，在广义数学的意义上——即包含非数学对象或一种方法——根据笛卡尔的看法，是在数学上控制着我们理性的科学和哲学推理。数学的形式要求科学和哲学的形式，其特征是两类命题：公理和定理。从公理出发，定理应通过逻辑推理规则推导得出（Descartes 1969 [1637]）。普遍数学的第一个纲领可以在笛卡尔的著作中找到。
帕斯卡在《几何精神论》（De l’esprit géométrique，Pascal 1658）中构建了一种科学理论，在其中他为定义、公理和证明制定了精确的规则。马克斯·本塞将其评价为超越欧几里得和亚里士多德纲领的首个公理化范例。
莱布尼茨最终在《普遍字符》（characteristica universalis，Leibniz 1679）中首次纲领性地将其描述为一种普遍的概念语言。
巴洛克时期关于“总体艺术作品”（Gesamtkunstwerk）的艺术理论纲领，与普遍数学的科学理论纲领相一致。建筑在这一时期领先于绘画和雕塑。本塞提出了数学的形式感影响艺术普遍风格的三个要点：
● 文艺复兴时期所应用的透视理论及其实际操作的几何内涵，被转化到了空间之中。文艺复兴时期所绘制的透视画面，在建筑本身中被转化了。“世界的透视化——城市综合体或背景中的风景——在文艺复兴时期是被绘制的，而到了1600年至1750年间，艺术家们则要在建筑上掌握它。”（Bense 1949: 96）。浮雕透视法的发展显示了这种普遍化过程，即二维透视图像被转化到空间中。投影几何的数学概念与浮雕透视的建筑应用之间的关系，作者已在别处进行了详细分析（Leopold 2019a），这为本塞关于艺术普遍化的论题提供了一个例证。
● 普遍数学的深层思想——即通过数学理论来控制一切存在，尤其是自然世界——在艺术领域意味着自然可以被纳入审美体系之中。这一点在巴洛克时期园林建筑与建筑物的结合中表现得尤为突出。
● 沃尔夫林在其基础艺术史概念中，以“多样性”与“统一性”这对概念区分了16世纪古典艺术与17世纪艺术（Wölfflin 1915）。科学中的统一性理念同样是巴洛克艺术的特征。“巴洛克艺术基本上不再以多个独立部分和谐互锁的多重性来考量，而是以绝对的统一性来考量，在这一统一性中，个体部分已失去了其特殊权利。”（Wölfflin 1915: 165）。
本塞将“表征”（Representation）描述为巴洛克时期数学中最重要的概念之一。普遍字符（characteristica universalis）要求思想与符号之间、即思想的表征之间具有一一对应的关系。一个例子是笛卡尔几何中通过方程来表征几何曲线，这一思想在函数概念中得到了进一步发展，莱布尼茨和伯努利也以此方式表征曲线。巴洛克艺术可以被定性为表征性艺术。艺术与数学之间的另一层关联或许可见于瓜里尼的建筑几何学，它预见了帕斯卡关于圆锥曲线在中心投影下保持不变性的分析。
莱布尼茨和伯努利在微积分发展中所提出的另一个重要数学概念是连续性（Continuity）。在巴洛克艺术中，连续形态与曲线的运动，与数学中的连续性概念相互对应。文艺复兴时期绘画中那种为了建立比例和对称关系而采用的连续线性排列方式，在巴洛克时期被非线性的、连续的、曲线性的排列所取代。根据本塞的说法，意大利巴洛克的主要代表人物包括：贝尔尼尼、博罗米尼、瓜里尼和尤瓦拉。在德国，尤其是巴塔萨尔·诺伊曼及其十四圣徒朝圣教堂（Vierzehnheiligen Basilica，图5），代表了巴洛克式的曲线性布局。他同时是一位建筑师和数学家。对巴洛克艺术的分析总是与数学分析相结合。
图5 十四圣徒朝圣教堂（Vierzehnheiligen）内部，巴尔塔萨尔·诺伊曼设计，1743–1772年，作为晚期巴洛克非线性、连续、曲线风格的代表。
从普遍数学到普遍机械学——启蒙时代
随着1751年首卷百科全书《百科全书，或科学、艺术与工艺分类词典》（Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers）的出版，由达朗贝尔和狄德罗主编，一个新时代开始了。其目标是汇集世界上的知识。“分类词典”（Dictionnaire raisonné）这一表述揭示了其与笛卡尔、帕斯卡和莱布尼茨这三位思想家的关联。本塞关于普遍数学的论题在此转变为普遍机械学（Mathesis mechanica）。普遍数学的纲领在于数学的普遍适用性。在1750年至约1830年间，欧拉、伯努利、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯等人完成了对力学原理的数学阐明（Bense 1946: 123 ff.）。力学日益走向科学发展的前沿。本塞写道：“如果说古典普遍数学是笛卡尔、帕斯卡和莱布尼茨的古典理性主义的典范，涵盖了1630年至1750年这一时期，那么古典普遍机械学则是牛顿、惠更斯、洛克和休谟的经验主义或归纳经验主义的典范”（Bense 1946: 125f）。经验主义日益推进，理性主义则走向衰落。在普遍机械学中，机械师与科学几何学家之间在知识社会学上的差异被消除了。列奥纳多·达·芬奇早已从数学的视角同时照亮了艺术与技术。由瓦萨里和科西莫·德·美第奇在佛罗伦萨创立的绘画艺术学院（Accademia del disegno）——在关于文艺复兴的章节中已经提及——在那里艺术家、机械师、工程师和数学家相互交流，成为了后来工业大学——即理工学院——的前身。在百科全书派、唯物论者和革命者的那个年代，数学在教学上的重要性从未被触及，因为在启蒙时代，他们希望教育人们独立自主地思考。
加斯帕尔·蒙日，作为画法几何的伟大重建者，是巴黎第一所综合理工学院（École Polytechnique）的创始人。由此，力学与数学的双重精神得以具体化。这所新学校正是普遍机械学时代的体现。建筑学成为这些理工学院的一部分。即使在今天，建筑学仍具有双重属性：一方面作为工业大学的院系存在，另一方面作为艺术学院的学科专业而设立。
从理性主义到经验主义的路径，一方面表达了形式的衰败之路，另一方面也体现了智性创造能力的弱化之路。本塞认为，“精神在创造行为中的强度，大于其在经验行为中的强度”（Bense 1946: 155）。从理性主义到经验主义的道路，表达了智性人类从审美阶段向伦理阶段的过渡。汉斯-克里斯蒂安·冯·赫尔曼（Hans-Christian von Herrmann，2018: 86）在其关于本塞著作中数学与美学关系的文章中恰当地指出，技术史——约在18世纪中叶成为关注焦点——打破了近代早期数学—艺术精神的一体性。
印象派与数学基础危机的平行关系
在19世纪最后25年间，印象派在绘画中占据了重要地位。根据本塞的看法，印象派所发起的对清晰具象轮廓的消解倾向，与数学中著名的重大基础危机——始于集合论和非欧几何——同时发生，这并非偶然。非欧几何首次表明，存在的不是唯一的一种数学，而是多种数学体系，并且某些命题在一种数学体系中为真，在另一种数学体系中却为假。克劳德·莫奈于1874年在巴黎展出了其开创性画作《日出印象》（图6）。同年，格奥尔格·康托尔发表了论文《关于所有实代数集合的一个性质》（Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen），这被视作集合论诞生的标志。他最初称之为“流形论”（Mannigfaltigkeitslehre）。这是首次区分了两种不同类型的无穷集合。早在1867年，伯恩哈德·黎曼发表了《关于几何学基础的假设》（Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen，图7）——该文为其1854年的就职演讲——其中阐述了对我们空间之非欧几里得特性的解释。
图6 莫奈（Claude Monet）：《日出印象》（Impression）。1874年。
图7 伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）：《关于几何学基础的假设》（Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen）。
随着集合论的出现，在看似公理—演绎结构的算术中，矛盾变得明显起来。随着非欧几何的取代，几何学中对清晰性和欧几里得式明证性的要求已无法满足。本塞总结道：“在理论上，数学的无矛盾性成了一个难题；在实践上，几何学——即哪一种几何学？——在自然中的应用也成了一个难题”（Bense 1946: 157）。在绘画中，情况类似：在印象派中，绘画从素描、从几何可构想的形式中发展出来的过程被打破了，而将印象派的审美意识追溯到最广义上的几何意识已不再可能。色彩对画家来说变得最为重要。
根据塞尚的看法，对画家而言，既不存在线条也不存在曲线。存在的只是色彩对比，而这些色彩并不是牛顿物理学意义上的客观物理颜色，而是歌德生理现象学颜色理论中的主观生理颜色。最后，本塞总结道，印象派的技法是一种综合性的绘画方式，正如射影几何是一种综合性几何学一样（Bense 1946: 160）。射影几何作为一种综合性几何学，建立在公理化的几何原理之上，这些原理通过几何对象（点、直线、平面等）之间的相互关系来隐含地定义它们。在印象派中，大气透视日益取代了线性空间透视。大气透视仅仅通过色调来营造空间层次感。印象派的技法同样是综合性的，因为绘画表现的是艺术家感知世界与想象世界的综合，而非对外部世界的分析。
本塞美学中数学与艺术的关系
早在从事数学与艺术思想史的历史研究的同时及此后，本塞便致力于符号学和数学信息论的研究，其目标是建立一门涵盖所有个体艺术与设计领域的精密美学。他对其美学概念作了如下论述：
“美学勾勒出可能的艺术作品的原则……但不是通过艺术的手段，而是以纯粹理论的形式。……但美学只是从其预设的艺术生产中产生出它的研究对象。这些对象是审美对象、审美判断和审美存在。”（Bense 1982: 22）
在美国哲学家和数学家查尔斯·桑德斯·皮尔士（Charles Sanders Peirce，1839–1914）著作的基础上，本塞将他的符号学发展为一门符号理论。戴维·G·伯克霍夫（David G. Birkhoff，1933）关于审美测度的定义、克劳德·E·香农（Claude E. Shannon，1948）的信息论，以及诺伯特·维纳（Norbert Wiener，1948）的控制论，为这一新美学提供了基础。这些研究早在20世纪50年代就已由本塞开展，其动力源于他在乌尔姆设计学院期间的经历。他与法国斯特拉斯堡大学教授、同时也是乌尔姆设计学院讲师的亚伯拉罕·A·莫尔斯（Abraham A. Moles，Moles 1966）共同构建了信息美学，通过符号学和数学手段来表征审美状态（Bense 1998 [1969]）。适用于自然对象、艺术作品或设计对象的审美状态，被定义为审美信息。借助符号学和香农的信息论，所有基于技术和艺术的交流形式都可以得到奠基。伯克霍夫的审美测度被本塞解释为审美信息。伯克霍夫将审美测度 M 定义为所观察构形的秩序与复杂度等级的函数：M=O/C，其中 O 为秩序关系、对称性和和谐性的数量，C 为复杂度（参见 Leopold 2019b, 2022a）。与伯克霍夫的考量相一致，本塞将审美状态定义为有序状态与无序状态之间的关系。秩序关系 O 对应于冗余度，即有序状态，而 C 对应于混沌或创新，即无序状态。他在其《美学》（Aesthetica）中解释道：
“一种完美的创新，如果其中仅存在如同混沌般的新状态，那将是不可识别的。混沌终究是无法辨认的。一个审美状态的可识别性，不仅要求其单一创新的可识别性，还要求其基于冗余秩序特征的可辨识性。”（Bense 1982: 356）
本塞很早便对技术及控制论——作为数学逻辑在技术中的应用——的作用产生了兴趣。他引用了诺伯特·维纳的控制论，并在《控制论或机器的元技术》（Kybernetik oder die Metatechnik einer Maschine）中写道：
“这种技术向此前难以企及的领域的渗透，及其向元技术的转化——这种转化不断模糊所谓物质领域与非物质领域之间的界限——可以通过这样一个事实来证明：诺伯特·维纳所说的控制论机器，不仅……是在逻辑学家、数学家和技术人员之间的持续合作中创造出来的……而且它们所具有的功能，与人类意识的某些特有能力——如记忆——相对应。……通过技术，人类为自己创造了一个与其作为自然存在和精神存在的双重角色相适应的‘环境’。”（Bense 2004 [1951]: 54–60）
关于传播理论、符号学、控制论及其对美学影响的更多细节，作者已在别处进行了描述（Leopold 2022b）。本塞的美学理论与概念对乌尔姆设计学院的学术背景产生了深远影响（Leopold 2013），也对早期的计算机图形实验、设计以及建筑设计方法产生了影响（Leopold 2022a, b）。早在20世纪60年代，许多艺术家、设计师、数学家等就已受到本塞的启发，借助计算机技术进行创作。这些艺术作品，例如数学家、后来成为德国不来梅大学计算机科学教授的弗里德·纳克（Frieder Nake，2012）的作品，便属于最早的计算机艺术实验。本塞的美学理论再次将数学与艺术紧密联系在一起——如今是在一个普遍的理论层面上，同时也适用于各类艺术作品的创作实践。
结论
马克斯·本塞对数学与艺术之间思想史关系的研究，在若干历史阶段上展示了有趣的成果。他总结道：
“作为这项对数学与艺术的思想史研究的结果，可以断言：欧洲艺术中每一种新风格的出现，都与数学方法和定理的引入相关联，该风格的形式要素或多或少都可以统一而完整地追溯至这些数学方法和定理。”（Bense 1949: 207）
该研究仅限于欧洲艺术，而有趣的补充性研究可以在全球范围内寻找类似的关系。本塞从研究中得出了一种纯粹艺术形式的美学，这种美学可追溯至数学形式。但他也讨论了这样一个问题：这些形式中哪些可被称为艺术的，以及美学应如何理解？他的回答是：那些作用于我们感官的数学形式——即它们不仅可被思考、不仅可被感知，而且能触动我们、改变我们——这些具有情感作用的形式被称为审美形式。
根据马克斯·本塞的哲学研究，数学与艺术之间的关系可以在其思想史的相互对应中被探讨。本塞通过四个历史阶段——即前希腊时期、哥特时期、文艺复兴时期和巴洛克时期——对此进行了描述。他阐明，欧洲艺术中新风格的出现与数学中新方法的引入相关联。在他的美学理论中，艺术形式可以追溯至数学形式。这些背景脉络通过若干实例得以呈现，使二者关系变得可理解。在启蒙时代，理性主义转向经验主义，数学作为应用数学在技术领域中变得日益重要。近代早期数学精神与艺术精神的统一性由此被打破。此外，本塞还指出了印象派绘画中形式的消解与数学中因集合论和非欧几何而引发的基础危机之间的平行关系。在其后续工作中，本塞在符号学、数学和信息论的基础上发展出了一套美学理论。在这一美学理论中，数学与艺术被重新紧密联系在一起，激发了艺术家、科学家和研究者进行艺术实验，尤其是早期的计算机艺术实验。这一后期扩展的美学概念，本文仅能略作提示。
参考文献
Bacon, Roger. 1962 [1267]. Opus Majus V and VI, De Scientia perspectiva, Scientia experimentalis Opus Majus, Vol. II. In the Internet Archive, Robert Belle Burke (transl.). New York: Russell & Russell Inc.
https://archive.org/details/opusmajusofroger002065mbp. Accessed 7 February 2024.
Behling, Lottlisa. 1944. Gestalt und Geschichte des Maßwerks. Halle (Saale): Max Niemeyer.
Bense, Max. 1946. Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. Die Mathematik und die Wissen schaften. Hamburg Claassen & Goverts.
Bense, Max. 1949. Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik II. Die Mathematik in der Kunst. Hamburg: Claassen & Goverts.
Bense, Max. 1982 [1965]. Aesthetica. Baden-Baden: Agis. 2nd expanded edition.
Bense, Max. 1997 [1934]. Raum und Ich. Eine Philosophie über den Raum. In Elisabeth Walther (ed.). Max Bense. Ausgewählte Schriften in vier Bänden. Band 1. Philosophie. Stuttgart: Metzler: 5–71.
Bense, Max. 1998 [1969]. Einführung in die informationstheoretische Ästhetik. Grundlagen und Anwendung in der Texttheorie. In Elisabeth Walther (ed.). Max Bense. Ausgewählte Schriften in vier Bänden. Band 3. Ästhetik und Texttheorie. Stuttgart, Weimar: Metzler: 251–417.
Bense, Max. 2004 [1951]. Kybernetik oder die Metatechnik einer Maschine. In Barbara Büscher, Hans Christian von Herrmann, Christoph Hoffmann (eds.). Ästhetik als Programm. Max Bense/Daten und Streuungen. Berlin: Diaphanes: 50–61.
Birkhoff, Georg David. 1933. Aesthetic measure. Cambridge, MA: Harvard University Press.
Bruck, Robert (ed.). 1905. Das Skizzenbuch von Albrecht Dürer. https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/71653, Taf.136. Accessed 7 February 2024.
Dehio, Georg. 1922. Das Straßburger Münster. München: Piper. https://doi.org/10.11588/diglit.12157
Descartes, René. 1969 [1637]. Discours de la méthode ed. and transl. by Lüder Gäbe. Hamburg: Meiner.
Herrmann, Hans-Christian von. 2018. Geist der Abstraktion. Mathematik und Ästhetik bei Max Bense.
In Elke Uhl, Claus Zittel (eds.). Max Bense. Weltprogrammierung. Stuttgart: J. B. Metzler: 83–94. https://doi.org/10.1007/978-3-476-04702-1_6
Jones, Owen. 1856. The Grammar of Ornament. London: Day and Son. https://archive.org/details/gri_33125008700086. Accessed 7 February 2024.
Lambert, Johann Heinrich. 1768. Kurzgefasste Regeln zu perspektivischen Zeichnungen, vermittelst eineszu deren Ausübung, so wie auch zu geometrischen Zeichnungen eingerichteten Proportional-Zirkels.Augsburg: Eberhardt Kletts. http://www.kuttaka.org/~JHL/L1768a.pdf. Accessed 7 February 2024.
Leibniz, Gottfried Wilhelm. 1679. Zur allgemeinen Charakteristik / Zur Characterstica universalis. In Ernst Cassirer (ed.). 1966. Hauptschriften zur Grundlegung der Philosophie. Band 1. Hamburg: Felix Meiner.
Leopold, Cornelie. 2013. Precise Experiments: Relations between Mathematics, Philosophy and Design at Ulm School of Design. Nexus Network Journal 15: 363–380. https://doi.org/10.1007/s00004-013-0148-6
Leopold, Cornelie. 2019a. The Development of the Geometric Concept of Relief Perspective. Nexus Network Journal 21: 227–252. https://doi.org/10.1007/s00004-019-00448-1
Leopold, Cornelie. 2019b. Geometric and Aesthetic Concepts Based on Pentagonal Structures. In Bharath Sriraman (ed). Handbook of the Mathematics of the Arts and Sciences. Cham: Springer: 1–26. https:// doi.org/10.1007/978-3-319-70658-0_20-1
Leopold, Cornelie. 2022a. Geometry of Structures and its Philosophical Aesthetic Background. In Werner van Hoeydonck,
Christian Kern, Eva Sommeregger (eds). Space Tessellations. Experimenting with Parquet Deformations Basel: Birkhäuser: 91–106. https://doi.org/10.1515/9783035625189-006
Leopold, Cornelie. 2022b. On the relationships between philosophy of technology, cybernetics, and aesthetics with their impacts on Latin America. AI & SOCIETY. Journal of Knowledge, Culture and Communication 37: 1027–1044. Special issue on Cybernetics in Latin America: Contexts Developments, Perceptions and Impacts. https://doi.org/10.1007/s00146-021-01338-2
Cornelie Leopold, Relationships between Mathematics and Art in Their Intellectual History - Reflections According to Max Bense
Meier, Erwin. 2015. Basilica Vierzehnheiligen, Balthasar Neumann, 1743–1772. CC BY-SA 3.0, https:// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f6/Innenraum-Panorama_der_Basilika_Vierzehnheiligen.jpg. Accessed 7 February 2024.
Moles, Abraham André.1966. Information theory and esthetic perception. Urbana: University of Illinois Press. French original 1958.
Monet, Claude. 2013 [1872]. Public domain, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Monet_-_Impression,_Sunrise.jpg. Accessed 14 February 2024.
Nake, Frieder. 2012. Information Aesthetics: An heroic experiment. Journal of Mathematics and the Arts 6, 2–3: 65–75. https://doi.org/10.1080/17513472.2012.679458
Pascal, Blaise. 1658. De l’esprit géometrique Éditions eBooks France. https://www.ebooksgratuits.com/ ebooksfrance/pascal_de_l_esprit_geometrique.pdf. Accessed 14 February 2024.
Riegl, Alois. 1893. Stilfragen: Grundlegungen zu einer Geschichte der Ornamentik. Berlin: Siemens. https://doi.org/10.11588/diglit.8075
Riemann, Bernhard.1867. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Göttingen:
Dieterichsche Buchhandlung. https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/item/DFHLJHW4XQVEUO7EX57TTI4MRX5WGVZM. Accessed 14 February 2024.
Shannon, Claude Elwood. 1948. A mathematical theory of communications. Bell System Technical Journal 27: 379–423; 623–656.
Valéry, Paul. 1895. Introduction à la méthode de Léonard de Vinci. Paris: La Nouvelle Revue Française.
Walther, Elisabeth (ed.). 1998. Max Bense. Ausgewählte Schriften in vier Bänden. Band 4. Poetische Texte. Stuttgart, Weimar: Metzler.
Walther, Elisabeth. 2003. Our Years in Ulm: 1953 to 1958, 1965, and 1966. In: Ulmer Museum/HfG Archiv (ed.): ulmer modelle—modelle nach ulm. hochschule für gestaltung ulm / ulm school of design 1953–1968. Ostfildern-Ruit: Hatje Cantz: 90–93.
Wiener, Norbert. 1948. Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine. Paris: Hermann & Cie; Cambridge, MA: MIT Press.
Wölfflin, Heinrich. 1915. Kunstgeschichtliche Grundbegriffe: das Problem der Stilentwickelung in derneueren Kunst. München: Bruckmann. https://doi.org/10.11588/diglit.27250
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