欧洲中世期数学
中世期初期，大约从公元400年到1100年长达700年之久的时间里，欧洲数学一直没有取得进展，也没有人认真搞数学工作。
数学水平之所以低，主要是因为对物理世界缺乏兴趣。数学史家克莱因认为："数学显然不能在一个只重世务或只信天国的文明中繁荣滋长。我们可以看到，数学在一个自由的学术气氛中最能获得成功。那里既能对物理世界所提出的问题发生兴趣，又有人愿意从抽象方面去思考由这些问题所引起的概念，而不计其是否能谋取眼前的或实际的利益。自然界是产生概念的温床，然后必须对概念本身进行研究。然后，反过来，能对自然获得新的观点，对它有更丰富、更广泛、更强有力的理解，而这又产生出更深刻的数学工作。"
当时在欧洲占统治地位的基督教规定了它的目标、价值和生活方式。教徒们主要关心的是精神生活，因而认为出于好奇心或实用目的而探索自然的工作是微不足道的。欧洲人认为所有的知识都来源于研读《圣经》，教会神甫的教导和教条是《圣经》的补充发挥和解释，具有至高无上的权威。圣.奥古斯丁曾说："从圣经以外获得的任何知识，如果它是有害的，理应加以排斥；如果它是有益的，那它是会包含在圣经里的。"这段话代表了中世纪早期的人对研究自然的态度。因此，欧洲中世纪早期没有产生重大的数学成果。
当时教会势力遍及各地，拉丁文是教会的官方语言，因而它就成为欧洲的国际语言以及包括数学在内的一切科学的通用文字。因此，欧洲人主要从拉丁文(即罗马）书籍来获取他们所需要的知识。由于罗马人的数学微不足道，所以欧洲人所学到的只不过是非常原始的一套计数法和少量算术法则。
他们也通过少数翻译家汲取一点希腊数学知识。其中主要的翻译家有波伊修(约480-524)。他出身罗马贵族家庭。波伊修根据希腊材料用拉丁文选编了算术、几何的初级读物。他从欧几里德的《原本》里译了3到5篇的材料，组成他的《几何》。他翻译了400年前尼可马修斯所著的《算术入门》而写成《算术入门》一书。他还创造了"四大科"这个词来代表算术、几何、音乐和天文。
波伊修的数学著作一直作为教会学校的标准课本，被使用了近千年之久。他最有影响的著作是《哲学的安慰》，这本书是由于波伊修遭受政治迫害，在监狱中写成的。他也因为此书而成为中世纪经院哲学的先驱之一。
虽然中世纪初期的数学成果不多，但是在中世纪学校的课程里数学还是相当重要的。课程分为四大科和三文。四大科包括：算术(纯数的科学）、音乐(数的一个应用）、几何(关于长度、面积、体积和其他储量的学问）、天文(关于运动中的量的学问）。三文包括修辞、辩证和文法。
教会提倡教授数学，是因为它对修日历和预报节日有用。促使欧洲人学习一点数学的另一动机是占星术。这门伪科学在巴比伦人、古希腊人和阿拉伯人那里颇为风行，而在中世纪的欧洲则几乎普遍被人接受。占星术的基本信条是说天体能影响和控制人体以及人的命运。为了解天体的影响并预报特殊的天象事件，如行星的会合和日月蚀所展示的吉凶祸福，那就需要有些天文知识，因此少不了要懂点数学。占星术到中世纪后期变得特别重要，这在客观上促进了欧洲数学的复苏。
到了1100年左右，新的思潮开始影响当时的学术气氛。一方面因为欧洲手工业和商业经过漫长的黑暗时期，逐渐得到恢复，开始出现新兴的城市。
在一些城市中开始设立非教会的学校，并在一些学校的基础上发展成为大学。其中较早的有意大利的波隆尼大学(公元1088年）、法国的巴黎大学(公元1160年），以及英国的牛津大学(公元1167年）等。人们对世俗知识的需要显著增加。这些大学的产生和发展，既形成了欧洲数学的中心，也是诞生数学家的摇篮。
更重要的是欧洲人通过贸易和旅游，同地中海地区和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发生接触。十字军东征(约1100-1300)为掠取土地的军事征服，使欧洲人进入阿拉伯土地，欧洲人大规模地接触到东方的文明，使他们大开眼界，激起了他们学习东方科学知识的热情。
交流的中心有三个地方：君士坦丁堡、帕勒尔摩和投雷多，其中以阿拉伯的学术中心投雷多为主。12世纪的投雷多大主教雷蒙德创办了一所翻译学院，对阿拉伯文的哲学和数学著作进行全面翻译。在大规模的翻译活动中，贡献最大的是意大利克利蒙那的杰勒德(1114-1187)，他从阿拉伯文一共转译了80多部著作。
欧洲人通过阿拉伯数学的输入，发现了希腊数学，并引起了他们极大的兴趣。在被欧洲人译出的著作有欧几里德的《几何原本》、花拉子模的《代数》、泰奥多希乌斯的《球面学》、阿基米德的《圆的度量》，还有亚里士多德、赫伦的许多著作。这些译本成了中世纪欧洲数学发展的基础。
希腊和阿拉伯著作的译本传到欧洲后，对自然现象的理性探讨，并以自然原因而不以道德和神意的原因作解释的风气立刻就呈现出生命力。罗吉尔.培根(1214-1294)就是这时期欧洲理性主义和对自然兴趣复活的代表。
罗吉尔.培根出生于英国一个贵族家庭，曾在牛津大学和巴黎大学任教。他会多种文字，几乎对当时的一切知识领域都有兴趣，在数学、力学、光学、天文、地理、化学、医学、音乐、逻辑、文学以及神学方面都有一定的研究，有"万能博士"之称。
罗吉尔.培根提倡科学、重视实验、反抗权威。他懂得可靠的知识是怎么来的，探讨了使科学获得进展或受到阻挠的原因，并提出了改革研究方法的意见。他虽然也劝人阅读《圣经》，但是更强调数学和实验，并大胆预见了科学造福于人类的伟大前景。
他确信数学思想是与生俱来的并且是同自然事物本身相一致的。因为自然界是用几何语言编写而成的，所以数学能提供真理。它先于其他科学，处理直觉所感知的量。他在所著《大作》的一章中证明所有科学都需要数学，表明他正确认识到数学在科学中的作用。《大作》中还谈了不少数学对地理、年表学、音乐、彩虹的解释、编日历和确定信念的作用，论述了数学在国家管理、气象学、水文学、占星术、透视学、光学和视象成因等方面的作用。
由于罗吉尔.培根批判了经院哲学和教义，1257年他被赶出巴黎大学，在寺院幽禁十年，直到1268年才获释回牛津工作。1278年，他又被投入监狱达14年之久，并就此了结一生。
欧洲数学早期的主要代表，是意大利的斐波那契(约1170-1250)。他曾到北非受教育，并广泛游历过地中海与中亚细亚各民族的文化中心，拜访了各地的学者，积累了许多东方的数学知识，特别熟悉各国的算术系统。
斐波那契发现"阿拉伯数字"是最好的计数符号，回意大利便写成名著《算经》(又译作《算盘书》，公元1202年）。当时欧洲已知道一点阿拉伯记数法和印度算法，但是一般人还是用罗马数字，而且因为他们不懂零的意思，因此避免用零。《算经》的最大作用是向欧洲介绍了阿拉伯数字。该书一开头就写道："印度的数目字，为9、8、7、6、5、4、3、2、1九个，用这九个字，与阿拉伯称之为Sifr的零号0，任何数均可以表示了。"书中还传授了印度人用整数、分数、平方根、立方根进行计算的方法。《算经》被认为是中世纪欧洲最重要的数学著作，是当时欧洲各民族的数学"百科全书"，被学校当作标准教材使用了200年之久。它对改变欧洲数学的面貌起了极为重要的作用。
在几何方面，斐波那契在他的《几何实习》(公元1220年）里重复讲述了欧几里德《原本》及希腊三角术的大部分内容。他指出《原本》第十篇中对无理量的分类并不包括一切无理量。x3＋2x2＋10x＝20的根不能用尺规作出。这第一次表明数系所含的数超过希腊人以能否尺规作出为准则的范围。斐波那契还引入了至今仍称为"斐波那契数列"的概念，在这数列中，每项等于前两项之和。
此外，很有意义的数学成就还有尼科尔.奥雷斯姆(约1323-1382)提出的图线原理。为了表示随时间而变的速度，他用一水平线上的点代表时间，称之为经度；而不同时刻的速度则用纵线表示，称之为纬度。为了表示一个从0处为OA减到B处为零的速度，他画了一个三角形。他还由此证明了：一物体从静止开始用均匀加速度运动所经过的距离，等于这个物体在相等时间内用最后速度的一半的均匀速度所经过的距离(三角形OAB的面积等于矩形0CDB）。奥雷斯姆的图线虽然还是个含糊的概念，但是他对提出函数概念，用函数表示物理规律以及函数的分类作出贡献。因此，也有人把创立坐标几何及函数的图象表示归功于他。
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