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之前发布过这篇文章，今天修改后重新发布在这里，红色字表示主要修改地方，感谢天文学史群(AstroHistory)的多位群友对之前文章给出的评论与建议。
一，
上一篇文章《 《周髀算经》的成书年代依然是未解之谜！ 》回顾前人考证《周髀算经》成书年代的工作，但没有介绍刘朝阳的工作，其实刘朝阳的观点正是认为《周髀算经》成书于东汉， [1] 但是他提供的多项证据中仅有《汉书·艺文志》未收录《周髀算经》能称得上是较为有力的证据。
接下来，我们简单介绍《汉书·艺文志》的来历。根据《汉书·成帝纪》和《汉书·艺文志》的记载，河平三年 ( 前 26 年 ) 汉成帝命令谒者陈农 “求遗书于天下”，同时命令光禄大夫刘向（前 77 年 — 前 6 年）和其他几位学者官员“校中秘书”（校对秘府藏书）。 [2] 每校完一部书，校书官员就整理一份书录，书录包括这部书的目录和主要内容，“向辄条其篇目，撮其指意，录而奏之”。 [3] 《别录》一书就是由每部书的书录汇集而成。刘向去世后，汉哀帝命令刘向儿子刘歆（？ —23 年）继续校书。刘歆校书时将《别录》节略为《七略》，并在哀帝建平时期 ( 前 6 年 - 前 3 年 ) 将其上奏。东汉班固（公元 32 年—公元 92 年）撰写《汉书》时，将《七略》一书编成《艺文志》。在唐宋之后，《别录》和《七略》都已失传，《汉书·艺文志》成为了现存的最早目录学著作。所以《汉书·艺文志》实质上就是现存的西汉官方藏书目录。
所以，《汉书·艺文志》未收录《周髀算经》意味着《周髀算经》不在汉成帝命令谒者陈农 “求遗书于天下”的范围，这至少可以说明到西汉末的建平时期 ( 前 6 年 - 前 3 年 ) 为止，《周髀算经》并未开始流传。这确实可以看作是《周髀算经》成书于东汉的一个较为有力证据。
但是，刘朝阳误把蔡邕朔方上书的光和元年（ 178 年）看成是元和元年（ 84 年），所以他最终得出了《周髀算经》成书于东汉前期的结论。
接下来，我将列举多个证据充分论证，《周髀算经》的 核心篇章 (#B 、 #D 、 #E 、 #F 、 #G 篇 ) 确实成书于东汉。
二，
最有力的一类证据就是《周髀算经》与《尚书考灵曜》、《洛书甄耀度》、《孝经援神契》等纬书的相近甚至相同的内容。
作为数理天文著作，《周髀算经》中给出了盖天数理模型的一组天文数据：
名称
璇玑半径
内衡半径
中衡半径
外衡半径
日照半径
宇宙直径
数值
11.5 千里
119 千里
178.5 千里
238 千里
167 千里
810 千里
这几条天文数据之间是相互依赖的，在一些合适的前提之下，其他数据都可以由宇宙直径推导得出 [4] ，但这绝不意味着古人也是如此得到这些数据的。
表格中的“内衡”、“中衡”、“外衡”分别是《周髀算经》中“七衡”的“内一衡”、“次四衡”、“外七衡”，原文是：“凡为日月运行之圆周，七衡周而六间，以当六月节”，而且相邻衡的间距为“是故一衡之间万九千八百三十三里、三分里之一，即为百步”。
与之完全相同的内容也出现在《孝经援神契》：
孝经援神契曰：周天七衡六间者，相去万九千八百三十三里三分里之一，合十一万九千里。从内衡以至中衡，中衡以至外衡，名，五万九千五里。[5]
“中衡”，也就是“次四衡”，在《周髀算经》中就是我们看到得太阳在春秋分时期的运动轨迹圈，在浑天说中，这个轨迹圈就是“周天”。《周髀算经》中关于“中衡”的数据是：
次四衡径三十五万七千里，周一百七万一千里。分为度，度得二千九百三十二里七十一步、千四百六十一分步之六百六十九。
几乎相同的数据也出现在《尚书考灵曜》、《洛书甄耀度》中，只不过以“周天”的形式出现：
按考灵耀云：一度二千九百三十二里，千四百六十一分里之三百四十八，周天百七万一千里者，是天圆周之里数也。以围三径一言之，则直径三十五万七千里，此为二十八宿周回直径之数也。然二十八宿之外，上下东西，各有万五千里，是为四游之极，谓之四表。据四表之内，并星宿内，总有三十八万七千里。然则天之中央上下正半之处，则一十九万三千五百里，地在其中，是地去天之数也。 [6]
洛书甄耀度曰：周天三百六十五度四分度之一。夫一度为千九百三十二里，则天地相去十七万八千五百里。 [7]
《洛书甄耀度》这句原文中“千九百三十二里”前面明显脱了一个“二”字，《宋书·天文志》中的记载是：
洛书甄耀度、春秋考异邮皆云：周天一百七万一千里，一度为二千九百三十二里七十一步二尺七寸四分四百八十七分分之三百六十二 [8]
《周髀算经》中宇宙直径，也就是日光有时能照到的范围直径，为八十一万里，原文为：“故日光外所照，径八十一万里，周二百四十三万里。”所以以天极为中心的话，“日光外所照”的范围应该是四十万五千里，而《尚书考灵曜》中也出现了相近的日照数据：
尚书考灵曜曰：黑帝亡，二日并照。又曰：仲春、仲秋、日出于夘，入于酉；仲夏，日出于寅，入于戍；仲冬，日出于辰，入于申。又曰：日光照四十万六千里。 [9]
有意思的是，这里关于冬夏日出日入的平行文字也出现在《周髀算经》中：“冬至昼极短，日出辰而入申，阳照三，不覆九。夏至昼极长，日出寅而入戌，阳照九，不覆三。”
值得一提的是《尚书考灵曜》中还有一句话：“从上临下八万里。天以圆覆，地以方载” [10] ，在《周髀算经》中也有类似的原文：“天象盖笠，地法覆盘，天离地八万里。”
还有《易纬 · 通卦验》和《周髀算经》都出现了二十四节气晷长数据， [11] 但明显都不是实测数据。两汉文献中除了这两处文献外，只有在《后汉书 · 律历志》所载的东汉四分历中再次出现二十四节气晷长数据，但这是实测数据。 [12]
如此之多的相似甚至雷同内容，尤其是多个数据的吻合，充分说明了《周髀算经》与《尚书考灵曜》、《洛书甄耀度》、《孝经援神契》等谶纬之间肯定有因袭关系。而且两汉其他文献中均未出现“周天百七万一千里”、 “周天七衡六间”、“相去万九千八百三十三里三分里之一”等内容与数据，因此这些内容与数据是十分特殊的，不像“天圆地方”，“日影千里差一寸”等属于两汉时期流传很广的公共天文知识，由此可以断定《周髀算经》与谶纬之间肯定有直接的因袭关系。
那么究竟是《周髀算经》因袭谶纬，还是谶纬因袭《周髀算经》呢？如果《周髀算经》真是成书于西汉，真是多位谶纬作者们不约而同地因袭《周髀算经》的内容， 那就意味着《周髀算经》这本书在西汉末已经有了相当的影响力，可是为什么《汉书·艺文志》没有收录呢？为什么到蔡邕朔方上书提及《周髀》的光和元年（ 178 ）为止，将近两百年的时间内，竟无一现存史料提及盖天说著作。
还有一个有力的证据表明应该是《周髀算经》因袭谶纬，就是《周髀算经》中的“故日光外所照，径八十一万里”。八十一这个数字源自象征天道的极阳之数“九”的自乘，在汉代政治、宗教、音律、历法、术数等领域都具有高度的神秘性。五音之首宫的律数就是八十一，《淮南子 · 天文训》中有详细记载：
以三参物，三三如九，故黄钟之律九寸，而宫音调。因而九之，九九八十一，故黄钟之数立焉。黄者，土德之色。钟者，气之所种也。日冬至，德气为土，土色黄，故曰黄钟……黄钟为宫，宫者音之君也。故黄钟位子，其数八十一，主十一月，下生林钟。林钟之数五十四，主六月，上生太蔟…… [13]
类似记载见于《史记·律书》：“律数：九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以为商……” [14] 汉武帝时期的太初改历就是以八十一为日法，朔望月为 日，因此太初历又称 “ 八十一分律历 ” 。汉书中记载了日法取八十一的依据是：
其法以律起历，曰：“律容一龠，积八十一寸，则一日之分也。与长相终。律长九寸，百七十一分而终复。三复而得甲子。夫律阴阳九六，爻象所从出也。故黄钟纪元气之谓律。律，法也，莫不取法焉。” [15]
东汉光武帝刘秀于中元元年（ 56 年） “ 宣布图谶于天下 ” ， [16] 当时官方钦定的谶纬之书包括“河洛五九，六艺四九”， [17] 所以篇数正是八十一。
谶纬《春秋元命包》中也提到：“天不足西北，阳极于九，故周天九九八十一万里”。这句话分别被《艺文类聚》 [18] 、《太平御览》 [19] 、《玉海》 [20] 、《困学纪闻》 [21] 、《天中记》 [22] 等引用。
另一部谶纬《春秋命历序》还提到： “ 神农始立地形，甄度四海，东西九十万里，南北八十一万里”。这句话则分别被《广雅》 [23] 、《开元占经》 [24] 、《太平御览》 [25] 、《事物纪原》 [26] 、《山海经广注》 [27] 、《玉芝堂谈荟 · 四荒所届》 [28] 等引用。
所以如果是《尚书考灵曜》、《洛书甄耀度》、《孝经援神契》等宣扬神秘主义和政治预言的谶纬因袭了《周髀算经》，那么 “故日光外所照，径八十一万里”作为《周髀算经》中盖天模型的核心数据几乎肯定会被这些谶纬的作者认为是充满神秘性和权威性并直接因袭使用，也几乎肯定会像《春秋元命包》：“周天九九八十一万里”和《春秋命历序》： “ 南北八十一万里”一样被广泛引用 [29] 。但是，现在的谶纬和谶纬辑本中，却根本看不到“日光范围直径八十一万里”的数据。
而且，《尚书考灵曜》中还出现了“日光照四十万六千里”的数据，虽然和“径八十一万里” ( 半径四十万五千里 ) 很接近，但还是有明显偏差。不过这个数据是因《太平御览》的引用才保存至今，这里要考虑到传抄误字的可能。但无论《尚书考灵曜》的原文是“日光照四十万六千里”还是“日光照四十万五千里”，在《尚书考灵曜》因袭《周髀算经》的前提下，这都是极为反常的现象，因为既然谶纬的性质是神秘主义和政治预言，作者毫无疑问应该是优先选择“八十一万里”的数据，而不是“四十万五 / 六千里”的数据。所以由此大致可以推测《尚书考灵曜》的作者应该没有接触到《周髀算经》。
综合以上分析可以大致得出结论：《周髀算经》因袭《尚书考灵曜》、《洛书甄耀度》、《孝经援神契》等谶纬，考虑到这些谶纬源于西汉末期，定型于东汉初，所以《周髀算经》成书时间当在东汉。
三，
除了谶纬这个证据外，还有三个十分有力的证据支持《周髀算经》成书于东汉的结论。
盖天说，作为一种宇宙学说，总要经历从口头流传，辩论到著书立说，从粗略定性描述到精细数理模型的演化过程，而且这种过程往往比较漫长。
但是目前关于盖天说，最早的史料只能追溯到西汉末的扬雄， [30] 以下是相关详细史料：
桓谭新论曰：通人扬子云，因众儒之说天，以为盖，常左旋，日月星辰随而东西。乃图画形体行度，参以四时历数，昏明昼夜，欲为世人立纪律，以垂法后嗣。余难之曰：“春秋，昼夜欲等，平旦，日出于夘，正东方；暮，日入于酉，正西方。今以天下之占视之，此乃人之夘酉，非天夘酉。当北斗极。北斗极，天枢。枢，天轴也，犹盖有保斗矣。盖虽转，而保斗不移。天亦转周匝，斗极常在，知为天之中也。仰视之，又在北，不正在人上，而春秋分时，日出入乃在斗南，如盖转，则北道近，南道远，彼昼夜数何从等乎？”子云无以解也。后与子云奏事，坐白虎殿廊庑下，以寒，故，背日曝背。有顷，日光去背，不复曝焉。因以示子云曰：“天即盖转而日西行，其光影当照此廊下而稍东耳，无乃是反应浑天家法焉！”子云立坏其所作，则儒家以天为左转是也。 [31]
这则史料中的“众儒之说天”需要特别留意，还有王充的《论衡·说日篇》引述盖天说时，也用以“儒者曰”、“或曰”开头，所引述的内容也是粗略定性的描述。 [32] 扬雄“难盖天八事”中多次提到盖天学说中的“盖图”，这应该是“众儒说天”时演示的模型道具。当时的这种模型道具应该还是比较粗略的，所以扬雄才打算“图画形体行度，参以四时历数，昏明昼夜，欲为世人立纪律，以垂法后嗣”。
所有这些都暗示，至少到西汉末为止，盖天说大致还停留在口头流传、辩论和粗略定性描述的阶段。而《周髀算经》却描述了盖天说的一种非常精细的数理模型。所以《周髀算经》几乎不可能是成书于西汉。扬雄当时虽然“欲为世人立纪律，以垂法后嗣”，但我认为他试图建立盖天说数理模型的尝试应该是失败的，因为扬雄似乎只是一时兴起，而建立盖天说数理模型本身需要很强的算术水平。
最后两个证据都与《周髀算经》中出现的关于去极度的计算有关。去极度本是浑天说的专利，只有在浑天说背景中才有意义，但《周髀算经》的作者不但引入去极度，还用十分矫揉做作的方式计算出“牵牛去北极百一十五度、千六百九十五里二十一步、千四百六十一分步之八百一十九”，“东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五步、千四百六十一分步之千二百四十五”。
这个计算结果和永元四年 (92 年 ) 东汉贾逵论历时提及的 “冬至日去极一百一十五度，夏至日去极六十七度” [33] 非常接近，这不是偶然，《周髀算经》的作者在计算之前，应该是先参考了这组数据，注意《周髀算经》作者实际上把冬至点与夏至点分别等同于牵牛与东井。
但是西汉记载牵牛与东井，冬至点与夏至点去极度数据的史料最多只有三处：
扬雄“难盖天八事”的第一事：“日之东行，循黄道昼中规。牵牛距北极北百一十度，东井距北极南七十度，并百八十度，周三径一。二十八宿周天当五百四十度，今三百六十度，何也？” [34]
《开元占经》所引《石氏星经》的数据：“牵牛去极百一十度，在黄道内四度……东井去极七十度，在黄道外二度半”。 [35]
贾逵论历所引《石氏星经》的数据：“黄道规牵牛初直斗二十度，去极二十五度” [36]
这里的“牵牛初”是冬至点的代名词， “二十五度”很可能是“百一十五度”的讹文。扬雄“难盖天八事”的第一事中其他数据都是概数，但不能确定 “牵牛距北极北百一十度，东井距北极南七十度”是来源于《石氏星经》还是概数。
《石氏星经》的观测年代，根据薮内清与孙小淳的研究 [37] [38] ，大致在公元前 70 年左右，但这并不是较精确的结果，上下波动几十年都很有可能。孙小淳认为《石氏星经》的“整个星表是鲜于妄人等在元凤三年至六年即公元前 78 年”观测得到的，但《汉书》中相关的史料记载却为：
妄人请舆治历大司农中丞麻光等二十余人，杂候日月晦朔弦望、八节二十四气，钧校诸历用状。奏可，诏与丞相、御史、大将军、右将军史各一人，杂候上林清台，课诸历疏密，凡十一家。 [39]
所以这次天文观测的对象并非周天恒星，而是“日月晦朔弦望”，目的是“钧校诸历用状”，“课诸历疏密”。至于《石氏星经》的汇编成书年代，又肯定在观测年代之后。注意《汉书·艺文志》并没有收入任意以“石氏”命名的天文历法著作，其次最早引用《石氏星经》的史料正是《后汉书》记载的贾逵论历 (92 年 ) 。由此大致可以推测《石氏星经》的汇编成书年代当在西汉末或者更晚。汉代的黄赤交角约 24.03 度，直角约为 91.31 度，因此在汉代，冬至点和夏至点的去极度分别为 115.34 度和 67.28 度，所以“冬至日去极一百一十五度，夏至日去极六十七度”这组数据是很精确的，应该是浑天说兴起 ( 前 100 年作 ) 之后较长时间才能达到的观测技术的体现。总之，这个数据的流行，可以大致推测在西汉末或者东汉，而《周髀算经》采用这个数据，只能在更晚的时候。
接下来讲最后一个证据。扬雄将关于去极度的反驳列为“难盖天八事”的第一事，古人肯定以为这是非常有利的反驳。但其实这种反驳根本站不住脚，因为去极度的测量是以浑天说的球形天空为前提，而把去极度的测量结果搬到盖天说的平面天空中，自然会导致矛盾，因为浑天盖天本身就是对立的。但是，主张盖天说的汉代学者如果无法识破其中的逻辑漏洞，他就会被绕进去，想着如何在盖天说的平面天空的范畴中重新得到去极度的测量结果，以此自圆其说，实际上《周髀算经》中去极度的计算正是如此。所以《周髀算经》的作者之所以会如此矫揉做作的计算去极度，极有可能就是为了回应扬雄 “难盖天八事”的第一事，由此也可大致推测《周髀算经》的成书当在西汉末扬雄 “难盖天八事”之后。
以上列举的这三个证据所涉及的盖天数理模型的建立，去极度的计算等内容，都是集中在古克礼所说的 核心篇章 (#B 、 #D 、 #E 、 #F 、 #G 篇 ) 中。所以这三个证据，以及 《汉书·艺文志》未收录《周髀算经》 的证据，可以推断 《周髀算经》的 核心篇章 (#B 、 #D 、 #E 、 #F 、 #G 篇 ) 是成书于东汉。
参考文献
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[28] ( 明 ) 徐应秋撰 . 玉芝堂谈荟 [M]. 上海：上海古籍出版社， 1993.
[29] 实际上，这是现存纬书和纬书辑文中仅有的出现“八十一万里”的两个地方
[30] 一种宇宙学说，当具备两种成分，才能称得上是一种宇宙学说，首先要有一套描述天地形状、日月星辰及其运行的基本框架，其次要有解释功能，比如能解释为什么会有昼夜更替，四季循环等等。而先秦流传的一些只言片语，如《逸周书·周祝解》“天为盖，地为轸”，《礼记·中庸》：“天之所覆，地之所载”，《大言赋》：“圆天为盖，方地为舆”这些根本谈不上是盖天说。
[31] ( 宋 ) 李昉等撰 . 太平御览 第一册 [M]. 影印本 . 北京 : 中华书局 , 1960 ： 10
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[35] 瞿昙悉达 . 开元占经 [M]. 北京 : 九州出版社 , 2012 ： 582 ， 595
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[37] 薮内清 . 中国的天文历法 [M]. 杜石然 , 译 . 北京 : 北京大学出版社 , 2017 ： 42
[38] 孙小淳 . 汉代石氏星官研究 [J]. 自然科学史研究 ,1994,(2):123-138.
[39] 班固 . 汉书 [M]. 北京 : 中华书局， 1962: 978
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